愛知教育大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は、愛知教育大学 2018年度（平成30年度）前期日程の数学を徹底解説します！愛知教育大学は、教員養成を主目的とした国立大学として、東海地方で非常に人気の高い大学です。数学の入試問題は、基礎力を重視しながらも、思考力・論理的記述力を試す良問が多く出題されます。

この記事では、2018年度の数学全問題について、問題文の再現から詳細な解説、別解、そして今後の対策まで徹底的に解説していきます。受験生の皆さんが本番で自信を持って解答できるよう、一緒に学んでいきましょう！

試験概要・難易度

2018年度 愛知教育大学 前期日程 数学試験の概要

2018年度の全体講評

2018年度の愛知教育大学数学は、標準〜やや難レベルの出題でした。特に以下の特徴がありました：

• 第1問：2次不等式と場合分け（標準）- 定数の条件による場合分けが必要な問題
• 第2問：確率（ゲーム・硬貨）（標準〜やや難）- 状態遷移を考える確率問題
• 第3問：微分と面積（標準）- 曲線と接線で囲まれた図形の面積
• 第4問：積分（やや難）- 絶対値を含む定積分の計算

全体として、計算力と場合分けの正確さが問われる出題でした。特に第1問と第4問では、場合分けを丁寧に行う必要があり、ミスをしやすいポイントが多く含まれていました。時間配分としては、各大問30分程度を目安に解き進めることが重要です。

合格に必要な得点目安

愛知教育大学の数学では、6〜7割（240〜280点程度）を目標にしたいところです。特に教員養成課程の数学専攻を志望する場合は、7割以上を確実に取れる実力をつけておくことが望ましいでしょう。

大問1：2次不等式と場合分け

問題

解説・解法のポイント

この問題は、2次不等式の解法と定数による場合分けを組み合わせた問題です。愛知教育大学では、このような場合分けを要する問題が頻出です。しっかりとマスターしておきましょう。

【STEP 1】左辺を因数分解する

まず、左辺の2次式を因数分解します。

$$a(a-1)x^2 + (2-3a)x + 2$$

この式を因数分解するために、$x$ の係数に注目します。$a(a-1) = a^2 - a$ であり、定数項は $2$ です。

因数分解を試みると：

$$a(a-1)x^2 + (2-3a)x + 2 = (ax + 1){(a-1)x + 2}$$

【検算】

$$(ax + 1){(a-1)x + 2} = a(a-1)x^2 + 2ax + (a-1)x + 2$$

$$= a(a-1)x^2 + (2a + a - 1)x + 2 = a(a-1)x^2 + (3a-1)x + 2$$

あれ、係数が合いませんね。もう一度確認しましょう。

正しい因数分解は：

$$a(a-1)x^2 + (2-3a)x + 2 = (ax - 2){(a-1)x - 1}$$

【検算】

$$(ax - 2){(a-1)x - 1} = a(a-1)x^2 - ax - 2(a-1)x + 2$$

$$= a(a-1)x^2 + (-a - 2a + 2)x + 2 = a(a-1)x^2 + (2-3a)x + 2$$ ✓

よって、不等式は：

$$(ax - 2){(a-1)x - 1} < 0$$

【STEP 2】解の境界を求める

$(ax - 2) = 0$ より $x = dfrac{2}{a}$

${(a-1)x - 1} = 0$ より $x = dfrac{1}{a-1}$

【STEP 3】$x^2$ の係数による場合分け

2次不等式 $(ax - 2){(a-1)x - 1} < 0$ を解くには、$x^2$ の係数 $a(a-1)$ の符号と、2つの解 $dfrac{2}{a}$ と $dfrac{1}{a-1}$ の大小関係を調べる必要があります。

◆ $a(a-1) > 0$ となる場合：$a 1$

このとき、放物線は下に凸なので、不等式の解は2つの解の間になります。

◆ $a(a-1) < 0$ となる場合：$0 < a < 1$

このとき、放物線は上に凸なので、不等式の解は2つの解の外側になります。

【STEP 4】解の大小関係を調べる

$dfrac{2}{a}$ と $dfrac{1}{a-1}$ の大小を比較します。

$$dfrac{2}{a} - dfrac{1}{a-1} = dfrac{2(a-1) - a}{a(a-1)} = dfrac{2a - 2 - a}{a(a-1)} = dfrac{a-2}{a(a-1)}$$

【STEP 5】各場合の解を求める

【場合1】$a < 0$ のとき

$a(a-1) > 0$（下に凸）、$a - 2 0$ より $dfrac{a-2}{a(a-1)} < 0$

したがって $dfrac{2}{a} < dfrac{1}{a-1}$

解：$dfrac{2}{a} < x < dfrac{1}{a-1}$

【場合2】$0 < a < 1$ のとき

$a(a-1) < 0$（上に凸）、$a - 2 < 0$、$a(a-1) 0$

したがって $dfrac{2}{a} > dfrac{1}{a-1}$

解：$x dfrac{2}{a}$

【場合3】$1 < a < 2$ のとき

$a(a-1) > 0$（下に凸）、$a - 2 0$ より $dfrac{a-2}{a(a-1)} < 0$

したがって $dfrac{2}{a} < dfrac{1}{a-1}$

解：$dfrac{2}{a} < x < dfrac{1}{a-1}$

【場合4】$a = 2$ のとき

$dfrac{2}{a} = 1 = dfrac{1}{a-1}$（重解）

$a(a-1) cdot (x-1)^2 0$ より解なし

【場合5】$a > 2$ のとき

$a(a-1) > 0$（下に凸）、$a - 2 > 0$、$a(a-1) > 0$ より $dfrac{a-2}{a(a-1)} > 0$

したがって $dfrac{2}{a} > dfrac{1}{a-1}$

解：$dfrac{1}{a-1} < x < dfrac{2}{a}$

【解答まとめ】

別解・発展

【別解：グラフを用いた解法】

$y = a(a-1)x^2 + (2-3a)x + 2$ のグラフと $x$ 軸の位置関係を考えることで、視覚的に解を理解することもできます。放物線の開く向き（$a(a-1)$ の符号）と、$x$ 軸との交点の位置関係を図示することで、場合分けの見落としを防ぐことができます。

【発展：数直線を用いた符号の調査】

$(ax - 2){(a-1)x - 1} < 0$ の形に因数分解できたら、数直線上に $x = dfrac{2}{a}$ と $x = dfrac{1}{a-1}$ をプロットし、各区間での符号を調べる方法も有効です。この方法は、より複雑な不等式にも応用できます。

大問2：確率（コマを使ったゲーム）

問題

解説・解法のポイント

この問題は、状態遷移と確率の漸化式を用いて解く典型的な問題です。「追いつく」という条件をどのように数学的に表現するかがポイントです。

【問1の解答】

初期状態は $(A, B) = (0, 1)$ です。

A が硬貨を投げた後の状態：

• 表が出る（確率 $dfrac{1}{2}$）：A のコマは $1$ に移動 → $(1, 1)$ となり、A の勝ち（ゲーム終了）
• 裏が出る（確率 $dfrac{1}{2}$）：A のコマは $0$ のまま → $(0, 1)$

A が裏を出した場合のみ、B が硬貨を投げます。

B が硬貨を投げた後の状態：

• 表が出る（確率 $dfrac{1}{2}$）：B のコマは $2$ に移動 → $(0, 2)$
• 裏が出る（確率 $dfrac{1}{2}$）：B のコマは $1$ のまま → $(0, 1)$

【問2の解答】

B が勝つということは、B のコマが A のコマに追いつく、つまり B のコマの位置 ≤ A のコマの位置 となることです。

しかし、B は A より後ろからスタートしているため、B が A に追いつくことはありません（B のコマは常に A のコマより先にいます）。したがって、B が勝つためには、A が B に追いつく前に、ゲームが永遠に続くことはありえず、いつかは必ず A が B に追いつくか、差が広がっていくことになります。

ここで、状態を「A と B のコマの差」$d = b - a$ で考えましょう。

初期状態：$d = 1$

各ターン（A、B がそれぞれ1回ずつ投げた後）の差 $d$ の変化を考えます：

• A が表、B が表：$d$ の変化なし（ただし A が先に投げるので、A が表なら追いつく）
• A が表、B が裏：$d$ は $1$ 減少
• A が裏、B が表：$d$ は $1$ 増加
• A が裏、B が裏：$d$ の変化なし

ただし、A が先に投げることに注意が必要です。A が表を出した瞬間に $d = 0$ になれば、A の勝ちでゲーム終了です。

$p_n$ を「差が $n$ のときに B が勝つ確率」とします。

B が勝つとは、A のコマが B のコマを追い越す、つまり $a > b$ となることです。しかしルール上、「追いつく」ことが勝利条件なので、$a = b$ で A の勝ち、$b < a$ にはならないと考えるのが自然です。

実は、このゲームでは B が勝つことは不可能 です。

理由：B のコマは常に A のコマより先（大きい位置）にあるか、同じ位置にあります。「追いつく」とは後ろから前に追いつくことなので、先にいる B が後ろの A に追いつくことは起こりえません。

より正確に言えば、A が B に追いつく（A の勝ち）か、永遠にゲームが続く（確率 0）かのどちらかです。

B が勝つ確率を $q$ とおき、漸化式を立てて解きます。

差が $1$ の状態から始めて：

• A が表を出す（確率 $dfrac{1}{2}$）：A の勝ち
• A が裏を出す（確率 $dfrac{1}{2}$）：
  • B が表を出す（確率 $dfrac{1}{2}$）：差が $2$ になる
  • B が裏を出す（確率 $dfrac{1}{2}$）：差が $1$ のまま

$p_n$ を差が $n$ のときに A が勝つ確率とすると：

$$p_1 = dfrac{1}{2} cdot 1 + dfrac{1}{2} cdot dfrac{1}{2} cdot p_2 + dfrac{1}{2} cdot dfrac{1}{2} cdot p_1$$

$$p_1 = dfrac{1}{2} + dfrac{1}{4}p_2 + dfrac{1}{4}p_1$$

同様に、差が $n$（$n geq 2$）のとき：

$$p_n = dfrac{1}{2} cdot p_{n-1} + dfrac{1}{2} cdot dfrac{1}{2} cdot p_{n+1} + dfrac{1}{2} cdot dfrac{1}{2} cdot p_n$$

ここで、$n to infty$ のとき $p_n to 0$ と考えられます（差が無限に広がると A が追いつく確率は 0 に近づく）。

漸化式を解くと、最終的に A が勝つ確率は 1、つまり B が勝つ確率は 0 となります。

別解・発展

【別の視点からの解釈】

この問題は、ランダムウォークの「初到達問題」として解釈することもできます。差 $d = b - a$ は、各ターンで確率的に増減しますが、A が先に投げるというルールにより、$d = 0$ への到達（A の勝ち）と $d$ の増加が非対称に起こります。

結果として、有限時間で必ずゲームが終了し、その場合は必ず A の勝ちとなります。

大問3：微分と面積（曲線と接線）

問題

解説・解法のポイント

この問題は、3次関数と接線で囲まれた面積を求める典型問題です。公式を活用して効率よく解きましょう。

【STEP 1】接線の方程式を求める

$y = x^2(x-1) = x^3 - x^2$

$dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x$

点 $(a, a^3 - a^2)$ における接線の傾きは：

$$m = 3a^2 - 2a$$

接線の方程式は：

$$y - (a^3 - a^2) = (3a^2 - 2a)(x - a)$$

$$y = (3a^2 - 2a)x - 3a^3 + 2a^2 + a^3 - a^2$$

$$y = (3a^2 - 2a)x - 2a^3 + a^2$$

【STEP 2】曲線と接線の交点を求める

$x^3 - x^2 = (3a^2 - 2a)x - 2a^3 + a^2$

$x^3 - x^2 - (3a^2 - 2a)x + 2a^3 - a^2 = 0$

この方程式は $x = a$ を重解として持つので：

$$(x - a)^2(x - b) = 0$$

の形に因数分解できます。展開して係数を比較すると：

$$(x - a)^2(x - b) = x^3 - (2a + b)x^2 + (a^2 + 2ab)x - a^2 b$$

係数比較：

• $x^2$ の係数：$-1 = -(2a + b)$ より $b = 1 - 2a$
• $x$ の係数：$-(3a^2 - 2a) = a^2 + 2ab$ ... 検算用
• 定数項：$2a^3 - a^2 = -a^2 b = -a^2(1-2a) = -a^2 + 2a^3$ ✓

よって、もう一つの交点は $x = 1 - 2a$ です。

【STEP 3】面積を計算する

3次関数と接線で囲まれた面積には、次の公式が使えます。

【3次関数と接線の面積公式】

3次関数 $y = f(x)$ と、その曲線上の点における接線で囲まれた面積は：

$$S = dfrac{1}{12}|f'''(x)||x_1 - x_2|^4$$

ただし、$f'''(x)$ は3次の係数の6倍（今回は $6 times 1 = 6$）、$x_1, x_2$ は交点の $x$ 座標です。

より実用的な公式として：

$$S = dfrac{|a_3|}{12}|α - β|^4$$

ここで $a_3$ は $x^3$ の係数、$α, β$ は曲線と接線の交点の $x$ 座標（重解を含む）です。

今回の場合：

• $x^3$ の係数：$a_3 = 1$
• 交点：$x = a$（重解）と $x = 1 - 2a$

面積は：

$$S = dfrac{1}{12}|a - (1-2a)|^4 = dfrac{1}{12}|3a - 1|^4$$

【STEP 4】面積の条件から $a$ を求める

$$dfrac{1}{12}|3a - 1|^4 = dfrac{1}{12}$$

$$|3a - 1|^4 = 1$$

$$|3a - 1| = 1$$

$$3a - 1 = 1 quad text{または} quad 3a - 1 = -1$$

$$a = dfrac{2}{3} quad text{または} quad a = 0$$

ただし、$a = 0$ のとき、接点は原点 $(0, 0)$ であり、もう一つの交点は $x = 1 - 2 times 0 = 1$ となります。このとき確かに面積が存在するので、$a = 0$ も解です。

別解・発展

【別解：定積分による直接計算】

公式を使わずに、定積分で直接計算することもできます。

$a < 1 - 2a$、つまり $a < dfrac{1}{3}$ のとき：

$$S = int_a^{1-2a} {(x^3 - x^2) - ((3a^2-2a)x - 2a^3 + a^2)} dx$$

被積分関数を整理すると：

$$x^3 - x^2 - (3a^2-2a)x + 2a^3 - a^2 = (x-a)^2(x-(1-2a))$$

$t = x - a$ と置換すると、計算が簡略化されます。

【発展：なぜ公式が成り立つか】

3次関数 $y = x^3$ と点 $(a, a^3)$ における接線 $y = 3a^2 x - 2a^3$ の場合、交点は $x = a$（重解）と $x = -2a$ です。

面積は：

$$S = int_{-2a}^{a} (x^3 - (3a^2 x - 2a^3)) dx = int_{-2a}^{a} (x-a)^2(x+2a) dx$$

この積分を計算すると $dfrac{27a^4}{12}$ となり、$|a - (-2a)|^4 = |3a|^4 = 81a^4$ を用いて公式が確認できます。

大問4：絶対値を含む定積分

問題

解説・解法のポイント

この問題は、絶対値を含む定積分の処理が必要な問題です。積分変数 $t$ と定数 $x$ の大小関係で場合分けを行い、絶対値を外してから積分します。

【STEP 1】絶対値の場合分け

$|t - x|$ は：

• $t geq x$ のとき：$|t - x| = t - x$
• $t < x$ のとき：$|t - x| = x - t$

したがって、積分区間 $[0, 1]$ を $[0, x]$ と $[x, 1]$ に分けます。

$$f(x) = int_0^x log(x - t + 1) , dt + int_x^1 log(t - x + 1) , dt$$

【STEP 2】各積分を計算する

第1項：$I_1 = int_0^x log(x - t + 1) , dt$

$u = x - t + 1$ と置換すると、$du = -dt$

• $t = 0$ のとき $u = x + 1$
• $t = x$ のとき $u = 1$

$$I_1 = int_{x+1}^{1} log u cdot (-du) = int_1^{x+1} log u , du$$

$int log u , du = u log u - u + C$ を用いて：

$$I_1 = [u log u - u]_1^{x+1}$$

$$= (x+1)log(x+1) - (x+1) - (1 cdot log 1 - 1)$$

$$= (x+1)log(x+1) - (x+1) - 0 + 1$$

$$= (x+1)log(x+1) - x$$

第2項：$I_2 = int_x^1 log(t - x + 1) , dt$

$v = t - x + 1$ と置換すると、$dv = dt$

• $t = x$ のとき $v = 1$
• $t = 1$ のとき $v = 2 - x$

$$I_2 = int_1^{2-x} log v , dv$$

$$I_2 = [v log v - v]_1^{2-x}$$

$$= (2-x)log(2-x) - (2-x) - (1 cdot log 1 - 1)$$

$$= (2-x)log(2-x) - (2-x) + 1$$

$$= (2-x)log(2-x) - 1 + x$$

【STEP 3】答えを整理する

$$f(x) = I_1 + I_2$$

$$= {(x+1)log(x+1) - x} + {(2-x)log(2-x) - 1 + x}$$

$$= (x+1)log(x+1) + (2-x)log(2-x) - 1$$

別解・発展

【検算：特殊な値での確認】

$x = 0$ のとき：

$$f(0) = 1 cdot log 1 + 2 cdot log 2 - 1 = 0 + 2log 2 - 1 = 2log 2 - 1$$

直接計算で確認：

$$f(0) = int_0^1 log(t + 1) , dt = [(t+1)log(t+1) - (t+1)]_0^1$$

$$= (2log 2 - 2) - (1 cdot 0 - 1) = 2log 2 - 2 + 1 = 2log 2 - 1$$ ✓

$x = 1$ のとき：

$$f(1) = 2 cdot log 2 + 1 cdot log 1 - 1 = 2log 2 - 1$$

対称性から $f(0) = f(1)$ となることが確認できます。これは関数の対称性を反映しています。

【発展：$f(x)$ の最小値】

$$f'(x) = log(x+1) + 1 - log(2-x) - 1 = logdfrac{x+1}{2-x}$$

$f'(x) = 0$ となるのは $dfrac{x+1}{2-x} = 1$、つまり $x = dfrac{1}{2}$ のときです。

$fleft(dfrac{1}{2}right) = dfrac{3}{2}logdfrac{3}{2} + dfrac{3}{2}logdfrac{3}{2} - 1 = 3logdfrac{3}{2} - 1$

この年度の重要テーマと対策

2018年度の出題傾向分析

2018年度の愛知教育大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

1. 場合分けを伴う問題

第1問の2次不等式、第4問の絶対値を含む積分など、場合分けの正確さが問われる問題が多く出題されました。場合分けでは：

• 分ける基準を明確にする
• 各場合を漏れなく列挙する
• 境界値の処理を正確に行う

ことが重要です。

2. 微分・積分の計算力

第3問、第4問では、標準的な微分・積分の計算が必要でした。特に：

• $int log x , dx = xlog x - x + C$ の公式
• 3次関数と接線で囲まれた面積の公式
• 置換積分の技法

は確実にマスターしておきましょう。

3. 確率の漸化式

第2問のような、状態遷移を考える確率問題は、愛知教育大学に限らず多くの大学で出題されます。

• 状態を適切に定義する
• 漸化式を正しく立てる
• 極限を考慮して解く

という流れを身につけましょう。

今後の対策ポイント

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2018年度の出題傾向を踏まえて、類似の練習問題を3問用意しました。ぜひチャレンジしてみてください！

練習問題1：2次不等式と場合分け

【解答・解説】

STEP 1：因数分解

$$a(a+1)x^2 - (3a+1)x + 2 = (ax - 1){(a+1)x - 2}$$

【検算】$(ax-1){(a+1)x-2} = a(a+1)x^2 - 2ax - (a+1)x + 2 = a(a+1)x^2 - (3a+1)x + 2$ ✓

STEP 2：解の境界

$x = dfrac{1}{a}$ と $x = dfrac{2}{a+1}$

STEP 3：大小比較

$$dfrac{1}{a} - dfrac{2}{a+1} = dfrac{a+1-2a}{a(a+1)} = dfrac{1-a}{a(a+1)}$$

STEP 4：場合分けして解く

練習問題2：曲線と接線で囲まれた面積

【解答・解説】

STEP 1：接線の方程式

$y' = 3x^2 - 3$

$x = 2$ での傾き：$3 cdot 4 - 3 = 9$

接線：$y - 2 = 9(x - 2)$、つまり $y = 9x - 16$

STEP 2：交点を求める

$x^3 - 3x = 9x - 16$

$x^3 - 12x + 16 = 0$

$(x-2)^2(x+4) = 0$

$x = 2$（重解）, $x = -4$

STEP 3：面積を計算

公式を用いて：

$$S = dfrac{1}{12} cdot 1 cdot |2-(-4)|^4 = dfrac{1}{12} cdot 6^4 = dfrac{1296}{12} = 108$$

練習問題3：絶対値を含む定積分

【解答・解説】

STEP 1：絶対値の場合分け

$$g(x) = int_0^x (x - t) , dt + int_x^2 (t - x) , dt$$

STEP 2：各積分を計算

$$int_0^x (x-t) , dt = left[xt - dfrac{t^2}{2}right]_0^x = x^2 - dfrac{x^2}{2} = dfrac{x^2}{2}$$

$$int_x^2 (t-x) , dt = left[dfrac{t^2}{2} - xtright]_x^2 = left(2 - 2xright) - left(dfrac{x^2}{2} - x^2right)$$

$$= 2 - 2x + dfrac{x^2}{2} = dfrac{x^2}{2} - 2x + 2$$

STEP 3：答えを整理

$$g(x) = dfrac{x^2}{2} + dfrac{x^2}{2} - 2x + 2 = x^2 - 2x + 2$$

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日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介