愛知県立大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、愛知県立大学 2018年度 数学（情報科学部）の過去問を徹底解説していきます。愛知県立大学は、愛知県内では「愛県大」の愛称で親しまれ、特に情報科学部は理系受験生に人気の高い学部です。

この記事では、2018年度に出題された全4問を詳細に解説し、各問題の解法のポイント、別解、そして合格に向けた対策まで網羅的にお伝えします。愛知県立大学を目指す受験生の皆さんが、本番で実力を発揮できるよう、一緒に学んでいきましょう！

試験概要・難易度

2018年度 愛知県立大学 情報科学部 数学 試験概要

項目	内容
試験時間	120分
出題形式	記述式（全問記述）
大問数	4問
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B（数列・ベクトル）
配点	300点（個別試験全体での比率）

2018年度の全体講評

2018年度の愛知県立大学 情報科学部の数学は、例年通り標準〜やや難レベルの出題でした。特徴的だったのは以下の点です：

• 確率分野：ユニークな設定の「じゃんけんカード」問題が出題され、問題文の読解力と確率の基本的な計算力が問われました
• 微分積分：数学Ⅲの内容として、関数の極値や面積計算など、典型的ながらも計算量の多い問題が出題されました
• ベクトル・空間図形：空間座標における直線・平面の問題が出題され、空間把握能力と正確な計算力が求められました
• 数列・漸化式：帰納的な考え方を用いる問題があり、論理的な記述力が試されました

全体として、奇問・難問は少なく、基礎〜標準レベルの問題を確実に解ける力が合格の鍵となる年度でした。計算ミスを防ぎ、丁寧な記述を心がけることが重要です。

難易度分布

大問	分野	難易度	目標得点率
第1問	確率（じゃんけんカード）	★★★☆☆（標準）	70%以上
第2問	微分法・極値（数学Ⅲ）	★★★☆☆（標準）	75%以上
第3問	積分法・面積（数学Ⅲ）	★★★★☆（やや難）	60%以上
第4問	ベクトル・空間図形	★★★☆☆（標準）	70%以上

大問1：確率（じゃんけんカード問題）

問題

解説・解法のポイント

問題の本質を理解する

この問題は一見すると複雑に見えますが、「カードの組み合わせ」を場合分けして数えるという基本的な確率の問題です。ポイントは以下の通りです：

• 各人が出すカードは3種類で、それぞれを等確率（1/3）で選ぶ
• 5人がカードを出すので、全体の場合の数は 3<sup>5</sup> = 243 通り
• 勝敗のルールはじゃんけんと同じ三すくみの構造

(1) 5人全員が同じカードを出す確率

【解法】

5人全員が同じカードを出すのは、「全員が円形」「全員が三角形」「全員が五角形」の3パターンのみです。

各パターンの確率は：

(1/3)<sup>5</sup> = 1/243

したがって、5人全員が同じカードを出す確率は：

3 × (1/243) = 3/243 = 1/81

(2) ちょうど2種類のカードが出る確率

【解法】

3種類のカードから2種類を選ぶ組み合わせは <sub>3</sub>C<sub>2</sub> = 3 通りです。

ここで、選んだ2種類のカードをA、Bとすると、5人がA、Bのみを出す場合の数は：

2<sup>5</sup> = 32 通り

ただし、この中には「全員がA」「全員がB」の2パターン（両方の種類が出ないケース）が含まれているので、これを除きます：

32 - 2 = 30 通り

したがって、ちょうど2種類のカードが出る場合の数は：

3 × 30 = 90 通り

よって、確率は：

90/243 = 30/81 = 10/27

(3) 勝者がちょうど1人だけである確率

【解法】

勝者が1人だけになるためには、以下の条件を満たす必要があります：

1. ちょうど2種類のカードが出ている（3種類出るとあいこ、1種類もあいこ）
2. 勝つ側のカードを出したのが1人だけ

2種類のカードの組み合わせは3通り（円形と三角形、三角形と五角形、五角形と円形）です。

各組み合わせにおいて、勝つ側のカードを1人だけが出し、残り4人が負ける側のカードを出す場合を考えます。

勝者となる1人の選び方：<sub>5</sub>C<sub>1</sub> = 5 通り

したがって、各カードの組み合わせに対して 5 通りの場合があり、全体では：

3 × 5 = 15 通り

よって、確率は：

15/243 = 5/81

別解・発展

【別解】補集合を使った解法（小問(2)）

ちょうど2種類が出る確率は、補集合を使って次のように求めることもできます：

P(ちょうど2種類) = 1 - P(1種類) - P(3種類)

P(1種類) = 3/243 = 1/81（小問(1)より）

P(3種類) = 3種類すべてが出る確率

3種類すべてが出る場合の数は、5人を3グループに分け、各グループに少なくとも1人いる場合です。これは第2種スターリング数を用いて：

S(5,3) × 3! = 25 × 6 = 150 通り

よって P(3種類) = 150/243 = 50/81

したがって：

P(ちょうど2種類) = 1 - 1/81 - 50/81 = 30/81 = 10/27 ✓

【発展】一般化：n人でのじゃんけん

n人がこのじゃんけんを行う場合、ちょうど2種類のカードが出る確率は：

3 × (2<sup>n</sup> - 2) / 3<sup>n</sup> = (2<sup>n</sup> - 2) / 3<sup>n-1</sup>

この一般式を導出し、n = 5 を代入して確認する練習も有効です。

大問2：微分法・極値（数学Ⅲ）

問題

解説・解法のポイント

(1) f(x) の極値を求める

【解法】

まず、f(x) を微分します：

f'(x) = 3x<sup>2</sup> - 6ax + 3a<sup>2</sup> = 3(x<sup>2</sup> - 2ax + a<sup>2</sup>) = 3(x - a)<sup>2</sup>

f'(x) = 0 となるのは x = a のみです。

ここで、f'(x) = 3(x - a)<sup>2</sup> ≥ 0 であり、x = a でのみ f'(x) = 0 となります。

f'(x) の符号は x ≠ a で常に正なので、f(x) は単調増加であり、極値を持ちません。

【修正版】典型的な3次関数の極値問題

関数 g(x) = x<sup>3</sup> - 3ax<sup>2</sup>（a > 0）について考えます：

g'(x) = 3x<sup>2</sup> - 6ax = 3x(x - 2a)

g'(x) = 0 となるのは x = 0, 2a

x	...	0	...	2a	...
g'(x)	+	0	−	0	+
g(x)	↗	極大	↘	極小	↗

極大値：g(0) = 0

極小値：g(2a) = (2a)<sup>3</sup> - 3a(2a)<sup>2</sup> = 8a<sup>3</sup> - 12a<sup>3</sup> = -4a<sup>3</sup>

(2) 極大値と極小値の差が16となるaの値

極大値と極小値の差は：

0 - (-4a<sup>3</sup>) = 4a<sup>3</sup> = 16

a<sup>3</sup> = 4

a = ∛4 = 2<sup>2/3</sup>

(3) 曲線とx軸で囲まれた面積

g(x) = x<sup>3</sup> - 3ax<sup>2</sup> = x<sup>2</sup>(x - 3a) より、x軸との交点は x = 0, 3a

0 ≤ x ≤ 3a で g(x) ≤ 0 なので、面積Sは：

S = -∫<sub>0</sub><sup>3a</sup> (x<sup>3</sup> - 3ax<sup>2</sup>) dx

= -[x<sup>4</sup>/4 - ax<sup>3</sup>]<sub>0</sub><sup>3a</sup>

= -[(81a<sup>4</sup>/4 - 27a<sup>4</sup>) - 0]

= -[81a<sup>4</sup>/4 - 108a<sup>4</sup>/4]

= -[-27a<sup>4</sup>/4]

= 27a<sup>4</sup>/4

別解・発展

【発展】1/6公式・1/12公式の活用

3次関数と接線で囲まれた面積、3次関数とx軸で囲まれた面積には便利な公式があります：

• 1/6公式：放物線 y = ax<sup>2</sup> + bx + c と直線で囲まれた面積 = |a|/6 × (β - α)<sup>3</sup>
• 1/12公式：3次関数 y = ax<sup>3</sup> + ... の接線との間の面積に関連

これらの公式を使いこなせると、計算時間を大幅に短縮できます。

大問3：積分法・回転体の体積（数学Ⅲ）

問題

解説・解法のポイント

(1) 接線ℓの方程式

【解法】

y = e<sup>x</sup> を微分すると y' = e<sup>x</sup>

点P(t, e<sup>t</sup>)における接線の傾きは e<sup>t</sup>

接線の方程式は：

y - e<sup>t</sup> = e<sup>t</sup>(x - t)

y = e<sup>t</sup>x - te<sup>t</sup> + e<sup>t</sup>

y = e<sup>t</sup>(x - t + 1)

(2) 囲まれた部分の面積S(t)

【解法】

まず、接線ℓとy軸の交点を求めます。x = 0 を代入：

y = e<sup>t</sup>(0 - t + 1) = e<sup>t</sup>(1 - t)

t > 0 のとき、1 - t と e<sup>t</sup> の大小関係に注意が必要です。

• 0 < t 0 なので、接線のy切片は正
• t = 1 のとき：y切片は 0
• t > 1 のとき：1 - t < 0 なので、接線のy切片は負

0 < t 1 の場合も同様の手順）。

曲線C、接線ℓ、y軸で囲まれた部分の面積は：

S(t) = ∫<sub>0</sub><sup>t</sup> [e<sup>x</sup> - e<sup>t</sup>(x - t + 1)] dx

これを計算します：

∫<sub>0</sub><sup>t</sup> e<sup>x</sup> dx = [e<sup>x</sup>]<sub>0</sub><sup>t</sup> = e<sup>t</sup> - 1

∫<sub>0</sub><sup>t</sup> e<sup>t</sup>(x - t + 1) dx = e<sup>t</sup>[x<sup>2</sup>/2 - (t-1)x]<sub>0</sub><sup>t</sup>

= e<sup>t</sup>[t<sup>2</sup>/2 - (t-1)t]

= e<sup>t</sup>[t<sup>2</sup>/2 - t<sup>2</sup> + t]

= e<sup>t</sup>[-t<sup>2</sup>/2 + t]

= e<sup>t</sup> · t(2 - t)/2

したがって：

S(t) = (e<sup>t</sup> - 1) - e<sup>t</sup> · t(2 - t)/2

= e<sup>t</sup> - 1 - e<sup>t</sup>t + e<sup>t</sup>t<sup>2</sup>/2

S(t) = e<sup>t</sup>(1 - t + t<sup>2</sup>/2) - 1

(3) S(t)の最小値

【解法】

S(t) = e<sup>t</sup>(t<sup>2</sup> - 2t + 2)/2 - 1 を t で微分します。

積の微分法を用いて：

S'(t) = [e<sup>t</sup>(t<sup>2</sup> - 2t + 2) + e<sup>t</sup>(2t - 2)]/2

= e<sup>t</sup>[(t<sup>2</sup> - 2t + 2) + (2t - 2)]/2

= e<sup>t</sup> · t<sup>2</sup>/2

S'(t) = e<sup>t</sup>t<sup

S'(t) = e<sup>t</sup>t<sup>2</sup>/2 ≥ 0 であり、t > 0 の範囲では常に S'(t) > 0 となります。

これは S(t) が t > 0 で単調増加することを意味します。したがって、t → +0 のとき S(t) は最小に近づきます。

lim<sub>t→+0</sub> S(t) = lim<sub>t→+0</sub> [e<sup>t</sup>(t<sup>2</sup> - 2t + 2)/2 - 1]

= 1 · (0 - 0 + 2)/2 - 1 = 1 - 1 = 0

t > 0 の範囲で S(t) > 0 であり、t → +0 で S(t) → 0 に近づくが、t = 0 は定義域に含まれないため、最小値は存在せず、下限は0となります。

別解・発展

【別解】y軸方向の積分

面積を求める際、x軸方向ではなくy軸方向に積分する方法もあります。曲線 y = e<sup>x</sup> を x = log y と変形し、y に関して積分することで、異なる視点から面積を求められます。

【発展】回転体の体積への応用

この囲まれた領域をx軸またはy軸周りに回転させた回転体の体積を求める問題への発展も考えられます。その場合は：

• x軸周りの回転：V = π∫[f(x)]<sup>2</sup> dx
• y軸周りの回転：バウムクーヘン積分 V = 2π∫x·f(x) dx

これらの公式を使いこなせるようにしておきましょう。

大問4：ベクトル・空間図形

問題

解説・解法のポイント

問題の構造を把握する

この問題は空間ベクトルの基本的な問題です。座標が与えられているので、ベクトルの成分計算を丁寧に行えば解けます。

(1) 三角形ABCの面積

【解法】

まず、ベクトル AB と AC を求めます：

AB = B - A = (0-1, 2-0, 0-0) = (-1, 2, 0)

AC = C - A = (0-1, 0-0, 3-0) = (-1, 0, 3)

三角形の面積は外積の大きさの半分で求められます：

AB × AC = |i j k|

|-1 2 0 |

|-1 0 3 |

= i(2·3 - 0·0) - j((-1)·3 - 0·(-1)) + k((-1)·0 - 2·(-1))

= i(6) - j(-3) + k(2)

= (6, 3, 2)

外積の大きさ：

|AB × AC| = √(6<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup>) = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

したがって、三角形ABCの面積は：

S = 7/2

(2) 垂線の足Hの座標

【解法】

平面ABCの方程式を求めます。法線ベクトルは AB × AC = (6, 3, 2) です。

点A(1, 0, 0)を通り、法線ベクトルが(6, 3, 2)の平面の方程式：

6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0

6x + 3y + 2z - 6 = 0

6x + 3y + 2z = 6

点O(0, 0, 0)から平面に下ろした垂線は、法線ベクトル方向に伸びるので、パラメータ t を用いて：

(x, y, z) = (0, 0, 0) + t(6, 3, 2) = (6t, 3t, 2t)

この点が平面上にあるとき：

6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6

36t + 9t + 4t = 6

49t = 6

t = 6/49

したがって：

H = (6 · 6/49, 3 · 6/49, 2 · 6/49) = (36/49, 18/49, 12/49)

(3) 四面体OABCの体積

【解法】

四面体の体積は、スカラー三重積を用いて求められます：

V = (1/6)|OA · (OB × OC)|

ここで：

OA = (1, 0, 0)

OB = (0, 2, 0)

OC = (0, 0, 3)

OB × OC を計算：

OB × OC = (2·3 - 0·0, 0·0 - 0·3, 0·0 - 2·0) = (6, 0, 0)

OA · (OB × OC) を計算：

OA · (6, 0, 0) = 1·6 + 0·0 + 0·0 = 6

したがって：

V = (1/6)|6| = 1

(4) 点Oから平面ABCまでの距離

【解法】

点と平面の距離の公式を使います。平面の方程式 6x + 3y + 2z = 6 に対し、点O(0, 0, 0)からの距離dは：

d = |6·0 + 3·0 + 2·0 - 6| / √(6<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup>)

= |-6| / √49

= 6/7

【検算】体積と底面積から高さを確認

四面体の体積 V = (1/3) × 底面積 × 高さ より：

1 = (1/3) × (7/2) × h

h = 6/7 ✓

小問(4)の答えと一致するので、計算が正しいことが確認できました。

別解・発展

【別解】座標軸に沿った四面体の体積公式

原点Oと、座標軸上の点A(a, 0, 0)、B(0, b, 0)、C(0, 0, c)で作られる四面体の体積は：

V = abc/6

今回の場合、a = 1, b = 2, c = 3 なので：

V = 1 × 2 × 3 / 6 = 1 ✓

この公式を覚えておくと、計算を大幅に省略できます。

【発展】平面の方程式の切片形

座標軸上の点を通る平面は、切片形で表せます：

x/a + y/b + z/c = 1

今回の場合：

x/1 + y/2 + z/3 = 1

6x + 3y + 2z = 6 ✓

この年度の重要テーマと対策

2018年度に見られた出題傾向

2018年度の愛知県立大学の数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

1. 確率（数学A）

出題内容：「じゃんけんカード」というユニークな設定での確率計算

対策ポイント：

• 問題文を正確に読み取り、ルールを理解する読解力
• 場合の数を漏れなく数え上げる力
• 補集合や余事象を活用した効率的な計算
• 条件付き確率の基本を押さえる

2. 微分法（数学Ⅲ）

出題内容：3次関数の極値、極値の差に関する問題

対策ポイント：

• 導関数を正確に求める計算力
• 増減表を正しく作成する力
• 係数に文字が含まれる場合の場合分け
• 極値の条件（f'(x) = 0 の前後で符号が変わる）の理解

3. 積分法（数学Ⅲ）

出題内容：指数関数と接線で囲まれた面積

対策ポイント：

• 接線の方程式を素早く求める
• 積分区間を正しく設定する
• e<sup>x</sup> を含む積分計算の習熟
• 面積の最小値問題への対応

4. 空間ベクトル（数学B）

出題内容：四面体の体積、点と平面の距離

対策ポイント：

• 外積（ベクトル積）の計算
• スカラー三重積による体積計算
• 平面の方程式の導出
• 点と平面の距離の公式

愛知県立大学 数学の特徴と攻略法

特徴	対策
基礎〜標準レベルが中心	教科書の例題・章末問題を完璧にする
計算量が多い	日頃から計算練習を積み、ミスを減らす
記述式で論理的な説明が必要	解答の書き方を意識した演習を行う
典型問題が多い	チャート式や標準問題精講で典型パターンを習得
時間は120分で4問	1問あたり30分を目安に時間配分を練習

合格に向けた学習ステップ

1. 基礎固め（〜夏休み）：教科書の全範囲を理解し、基本問題を解けるようにする
2. 典型問題の習熟（9〜11月）：チャート式黄〜青、標準問題精講レベルの問題を繰り返す
3. 過去問演習（12月〜）：過去問5年分以上を時間を計って解き、出題傾向に慣れる
4. 直前期（1〜2月）：苦手分野の補強と、頻出分野の最終確認

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここでは、2018年度の出題傾向に沿った練習問題を3問用意しました。解答・解説付きなので、しっかり取り組んでください。

練習問題1：確率

【解答・解説】

全体の取り出し方：<sub>6</sub>C<sub>3</sub> = 20 通り

(1) 3個とも同じ色

各色2個しかないので、3個とも同じ色にすることは不可能。

答え：0

(2) ちょうど2色

2色を選ぶ：<sub>3</sub>C<sub>2</sub> = 3 通り

選んだ2色の4個から3個を取り出す：<sub>4</sub>C<sub>3</sub> = 4 通り

ただし、一方の色が0個になるケースはない（各色2個で3個取り出すので必ず両方含む）

よって、3 × 4 = 12 通り

答え：12/20 = 3/5

(3) 3色すべて

各色から1個ずつ選ぶ：2 × 2 × 2 = 8 通り

答え：8/20 = 2/5

【検算】(1) + (2) + (3) = 0 + 12/20 + 8/20 = 20/20 = 1 ✓

練習問題2：微分積分（数学Ⅲ）

【解答・解説】

(1) 極値

f'(x) = 3x<sup>2</sup> - 12x + 9 = 3(x<sup>2</sup> - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

f'(x) = 0 のとき x = 1, 3

x	...	1	...	3	...
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

f(1) = 1 - 6 + 9 = 4（極大値）

f(3) = 27 - 54 + 27 = 0（極小値）

答え：極大値 4（x = 1）、極小値 0（x = 3）

(2) 面積

f(x) = x(x<sup>2</sup> - 6x + 9) = x(x - 3)<sup>2</sup>

x軸との交点：x = 0, 3

0 ≤ x ≤ 3 で f(x) ≥ 0 なので：

S = ∫<sub>0</sub><sup>3</sup> (x<sup>3</sup> - 6x<sup>2</sup> + 9x) dx

= [x<sup>4</sup>/4 - 2x<sup>3</sup> + 9x<sup>2</sup>/2]<sub>0</sub><sup>3</sup>

= 81/4 - 54 + 81/2

= 81/4 - 216/4 + 162/4

= 27/4

答え：27/4

練習問題3：空間ベクトル

【解答・解説】

(1) ベクトル AB と AC

AB = B - A = (4-1, 2-2, 0-3) = (3, 0, -3)

AC = C - A = (1-1, 5-2, 0-3) = (0, 3, -3)

答え：AB = (3, 0, -3)、AC = (0, 3, -3)

(2) 三角形ABCの面積

AB × AC を計算：

= (0·(-3) - (-3)·3, (-3)·0 - 3·(-3), 3·3 - 0·0)

= (0 + 9, 0 + 9, 9 - 0)

= (9, 9, 9)

|AB × AC| = √(81 + 81 + 81) = √243 = 9√3

面積 S = (1/2) × 9√3 = 9√3/2

答え：9√3/2

(3) 原点から平面ABCまでの距離

法線ベクトル n = (9, 9, 9) = 9(1, 1, 1)

平面の方程式：1(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0

x + y + z = 6

点O(0, 0, 0)から平面 x + y + z = 6 までの距離：

d = |0 + 0 + 0 - 6| / √(1 + 1 + 1) = 6/√3 = 2√3

答え：2√3

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いかがでしたか？2018年度の愛知県立大学の数学は、基礎力と計算力、そして論理的な記述力を問う良問が揃っていました。

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藤原進之介からのメッセージ

最後までお読みいただき、ありがとうございました。

愛知県立大学の数学は、決して「難問を解く力」だけを求めているわけではありません。基礎をしっかり固め、標準的な問題を確実に解ける力があれば、十分に合格点を取ることができます。

大切なのは、

• 毎日コツコツと学習を続けること
• わからないところをそのままにしないこと
• 計算ミスを減らす意識を持つこと
• 本番を想定した記述練習を行うこと

です。

受験勉強は長く辛い道のりですが、その先には必ず合格という喜びが待っています。私も皆さんの夢を応援しています。一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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まとめ：2018年度 愛知県立大学 数学のポイント

大問	テーマ	ポイント
第1問	確率（じゃんけんカード）	問題文を正確に読み取り、場合分けを丁寧に行う
第2問	微分法・極値	増減表を正確に作成し、極値を求める基本を徹底
第3問	積分法・面積	接線の方程式、積分計算を正確に。最小値問題に注意
第4問	空間ベクトル	外積、スカラー三重積、点と平面の距離の公式を習得

愛知県立大学合格を目指して、一緒に頑張りましょう！

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以上が愛知県立大学 2018年度 数学 過去問解説の記事となります。

記事の特徴として：

1. **試験概要・難易度**を冒頭で明示し、受験生が全体像を把握できるようにしました

2. **全4問を詳細に解説**し、各問題について：
- 問題文（実際の出題を参考に再構成）
- ステップバイステップの解説
- 別解・発展的な内容
を網羅しました

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