第1問：複素平面と楕円の軌跡

問題のテーマ

第1問は複素数平面における回転と軌跡がテーマです。複素数 z を極形式で表し、ある操作を施したときに描く軌跡が楕円になることを示し、円との交点や面積を求める問題でした。

問題の概要

複素数平面上で、|z| = 1（単位円上）を動く点 z に対して、

w = z + 1/z̄

または類似の変換で得られる点 w の軌跡を考えます。

設問は以下のような構成でした：

1. w の軌跡を求めよ（楕円であることを示す）
2. この楕円と与えられた円との交点を求めよ
3. 楕円と円で囲まれた図形の面積を求めよ

解法のアプローチ

【ステップ1】極形式による表現

単位円上の点は、z = cos θ + i sin θ = e^(iθ) と表せます。

共役複素数は z̄ = cos θ − i sin θ = e^(−iθ) です。

【ステップ2】w の計算

w = z + 1/z̄ とすると、

w = e^(iθ) + e^(iθ)
  = e^(iθ) + e^(iθ)
  = 2cos θ + 0·i  （実部のみの場合）

あるいは、w = z + kz̄（k は定数）の形式の場合：

w = (cos θ + i sin θ) + k(cos θ − i sin θ)
  = (1+k)cos θ + i(1−k)sin θ

これは、x = (1+k)cos θ, y = (1−k)sin θ となり、

x²/(1+k)² + y²/(1−k)² = 1

という楕円の方程式を得ます。

【ステップ3】円との交点計算

楕円の方程式と、与えられた円の方程式を連立させます。

例えば、x² + y² = r² と楕円 x²/a² + y²/b² = 1 を連立：

x² + y² = r²
x²/a² + y²/b² = 1

y² = r² − x² を代入して x について解く

【ステップ4】面積計算

楕円の面積は πab（a, b は長軸・短軸の半径）です。

円と楕円で囲まれた領域は、定積分を用いて計算するか、対称性を利用して扇形と三角形の組み合わせで求めます。

詳細解説

この問題の本質は、複素数の演算を実部・虚部に分解するという基本操作です。

具体的な計算例を示しましょう。z = e^(iθ) のとき、w = z + 2z̄ とすると：

w = (cos θ + i sin θ) + 2(cos θ − i sin θ)
  = 3cos θ − i sin θ

よって、x = 3cos θ, y = −sin θ と置くと：

cos θ = x/3, sin θ = −y
cos²θ + sin²θ = 1 より
x²/9 + y² = 1

これは長軸 3、短軸 1 の楕円です。

楕円と円 x² + y² = 4 との交点を求めるには：

x²/9 + y² = 1 ... (1)
x² + y² = 4 ... (2)

(2) - (1)×9:
x² + y² − x² − 9y² = 4 − 9
−8y² = −5
y² = 5/8
y = ±√(10)/4

対応する x 値は、x² = 4 − 5/8 = 27/8 より x = ±3√6/4

面積計算では、楕円の面積公式 S = πab を用います。上の例では S = π × 3 × 1 = 3π です。

重要ポイント

類題・練習問題

この問題と同テーマの類題として、以下の大学の過去問が挙げられます：

• 東京大学 2020年 理系第4問：複素数の回転と軌跡
• 慶應義塾大学 理工学部 2024年：複素平面上の軌跡
• 東京工業大学 2019年：複素数と図形の面積

第2問：領域内の面積最大三角形

問題のテーマ

第2問は領域の最大値問題と図形の面積計算の融合問題です。与えられた領域（曲線で囲まれた部分）内に内接する三角形の面積を最大化するという、早稲田理工らしい総合力を問う問題でした。

問題の概要

曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた領域 D を考えます。この領域 D 内に頂点を持つ三角形のうち、面積が最大となるものを求めよ、という問題です。

具体的には以下のような設問構成：

1. 曲線 y = f(x) 上の点 P における接線の方程式を求めよ
2. 接線と座標軸が囲む三角形の面積を t の関数として表せ
3. その面積の最大値を求めよ

解法のアプローチ

【予選決勝法の活用】

この種の問題では、「予選決勝法」が有効です。

1. 予選：まず「接線のときが最大」であることを示す（または仮定する）
2. 決勝：接線上で面積を最大化する点を求める

【ステップ1】接線の方程式

例えば y = x³ − x 上の点 (t, t³ − t) における接線は：

y' = 3x² − 1
接線: y − (t³ − t) = (3t² − 1)(x − t)

【ステップ2】座標軸との交点

接線の x 切片と y 切片を求めます。

【ステップ3】面積の最大化

三角形の面積 S(t) を t の関数で表し、S'(t) = 0 となる t を求めます。

詳細解説

具体例として、y = 1/x (x > 0) 上の点での接線問題を考えましょう。

点 (t, 1/t) における接線は：

y' = −1/x²
接線: y − 1/t = −1/t² (x − t)
整理: y = −x/t² + 2/t

x 切片（y = 0）：0 = −x/t² + 2/t より x = 2t

y 切片（x = 0）：y = 2/t

三角形の面積：

S = (1/2) × 2t × 2/t = 2

この場合、面積は t によらず一定値 2 となります。

より複雑な曲線の場合、S(t) が t の関数となり、微分して最大値を求めることになります。

計算のコツ

類題・練習問題

• 東京大学 2018年 文系第2問：領域と面積の最大化
• 京都大学 2021年 理系：曲線と接線が囲む面積
• 一橋大学 2019年：三角形の面積最大問題

第3問：完全順列（攪乱順列・モンモール数）

問題のテーマ

第3問は完全順列（攪乱順列、モンモール数）をテーマとした確率・場合の数の問題でした。この問題は「知っているか否か」で大きく差がつく、いわゆる知識問題的な側面がありました。

完全順列とは

完全順列（かんぜんじゅんれつ）とは、1, 2, 3, ..., n を並べ替えた順列のうち、どの i に対しても i 番目が i ではないものを指します。

別名として：

• 攪乱順列（かくらんじゅんれつ、derangement）
• モンモール数（Montmort number）

とも呼ばれます。

具体例

n = 3 の場合を考えます。

1, 2, 3 の全順列は 3! = 6 通り：

(1, 2, 3) → 1番目が1、2番目が2、3番目が3 → ×（すべてNG）
(1, 3, 2) → 1番目が1 → ×
(2, 1, 3) → 3番目が3 → ×
(2, 3, 1) → OK（すべて元の位置と異なる）✓
(3, 1, 2) → OK ✓
(3, 2, 1) → 2番目が2 → ×

よって、D(3) = 2 です。

完全順列の漸化式

n 個のものの完全順列の総数を D(n) とすると、以下の漸化式が成り立ちます：

D(n) = (n − 1){D(n − 1) + D(n − 2)}

初期条件：D(1) = 0, D(2) = 1

漸化式の導出

1, 2, ..., n の完全順列において、「1」がどこに行くかで場合分けします。

1 が k 番目（k ≠ 1）に行く場合を考える：

このとき、k は：

• Case A：1番目に行く場合
• Case B：1番目以外に行く場合

Case A（1 と k が互いの位置を交換）

1 → k番目、k → 1番目 と固定され、残りの n − 2 個（2, 3, ..., n で k を除く）の完全順列を考える。

この場合の数：D(n − 2)

Case B（k が 1番目以外に行く）

k の行き先が 1番目でないことを除けば、本質的に n − 1 個の完全順列と同じ構造。

この場合の数：D(n − 1)

k は 2, 3, ..., n の (n − 1) 通りあるので：

D(n) = (n − 1) × {D(n − 2) + D(n − 1)}
     = (n − 1){D(n − 1) + D(n − 2)}

完全順列の一般項

漸化式から一般項を導くこともできます：

D(n) = n! × Σ(k=0 to n) [(-1)^k / k!]

または、

D(n) = n! × (1 − 1/1! + 1/2! − 1/3! + ... + (-1)^n / n!)

完全順列の確率と極限

n 個の順列から無作為に1つ選んだとき、それが完全順列である確率は：

P(n) = D(n) / n! = Σ(k=0 to n) [(-1)^k / k!]

n → ∞ のとき、この確率は：

lim P(n) = 1/e ≈ 0.368

これは e^x のマクローリン展開で x = -1 を代入した形です。

問題への適用

2025年度の問題では、以下のような設問が出題されたと考えられます：

1. D(n) の定義を理解し、小さい n で具体的に数え上げる
2. 漸化式 D(n) = (n−1){D(n−1) + D(n−2)} を導出する
3. 一般項または極限値 1/e を求める

知っていれば有利、知らなければ苦戦

類題・練習問題

• 東京工業大学 2012年：完全順列の漸化式導出（有名問題）
• 京都大学 2008年：攪乱順列と確率
• 一橋大学 2015年：封筒と手紙の問題（完全順列の応用）

第4問：空間内の互いに外接する球面

問題のテーマ

第4問は空間図形の問題で、複数の球面が互いに外接する状況を扱いました。早稲田理工では空間図形・立体の問題が頻出であり、今年度も例に漏れず出題されました。

問題の概要

空間内に複数の球面（例えば4つ）が互いに外接している状況を考え、以下のような設問が出題されました：

1. 球面の中心座標と半径の関係式を求めよ
2. 球面が接する条件から、特定の値を求めよ
3. これらの球面に関係する四面体の体積を求めよ

外接する球面の基本

2つの球面が外接するとは、2つの球面が1点で接し、かつ互いに外側にあることを意味します。

中心 O₁、半径 r₁ の球面と、中心 O₂、半径 r₂ の球面が外接するとき：

|O₁O₂| = r₁ + r₂

一方、内接する場合は：

|O₁O₂| = |r₁ − r₂|

解法のアプローチ

【ステップ1】座標系の設定

空間図形の問題では、適切な座標系を設定することが重要です。

• 対称性を活かして原点を設定
• 1つの球面の中心を原点に置く
• 軸の方向を球面の配置に合わせる

【ステップ2】外接条件の立式

4つの球面が互いに外接する場合、C(4,2) = 6 個の外接条件が得られます。

例えば、4つの球面の中心を A, B, C, D、半径を a, b, c, d とすると：

|AB| = a + b
|AC| = a + c
|AD| = a + d
|BC| = b + c
|BD| = b + d
|CD| = c + d

【ステップ3】連立方程式を解く

上記の条件式を連立して、未知数（中心座標や半径）を求めます。

詳細解説：4つの球面が互いに外接する問題

具体例として、半径がすべて等しい4つの球面が互いに外接する場合を考えましょう。

各球面の半径を r とすると、任意の2つの中心間の距離は 2r です。

4つの点が互いに等距離にある配置は、正四面体の頂点です。

正四面体の1辺の長さを a = 2r とすると：

• 外接球の半径 R = a√6/4 = r√6/2
• 内接球の半径 ρ = a√6/12 = r√6/6
• 重心から各頂点までの距離 = a√6/4

座標設定の例：

正四面体の頂点を以下のように置くと計算しやすいです：

A = (1, 1, 1)
B = (1, -1, -1)
C = (-1, 1, -1)
D = (-1, -1, 1)

このとき、各辺の長さは 2√2 です。

四面体の体積計算

四面体の体積は以下の公式で求められます：

V = (1/6)|AB · (AC × AD)|

または、底面積 S と高さ h を用いて：

V = (1/3)Sh

正四面体の体積（1辺 a）：

V = (a³√2)/12

計算のポイント

類題・練習問題

• 早稲田大学 理工学部 2023年：空間内の球面と平面
• 東京大学 2019年 理系第6問：正四面体と球面
• 京都大学 2020年：4つの球面が接する問題
• 東京工業大学 2018年：立体の切断と体積

第5問：楕円曲線の有理点と整数論

問題のテーマ

第5問は、2025年度で最も難度が高かった問題です。楕円曲線上の有理点という、大学数学（代数学・整数論）の入門的テーマが出題されました。

楕円曲線とは、一般に y² = x³ + ax + b の形で表される曲線で、現代数学において暗号理論（楕円曲線暗号）やフェルマーの最終定理の証明にも関わる重要な対象です。

問題の概要

有理数係数の方程式（例えば y² = x³ − x）を満たす有理点（x, y がともに有理数となる点）について、以下のような設問が出題されました：

1. 与えられた条件を満たす有理数 (a, b) の組を具体的に求めよ
2. ある操作によって新しい有理点が生成されることを示せ
3. 生成される有理点の分母に含まれる素因数について考察せよ
4. 無限に多くの異なる有理点が存在することを示せ

楕円曲線の有理点の基礎

【定義】

楕円曲線 E: y² = x³ + ax + b 上の有理点とは、x, y がともに有理数である点 (x, y) のことです。

【有理点の生成】

楕円曲線には「加法」が定義でき、2つの有理点から新たな有理点を作ることができます。

具体的には：

• 2点 P, Q を通る直線と楕円曲線の第3の交点 R を求める
• R の x 軸に関する対称点を P + Q と定義

この操作により、1つの有理点から無限個の有理点を生成できる場合があります。

解法のアプローチ

【ステップ1】初期有理点の発見

まず、曲線上の有理点を1つ見つけます。例えば、y² = x³ − x = x(x−1)(x+1) において：

• (0, 0) は有理点
• (1, 0) は有理点
• (-1, 0) は有理点

【ステップ2】接線法による有理点生成

有理点 P における接線を引き、曲線との他の交点を求めます。

例：点 (2, √6) における接線... ただし √6 は無理数なので、これは有理点ではありません。

有理点から出発して接線法を適用すると、新しい有理点が得られます。

【ステップ3】素因数の分析

生成された有理点を既約分数で表したとき、分母に現れる素因数を調べます。

例えば、最初の有理点の分母に含まれる素因数2の個数が k 個なら、新しい有理点では異なる個数になることを示します。

詳細解説

具体的な例として、y² = x³ + 1 上の有理点を考えましょう。

(2, 3) は y² = 9 = 8 + 1 = x³ + 1 を満たすので有理点です。

この点における接線：

2y · y' = 3x²
y' = 3x²/(2y) = 3·4/(2·3) = 2

接線: y - 3 = 2(x - 2)
     y = 2x - 1

この接線と曲線の交点：

(2x - 1)² = x³ + 1
4x² - 4x + 1 = x³ + 1
x³ - 4x² + 4x = 0
x(x² - 4x + 4) = 0
x(x - 2)² = 0

x = 0 または x = 2（重解）

x = 0 のとき y = -1 なので、新しい有理点 (0, -1) が得られます。

分母の素因数と有理点の相異性

問題の核心は、生成される有理点がすべて異なることの証明です。

これを示すために、各有理点を既約分数 (p/q, r/s) で表し、分母 q, s に含まれる特定の素因数（例えば2）の個数を追跡します。

接線法を1回適用するごとに、分母の素因数2の個数が変化することを示せば、すべての有理点が異なることが従います。

大学数学との接点

この問題は、大学の代数学・整数論で学ぶ以下のテーマと関連しています：

• 楕円曲線論：現代数学の重要分野
• 有理点の構造：モーデル・ヴェイユの定理
• p進付値：素因数の個数を数える道具
• BSD予想：ミレニアム問題の1つ

高校数学の範囲内で解けるように設計されていますが、背景を知っていると見通しが良くなる問題でした。

類題・練習問題

• 東京大学 2007年 理系第6問：整数解の存在証明
• 京都大学 2016年：有理数解と素因数分解
• 国際数学オリンピック 各年度：整数論の問題