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【確率漸化式】最難関テーマ完全解説
〜東大・京大・医学部合格への道〜

はじめに

こんにちは、数強塾の藤原進之介です。

受験数学において、「確率漸化式」は最難関テーマの一つとして知られています。東京大学、京都大学、大阪大学、東京工業大学、一橋大学、早稲田大学、慶應義塾大学、そして医学部入試において、確率漸化式は頻出中の頻出です。

私がこれまで2500名以上の生徒を指導してきた中で、確率漸化式に対して次のような悩みを持つ受験生が非常に多いことがわかりました。

• 「確率と漸化式、どちらも単体なら解けるのに、融合すると手が止まる」
• 「状態の設定の仕方がわからない」
• 「漸化式の立式でいつも間違える」
• 「特性方程式の使い方がよくわからない」
• 「問題によってパターンが違いすぎて、対応できない」

この記事では、こうした悩みを完全に解消します。確率漸化式の基礎から最難関レベルまで、5つの具体的な問題例（全問詳細解説付き）を通じて、徹底的に解説していきます。

最後まで読んでいただければ、確率漸化式が得点源に変わることをお約束します。

【確率漸化式】入試数学の全体像と特徴

確率漸化式とは何か？

確率漸化式とは、確率を求める際に漸化式を利用する問題のことです。より具体的には、ある試行を繰り返し行うとき、n回目の操作後に特定の状態にある確率を P<sub>n</sub> とおき、P<sub>n</sub> と P<sub>n+1</sub>（あるいは P<sub>n-1</sub>）の関係式（漸化式）を立てて解く問題です。

なぜ確率漸化式は難関大で頻出なのか？

確率漸化式が東大・京大・医学部で頻出である理由は以下の通りです。

1. 複合的な数学力を問える：確率の理解、漸化式の立式・解法、極限の理解など、複数の分野の力を同時に試せる
2. 思考力を測れる：状態の設定、遷移の把握など、単なる計算力だけでなく数学的思考力が必要
3. 差がつきやすい：正しく解ける受験生と解けない受験生の差が明確に出る
4. 採点しやすい：答えが一意に定まるため、採点の公平性が保てる

確率漸化式の出題傾向（大学別）

確率漸化式を解くための4ステップ

確率漸化式の問題は、以下の4ステップで確実に解けるように設計されています。

よく使う漸化式のタイプ

【タイプ1】2項間漸化式（基本型）

【タイプ2】3項間漸化式

【タイプ3】連立漸化式

具体的な問題例と解法（5問以上・全問詳細解説）

【問題1】正四面体上の点の移動（基本）

【問題2】サイコロの目の積と3の倍数（標準〜やや難）

【問題3】ランダムウォーク（やや難）

        ┌──────┐
        │ 状態A │←─────────────┐
        └───┬──┘              │
      a│    │b              │c
       ↓    ↓               │
   ┌──────┐    ┌──────┐      │
   │ 状態B │←──→│ 状態C │──────┘
   └──────┘ d,e └──────┘