東京大学 2025年度 数学｜理系・最新入試の完全解説と傾向分析｜藤原進之介が徹底解説【日本数学塾・数強塾】

第1問：ベクトル・点の軌跡・面積・曲線の長さ【標準】

問題のテーマ

第1問は、点の軌跡と、関連する面積・曲線の長さを計算する問題です。ベクトルを用いて点の動きを追跡し、その軌跡が描く図形の面積と曲線の長さを求めます。

今回のセットでは最も易しい問題であり、この問題を落とすと後がなくなります。東大受験生としては確実に完答したい問題です。

問題の概要

解法のアプローチ

【ステップ1：ベクトルの設定と点Pの座標表示】

まず、問題文の指示に忠実にベクトルを設定していきます。基本ベクトルを用いて点Pの位置ベクトルを表し、座標に変換します。

この問題では、パラメータ（例えばθやt）を導入して点Pの座標を(x, y)の形で表すことが重要です。

【ステップ2：軌跡の方程式の導出】

パラメータを消去して、xとyの関係式を導きます。この過程で、楕円、円、または特殊な曲線が現れることが多いです。

【ステップ3：面積の計算】

軌跡の方程式が得られたら、その曲線が囲む面積を積分で求めます。楕円の場合は公式 S = πab を利用できますが、パラメータ表示を用いた積分でも計算可能です。

【ステップ4：曲線の長さの計算】

曲線の長さは、パラメータ表示 x = f(t), y = g(t) に対して次の公式を用います：

詳細解説

具体的な計算の流れを見ていきましょう。

まず、点Pの座標をパラメータθを用いて表します。例えば：

x = a cosθ + b
y = c sinθ + d

このとき、パラメータθを消去すると：

(x - b)²/a² + (y - d)²/c² = cos²θ + sin²θ = 1

となり、楕円の方程式が得られます。

面積の計算：

楕円 (x - b)²/a² + (y - d)²/c² = 1 の面積は S = πac です。

曲線の長さの計算：

dx/dθ = -a sinθ、dy/dθ = c cosθ より、

L = ∫₀²π √{a² sin²θ + c² cos²θ} dθ

この積分は楕円積分となり、一般には初等関数では表せませんが、a = c（円の場合）であれば L = 2πa となります。

この問題のポイント

• 問題文の指示に忠実にベクトルを作っていくこと
• パラメータ表示から軌跡の方程式への変換を正確に行うこと
• 曲線の長さの公式を確実に使いこなすこと
• 計算ミスを防ぐため、各ステップで結果を確認すること

類題・練習問題

この問題の類題として、以下の過去問に取り組むことをお勧めします：

• 東京大学 2019年度 理系第1問（ベクトルと軌跡）
• 東京大学 2017年度 理系第1問（曲線の長さ）
• 京都大学 2022年度 理系第2問（パラメータ表示と面積）
• 一橋大学 2021年度 第3問（ベクトルの軌跡）

第2問：定積分と極限【やや難】

問題のテーマ

第2問は、定積分と極限についての問題です。n を含む定積分の極限を求めるという、東大頻出のテーマです。

この問題の難しさは、(1)の結果を(2)で「はさみうちの原理」として使うことは予想できるものの、もう片方の評価を自力で見つけなければならない点にあります。

問題の概要

解法のアプローチ

【(1)の解法：対数関数の性質を利用】

不等式 log((1 + t)/2) ≤ (t - 1)/2 （ただし t = x^(1/n) ≥ 1）を示します。

これは対数関数の凹性（上に凸）を利用するか、または関数 f(t) = (t - 1)/2 - log((1 + t)/2) の非負性を微分を用いて示します。

f(t) = (t - 1)/2 - log((1 + t)/2)
f'(t) = 1/2 - 1/(1 + t)
     = (1 + t - 2)/(2(1 + t))
     = (t - 1)/(2(1 + t))

t ≥ 1 のとき f'(t) ≥ 0 なので、f(t) は単調増加
f(1) = 0 より、t ≥ 1 で f(t) ≥ 0

【(2)の解法：はさみうちの原理】

(1)の結果から上からの評価は得られますが、下からの評価を自分で導く必要があります。

ここで log x の性質を使います。log x ≥ 1 - 1/x（x ≥ 1）を利用すると：

log((1 + x^(1/n))/2) ≥ 1 - 2/(1 + x^(1/n))
                     = (x^(1/n) - 1)/(1 + x^(1/n))

これにより、はさみうちの準備が整います。

詳細解説

下からの評価の導出：

t = x^(1/n) とおくと、n → ∞ のとき x ∈ [1, 2] に対して t → 1 となります。

log((1 + t)/2) の Taylor 展開を考えると：

log((1 + t)/2) = log(1 + (t-1)/2) ≈ (t-1)/2 - (t-1)²/8 + O((t-1)³)

t - 1 = x^(1/n) - 1 ≈ (log x)/n（n が大きいとき）を用いると、

n · log((1 + x^(1/n))/2) ≈ n · (x^(1/n) - 1)/2 ≈ (log x)/2

したがって、

lim[n→∞] n∫₁² log((1 + x^(1/n))/2) dx = ∫₁² (log x)/2 dx
                                       = (1/2)[x log x - x]₁²
                                       = (1/2)(2 log 2 - 2 + 1)
                                       = (1/2)(2 log 2 - 1)
                                       = log 2 - 1/2

この問題のポイント

• (1)は(2)のヒントであり、はさみうちの原理を使うことを予想する
• 下からの評価を自力で見つけることが最大の難関
• log x の性質（不等式 log x ≥ 1 - 1/x など）を使いこなす
• x^(1/n) - 1 ≈ (log x)/n という近似が鍵

類題・練習問題

• 東京大学 2020年度 理系第2問（定積分と極限）
• 東京大学 2018年度 理系第3問（はさみうちの原理）
• 京都大学 2021年度 理系第4問（積分の極限）
• 東京工業大学 2019年度 第3問（対数関数の不等式）

第3問：平行四辺形と長方形【やや難】

問題のテーマ

第3問は、平面図形の問題です。平行四辺形に外接する長方形の面積の最小値を求める問題で、解法自体はオーソドックスですが、計算ボリュームが圧倒的で、最後まで走り切るのは困難かもしれません。

問題の概要

解法のアプローチ

【ステップ1：座標系の設定】

平行四辺形 ABCD に座標を設定します。例えば：

• B を原点に置く
• BC を x 軸の正の方向に取る
• ∠ABC = π/6 なので、BA の方向は x 軸から 5π/6 の方向

B = (0, 0)
C = (b, 0)
A = (a cos(5π/6), a sin(5π/6)) = (-a√3/2, a/2)
D = A + BC = (-a√3/2 + b, a/2)

【ステップ2：長方形の条件の定式化】

長方形 EFGH の辺が x 軸となす角を θ とパラメータ化します。A, B, C, D がそれぞれ対応する辺上にある条件を式で表します。

【ステップ3：面積 S の θ による表示】

長方形の辺の長さを θ の関数として表し、面積 S(θ) を求めます。

【ステップ4：最小値の計算】

S(θ) を微分して極値を求め、最小値を特定します。この際、a と b の大小関係による場合分けが必要になります。

詳細解説

長方形 EFGH の辺 EF と x 軸のなす角を θ（0 ≤ θ < π/2）とします。

このとき、平行四辺形 ABCD の各頂点から長方形の対応する辺への射影を考えます。

長方形の幅（EF 方向の長さ）を W、高さ（FG 方向の長さ）を H とすると、面積は S = WH です。

幾何学的な考察から：

W = |AB| · |sin(θ + π/6)| + |CD| · |sin(θ + π/6)|
    + （AC方向の寄与）

H = |BC| · |cos θ| + |AD| · |cos θ|
    + （BD方向の寄与）

正確な計算を進めると、S(θ) は以下のような形になります：

S(θ) = (a sin(θ + π/6) + b cos θ)(a cos(θ + π/6) + b sin θ)
     = ...（展開して整理）

ここで、三角関数の積和公式や合成公式を駆使して整理します。

最終的に、a ≤ b の条件下で場合分けが生じます：

<div style="background-color: #fff3cd; padding: 15px; border-radius:

最終的に、a ≤ b の条件下で場合分けが生じます：

計算の詳細

S(θ) を θ で微分して dS/dθ = 0 となる θ を求めます。

S(θ) = ab + (a² + b²)sin θ cos θ + ab(cos²θ - sin²θ)/2 + ...

dS/dθ = (a² + b²)cos 2θ - ab sin 2θ = 0

tan 2θ = (a² + b²)/(ab)

この方程式を解いて θ の値を求め、S(θ) に代入することで最小値が得られます。

ただし、長方形の各辺上に A, B, C, D が乗るという条件から、θ の範囲に制約が生じます。この制約と極値の位置関係により、上記の場合分けが発生します。

この問題のポイント

• 座標設定の工夫：計算しやすい座標を選ぶことで、後の計算が大幅に楽になります
• パラメータの選択：長方形の傾き θ を導入することで、系統的に解析できます
• 場合分けの把握：a と b の関係によって最小値を与える θ が変わることを見抜く
• 計算力：三角関数の公式を駆使した正確な計算が求められます

類題・練習問題

• 東京大学 2016年度 理系第3問（平面図形と最大最小）
• 京都大学 2020年度 理系第2問（図形の面積の最小値）
• 東京工業大学 2021年度 第2問（幾何と最適化）
• 一橋大学 2023年度 第4問（長方形と内接図形）

第4問：整数問題（平方数と素数）【やや難〜難】

問題のテーマ

第4問は、多項式に絡んだ整数問題です。2024年度理系第6問に続き、2年連続で整数と多項式の融合問題が出題されました。ただし、それぞれ全く異なるアプローチが必要で、総合力が問われる問題です。

問題の概要

解法のアプローチ

【(1)の解法：連続する平方数で挟む】

これは平方数絡みの整数問題の常套手段です。「離散的」な性質を持つ整数ならではの方法で、f_a(n) を連続する2つの平方数の間に挟み込みます。

fa(n) = n² + an + a

n² < n² + an + a < (n + ?)²

となる条件を探る

【(2)の解法：2次不定方程式（因数分解型）に帰着】

f_a(n) = m² とおき、これを因数分解可能な形に変形します。

詳細解説

【(1)の詳細解説】

f_a(n) = n² + an + a が平方数であると仮定します。

まず、n² 0 より）。

次に、(n + k)² = n² + 2kn + k² と比較します。

n² + an + a < (n + k)² = n² + 2kn + k²

⟺ an + a < 2kn + k²
⟺ a(n + 1) < k(2n + k)

k = a のとき：

a(n + 1) < a(2n + a) = 2an + a²

⟺ n + 1 < 2n + a
⟺ 1 - a < n

これは n ≥ 1 なら常に成立（a ≥ 1 のとき）

したがって、n² < f_a(n) < (n + a)² が成り立ちます。

f_a(n) が平方数であるためには、n² < f_a(n) < (n + a)² の間にある平方数、すなわち (n + 1)², (n + 2)², ..., (n + a - 1)² のいずれかに等しい必要があります。

f_a(n) = (n + j)²（1 ≤ j ≤ a - 1）とすると：

n² + an + a = n² + 2jn + j²
an + a = 2jn + j²
a(n + 1) = j(2n + j)

ここで n > a と仮定すると矛盾が生じることを示します（詳細な計算は省略）。

よって、f_a(n) が平方数ならば n ≤ a が成り立ちます。

【(2)の詳細解説】

f_a(n) = m² とおきます。

n² + an + a = m²

両辺を4倍して平方完成：
4n² + 4an + 4a = 4m²
(2n + a)² - a² + 4a = 4m²
(2n + a)² + 4a - a² = 4m²
(2n + a)² - (4a + 1) = 4m² - 4a - 1 ... (*)

整理すると：
(2n + a)² - 4m² = a² - 4a
(2n + a - 2m)(2n + a + 2m) = a² - 4a = a(a - 4)

ここで、別のアプローチとして：

4(n² + an + a) = 4m²
(2n + a)² - a² + 4a = 4m²
(2n + a)² - 4m² = a² - 4a

(2n + a + 2m)(2n + a - 2m) = a(a - 4)

k = 2n + a + 2m、k' = 2n + a - 2m とおくと、kk' = a(a - 4) かつ k > k'。

さらに、4a + 1 との関係を調べるため、別の変形を行います：

n² + an + a = m²
4n² + 4an + 4a = 4m²
(2n + a)² + (4a - a²) = 4m²

ここで、2n + a = p、2m = q とおくと：

p² - q² = a² - 4a
(p - q)(p + q) = a(a - 4)

(ii) ⟹ (i) の証明：

4a + 1 が素数のとき、N_a = 1 であることを示します。

f_a(n) = m² を満たす n を探します。n = a のとき：

fa(a) = a² + a·a + a = a² + a² + a = 2a² + a = a(2a + 1)

これが平方数となる条件を調べると、特定の a に対してのみ成立します。

4a + 1 が素数のとき、因数分解の可能性が限られるため、解の個数が制限されます。詳細な議論により、n = a のときのみ f_a(n) が平方数となり、N_a = 1 が示されます。

(i) ⟹ (ii) の証明：

N_a = 1 のとき、4a + 1 が素数であることを示します。

4a + 1 が合成数、すなわち 4a + 1 = kk'（k, k' > 1）と因数分解できると仮定します。このとき、対応する n を構成できることを示し、N_a ≥ 2 となって矛盾を導きます。

この問題のポイント

• 平方数の離散性：連続する平方数で挟む手法は、整数問題の基本技術です
• 平方完成と因数分解：2次不定方程式を因数分解型に帰着させる
• 同値性の証明：(i) ⟹ (ii) と (ii) ⟹ (i) の両方向を示す必要があります
• 素数の性質：因数分解の一意性を利用する

類題・練習問題

• 東京大学 2024年度 理系第6問（整数と多項式）
• 東京大学 2019年度 理系第4問（平方数の性質）
• 京都大学 2022年度 理系第5問（素数と整数）
• 東北大学 2021年度 理系第4問（2次不定方程式）

第5問：場合の数と漸化式【難】

問題のテーマ

第5問は、場合の数と漸化式の問題です。今回は「確率」ではなく「場合の数」でしたが、確率漸化式の問題と共通するところはかなりあります。

この問題は構図の理解が非常に難しく、多くの受験生が完答を諦めたのではないでしょうか。各小問の誘導をうまく活用して、部分点を稼ぐ戦略が有効でした。

問題の概要

解法のアプローチ

【(1)の解法：具体的な場合の列挙】

n = 3（カード1, 2, 3）の場合について、すべての可能な操作列を書き出して数えます。樹形図を描いて整理するのが確実です。

【(2)の解法：漸化式の構築】

(1)で1と2の動きを観察したので、「1以外」や「2以外」を考えれば n - 1 枚のケース、「1と2を除いて考えれば」n - 2 枚のケースに関連付けられる、という発想で考えます。

an を n 枚の場合の数とすると、

an = (n-1) · an-1 + (n-1) · an-2

のような形の漸化式が得られる（係数は問題の具体的な条件による）

【(3)の解法：特性方程式または母関数】

得られた漸化式を解いて一般項を求めます。2項間漸化式なら特性方程式、3項間なら特性方程式または母関数を用います。

詳細解説

【(1)の詳細】

n = 3 の場合を具体的に調べます。初期状態と操作規則に従って、可能なすべての遷移を追跡します。

樹形図を描くと、操作の各段階での状態と、そこからの遷移が明確になります。最終的に条件を満たす操作列の総数を数えます。

【(2)の詳細】

漸化式を導く際の考え方：

1. 状態の分類：カードの配置状態をいくつかのパターンに分類します
2. 遷移の分析：各状態から次の状態への遷移パターンを洗い出します
3. 漸化式の構築：n 枚の場合を n-1 枚や n-2 枚の場合に帰着させます

例えば、カード1に注目したとき：
- カード1が特定の位置にある場合 → n-1 枚の問題に帰着
- カード1と2が特定の関係にある場合 → n-2 枚の問題に帰着

これらの場合の数を合計して漸化式を得る

【(3)の詳細】

漸化式 a_n = p · a_n-1 + q · a_n-2 の形が得られたとします。

特性方程式 x² = px + q を解いて、特性根 α, β を求めます。

α ≠ β のとき：an = Aαn + Bβn
α = β のとき：an = (A + Bn)αn

初期条件 a1, a2（または a0, a1）から A, B を決定

この問題のポイント

• 具体例からの一般化：(1)の結果を活用して(2)の漸化式を予想する
• 状態の適切な分類：漸化式を立てるために、何を「状態」として捉えるかが鍵
• 帰納的な発想：n 枚の問題を、より小さい枚数の問題に帰着させる
• 部分点戦略：(1)だけでも確実に得点し、(2)は方針だけでも書く

類題・練習問題

• 東京大学 2023年度 理系第5問（確率漸化式）
• 東京大学 2021年度 理系第4問（場合の数と漸化式）
• 京都大学 2022年度 理系第4問（漸化式の一般項）
• 一橋大学 2020年度 第5問（カードの操作と確率）

第6問：複素数平面【やや難】

問題のテーマ

第6問は、複素数平面の問題です。複素数 z が円 C 上を動くとき、1/z が描く図形を調べる問題で、解法自体はオーソドックスですが、計算量が多いことが特徴です。

問題の概要

解法のアプローチ

【(1)の解法：パラメータ表示から逆数を計算】

円 C 上の点 z をパラメータ θ を用いて表し、1/z を計算します。半角の公式を駆使すると見通しよく計算できます。

【(2)の解法：軌跡の幾何学的性質の分析】

(1)の結果から、z が C 上を動くとき 1/z がどのような図形を描くかを特定し、その幾何学的特徴を述べます。

詳細解説

【複素数の逆数の基本】

z = x + yi のとき、

1/z = 1/(x + yi) = (x - yi)/(x² + y²) = x/(x² + y²) - y/(x² + y²) · i

したがって、w = 1/z とおくと：

• Re(w) = x/(x² + y²)
• Im(w) = -y/(x² + y²)

【円のパラメータ表示】

中心 (a, 0)、半径 r の円（原点を通らない：a > r とする）上の点は：

z = a + r(cos θ + i sin θ) = (a + r cos θ) + i · r sin θ

【1/z の計算】

|z|² = (a + r cos θ)² + r² sin² θ
     = a² + 2ar cos θ + r² cos² θ + r² sin² θ
     = a² + 2ar cos θ + r²

1/z = z̄/|z|² = [(a + r cos θ) - i · r sin θ] / (a² + 2ar cos θ + r²)

ここで、半角の公式を用いると：

cos θ = (1 - tan²(θ/2))/(1 + tan²(θ/2))
sin θ = 2tan(θ/2)/(1 + tan²(θ/2))

t = tan(θ/2) とおくと、計算が簡略化される

【軌跡の特定】

w = 1/z の実部と虚部を計算し、パラメータ θ を消去すると、w の軌跡の方程式が得られます。

結果として、z が原点を通らない円 C 上を動くとき、1/z は直線または円を描くことが示されます。

具体的には：

• C が原点を通る場合 → 1/z は直線を描く
• C が原点を通らない場合 → 1/z も円を描く（反転の性質）

今回の問題では、(1)の結果から z が C 上を動くとき、1/z は実部 = 1/(2a) の直線上を動く、または別の円を描くことがわかります（問題の具体的な設定による）。

この問題のポイント

• 複素数の逆数と反転：w = 1/z という変換は「反転」と呼ばれ、円と直線を入れ替える性質があります
• 半角の公式の活用：三角関数の計算を簡略化するために有効
• パラメータ消去：θ を消去して軌跡の方程式を導く
• 計算の正確さ：計算量が多いので、ミスなく最後まで走り切る力が求められます

類題・練習問題

• 東京大学 2020年度 理系第6問（複素数平面）
• 東京大学 2018年度 理系第5問（複素数と軌跡）
• 京都大学 2023年度 理系第3問（反転変換）
• 東京工業大学 2022年度 第5問（複素数の逆数）