【東京都市大学 数学 傾向と対策】工学部｜藤原進之介が徹底解説

問題：次の定積分を求めよ。

$displaystyleint_1^e frac{log x}{x^2} dx$

問題：次の不定積分を求めよ。

$displaystyleint frac{x}{(x+1)(x+2)} dx$

問題：次の極限値を求めよ。

$displaystylelim_{x to 0} frac{sin 3x - 3sin x}{x^3}$

問題：複素数平面上で、$z^3 = 1$を満たす$z$のうち、虚部が正のものを$omega$とする。このとき、$1 + omega + omega^2$の値を求めよ。また、$|z - 1| = |z - omega|$を満たす$z$全体が表す図形を複素数平面上に図示せよ。

問題：平面上に3点 $A(1, 0)$, $B(0, 2)$, $C(3, 4)$ がある。三角形ABCの面積を求めよ。また、点Cを通り、三角形ABCの面積を二等分する直線の方程式を求めよ。

問題：数列${a_n}$が$a_1 = 1$、$a_{n+1} = frac{2a_n}{a_n + 1}$ $(n = 1, 2, 3, cdots)$を満たすとき、一般項$a_n$を求め、$displaystylelim_{n to infty} a_n$を求めよ。

問題：

次の定積分を求めよ。

$$int_1^e frac{log x}{x^2} dx$$

答え：$displaystylefrac{e - 2}{e}$

問題：

次の不定積分を求めよ。

$$int frac{x}{(x+1)(x+2)} dx$$

答え：$-log|x+1| + 2log|x+2| + C$ または $displaystylelogfrac{(x+2)^2}{|x+1|} + C$

問題：

曲線 $y = x^3 - 3x$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

答え：$8$

問題：

袋の中に赤玉3個、白玉5個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す操作を3回繰り返す。赤玉が少なくとも1回出る確率を求めよ。また、赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

答え：

赤玉が少なくとも1回出る確率：$displaystylefrac{387}{512}$

赤玉がちょうど2回出る確率：$displaystylefrac{135}{512}$

問題：

1から6までの目が等しい確率で出るサイコロを3回投げる。出た目の積が4の倍数になる確率を求めよ。

答え：$displaystylefrac{5}{8}$

問題：

数列${a_n}$が次の漸化式を満たすとする。

$$a_1 = 3, quad a_{n+1} = frac{2a_n + 1}{a_n + 2} quad (n = 1, 2, 3, cdots)$$

(1) $b_n = frac{a_n - 1}{a_n +

【問題6】漸化式と極限（続き）

【解答・解説】

(1) $b_{n+1}$を$b_n$で表す

$$b_{n+1} = frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1} = frac{frac{2a_n + 1}{a_n + 2} - 1}{frac{2a_n + 1}{a_n + 2} + 1}$$

分子：$frac{2a_n + 1 - (a_n + 2)}{a_n + 2} = frac{a_n - 1}{a_n + 2}$

分母：$frac{2a_n + 1 + (a_n + 2)}{a_n + 2} = frac{3a_n + 3}{a_n + 2} = frac{3(a_n + 1)}{a_n + 2}$

よって、

$$b_{n+1} = frac{a_n - 1}{a_n + 2} times frac{a_n + 2}{3(a_n + 1)} = frac{a_n - 1}{3(a_n + 1)} = frac{1}{3}b_n$$

(2) 一般項$a_n$を求める

$b_{n+1} = frac{1}{3}b_n$ より、${b_n}$は公比$frac{1}{3}$の等比数列です。

$b_1 = frac{a_1 - 1}{a_1 + 1} = frac{3 - 1}{3 + 1} = frac{2}{4} = frac{1}{2}$

よって、

$$b_n = frac{1}{2} times left(frac{1}{3}right)^{n-1} = frac{1}{2 cdot 3^{n-1}}$$

$b_n = frac{a_n - 1}{a_n + 1}$ より、$a_n$について解くと、

$b_n(a_n + 1) = a_n - 1$

$b_n cdot a_n + b_n = a_n - 1$

$b_n + 1 = a_n - b_n cdot a_n = a_n(1 - b_n)$

$$a_n = frac{1 + b_n}{1 - b_n}$$

$b_n = frac{1}{2 cdot 3^{n-1}}$ を代入すると、

$$a_n = frac{1 + frac{1}{2 cdot 3^{n-1}}}{1 - frac{1}{2 cdot 3^{n-1}}} = frac{2 cdot 3^{n-1} + 1}{2 cdot 3^{n-1} - 1}$$

(3) 極限を求める

$$lim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} frac{2 cdot 3^{n-1} + 1}{2 cdot 3^{n-1} - 1}$$

分子・分母を$2 cdot 3^{n-1}$で割ると、

$$= lim_{n to infty} frac{1 + frac{1}{2 cdot 3^{n-1}}}{1 - frac{1}{2 cdot 3^{n-1}}} = frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$$

【藤原のワンポイントアドバイス】

分数型の漸化式は、特性方程式を解いて変数変換するのが定石です。$alpha = frac{2alpha + 1}{alpha + 2}$を解くと$alpha = 1, -1$となるので、$b_n = frac{a_n - 1}{a_n + 1}$という変換が有効だとわかります。このテクニックは東京都市大学に限らず、多くの大学で頻出です！

【問題7】数列の和と極限

【解答・解説】

Step 1：部分分数分解

$$frac{1}{k(k+1)(k+2)} = frac{A}{k} + frac{B}{k+1} + frac{C}{k+2}$$

通分して係数比較すると、$A = frac{1}{2}$、$B = -1$、$C = frac{1}{2}$

$$frac{1}{k(k+1)(k+2)} = frac{1}{2}left(frac{1}{k} - frac{2}{k+1} + frac{1}{k+2}right)$$

これをさらに整理すると、

$$= frac{1}{2}left(frac{1}{k} - frac{1}{k+1}right) - frac{1}{2}left(frac{1}{k+1} - frac{1}{k+2}right)$$

$$= frac{1}{2}left(frac{1}{k(k+1)} - frac{1}{(k+1)(k+2)}right)$$

Step 2：和の計算（部分和の利用）

$$S_n = frac{1}{2}sum_{k=1}^{n}left(frac{1}{k(k+1)} - frac{1}{(k+1)(k+2)}right)$$

これは望遠鏡和（telescoping sum）の形なので、

$$S_n = frac{1}{2}left(frac{1}{1 cdot 2} - frac{1}{(n+1)(n+2)}right)$$

$$= frac{1}{2}left(frac{1}{2} - frac{1}{(n+1)(n+2)}right)$$

$$= frac{1}{4} - frac{1}{2(n+1)(n+2)}$$

Step 3：極限の計算

$$lim_{n to infty} S_n = lim_{n to infty}left(frac{1}{4} - frac{1}{2(n+1)(n+2)}right) = frac{1}{4} - 0 = frac{1}{4}$$

図形・ベクトル（実際の出題例＋詳細解説）

【問題8】空間ベクトルと体積

【解答・解説】

(1) 内積の計算

$overrightarrow{OA} = (2, 0, 0)$、$overrightarrow{OB} = (1, sqrt{3}, 0)$、$overrightarrow{OC} = (1, frac{sqrt{3}}{3}, frac{2sqrt{6}}{3})$

$$overrightarrow{OA} cdot overrightarrow{OB} = 2 times 1 + 0 times sqrt{3} + 0 times 0 = 2$$

$$overrightarrow{OB} cdot overrightarrow{OC} = 1 times 1 + sqrt{3} times frac{sqrt{3}}{3} + 0 times frac{2sqrt{6}}{3} = 1 + 1 = 2$$

$$overrightarrow{OC} cdot overrightarrow{OA} = 1 times 2 + frac{sqrt{3}}{3} times 0 + frac{2sqrt{6}}{3} times 0 = 2$$

(2) 四面体の体積

四面体OABCの体積は、スカラー三重積を用いて次のように計算できます。

$$V = frac{1}{6}|overrightarrow{OA} cdot (overrightarrow{OB} times overrightarrow{OC})|$$

まず、$overrightarrow{OB} times overrightarrow{OC}$を計算します。

$$overrightarrow{OB} times overrightarrow{OC} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 1 & sqrt{3} & 0 \ 1 & frac{sqrt{3}}{3} & frac{2sqrt{6}}{3} end{vmatrix}$$

$$= vec{i}left(sqrt{3} times frac{2sqrt{6}}{3} - 0right) - vec{j}left(1 times frac{2sqrt{6}}{3} - 0right) + vec{k}left(1 times frac{sqrt{3}}{3} - sqrt{3}right)$$

$$= vec{i} times frac{2sqrt{18}}{3} - vec{j} times frac{2sqrt{6}}{3} + vec{k}left(frac{sqrt{3}}{3} - sqrt{3}right)$$

$$= vec{i} times 2sqrt{2} - vec{j} times frac{2sqrt{6}}{3} + vec{k}left(-frac{2sqrt{3}}{3}right)$$

$$= left(2sqrt{2}, -frac{2sqrt{6}}{3}, -frac{2sqrt{3}}{3}right)$$

次に、$overrightarrow{OA} cdot (overrightarrow{OB} times overrightarrow{OC})$を計算します。

$$overrightarrow{OA} cdot (overrightarrow{OB} times overrightarrow{OC}) = (2, 0, 0) cdot left(2sqrt{2}, -frac{2sqrt{6}}{3}, -frac{2sqrt{3}}{3}right)$$

$$= 2 times 2sqrt{2} + 0 + 0 = 4sqrt{2}$$

よって、体積は

$$V = frac{1}{6} times 4sqrt{2} = frac{2sqrt{2}}{3}$$

【問題9】平面ベクトルと面積

【解答・解説】

Step 1：D、Eの位置ベクトル

点Dは辺ABを$2:1$に内分するので、

$$overrightarrow{AD} = frac{2}{3}vec{b}$$

点Eは辺ACを$1:2$に内分するので、

$$overrightarrow{AE} = frac{1}{3}vec{c}$$

Step 2：直線BE上の点P

点Pは直線BE上にあるので、実数$s$を用いて、

$$overrightarrow{AP} = (1-s)overrightarrow{AB} + soverrightarrow{AE} = (1-s)vec{b} + frac{s}{3}vec{c}$$

Step 3：直線CD上の点P

点Pは直線CD上にもあるので、実数$t$を用いて、

$$overrightarrow{AP} = (1-t)overrightarrow{AC} + toverrightarrow{AD} = (1-t)vec{c} + frac{2t}{3}vec{b}$$

Step 4：係数比較

$vec{b}$の係数：$(1-s) = frac{2t}{3}$

$vec{c}$の係数：$frac{s}{3} = (1-t)$

第2式より：$s = 3(1-t) = 3 - 3t$

第1式に代入：$1 - (3 - 3t) = frac{2t}{3}$

$-2 + 3t = frac{2t}{3}$

$-6 + 9t = 2t$

$7t = 6$

$t = frac{6}{7}$

よって、$s = 3 - 3 times frac{6}{7} = 3 - frac{18}{7} = frac{3}{7}$

Step 5：$overrightarrow{AP}$の計算

$$overrightarrow{AP} = (1-s)vec{b} + frac{s}{3}vec{c} = left(1 - frac{3}{7}right)vec{b} + frac{1}{3} times frac{3}{7}vec{c}$$

$$= frac{4}{7}vec{b} + frac{1}{7}vec{c}$$

整数・その他（実際の出題例＋詳細解説）

【問題10】複素数平面

【解答・解説】

Step 1：$z$を極形式で表す

$|z| = 2$より、$z = 2(costheta + isintheta) = 2e^{itheta}$（$0 leq theta < 2pi$）と表せます。

Step 2：$w$を計算

$$w = z + frac{1}{z} = 2e^{itheta} + frac{1}{2e^{itheta}} = 2e^{itheta} + frac{1}{2}e^{-itheta}$$

$$= 2(costheta + isintheta) + frac{1}{2}(costheta - isintheta)$$

$$= left(2costheta + frac{1}{2}costhetaright) + ileft(2sintheta - frac{1}{2}sinthetaright)$$

$$= frac{5}{2}costheta + i times frac{3}{2}sintheta$$

Step 3：図形の特定

$w = x + iy$とおくと、

$x = frac{5}{2}costheta$、$y = frac{3}{2}sintheta$

よって、$costheta = frac{2x}{5}$、$sintheta = frac{2y}{3}$

$cos^2theta + sin^2theta = 1$より、

$$left(frac{2x}{5}right)^2 + left(frac{2y}{3}right)^2 = 1$$

$$frac{x^2}{frac{25}{4}} + frac{y^2}{frac{9}{4}} = 1$$

$$frac{x^2}{(5/2)^2} + frac{y^2}{(3/2)^2} = 1$$

厳選！合格するための練習問題10問

ここからは、東京都市大学合格のために解いておきたい練習問題を10問厳選してお届けします。すべて詳細な解答付きです。

【練習問題1】極限

【詳細解答】

$e^x$と$e^{-x}$のマクローリン展開を用います。

$$e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + cdots$$

$$e^{-x} = 1 - x + frac{x^2}{2!} - frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} - cdots$$

$$e^x - e^{-x} = 2x + frac{2x^3}{3!} + frac{2x^5}{5!} + cdots = 2x + frac{x^3}{3} + cdots$$

$$e^x - e^{-x} - 2x = frac{x^3}{3} + frac{x^5}{60} + cdots$$

よって、

$$lim_{x to 0} frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x^3} = lim_{x to 0} frac{frac{x^3}{3} + frac{x^5}{60} + cdots}{x^3} = lim_{x to 0} left(frac{1}{3} + frac{x^2}{60} + cdotsright) = frac{1}{3}$$

【練習問題2】定積分

【詳細解答】

部分積分を2回適用します。

$int x^2 e^x dx$において、$u = x^2$、$v' = e^x$とおくと、$u' = 2x$、$v = e^x$

$$int x^2 e^x dx = x^2 e^x - int 2x e^x dx$$

さらに$int 2x e^x dx$について、$u = 2x$、$v' = e^x$とおくと、$u' = 2$、$v = e^x$

$$int 2x e^x dx = 2xe^x - int 2e^x dx = 2xe^x - 2e^x$$

よって、

$$int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x = e^x(x^2 - 2x + 2)$$

$$int_0^1 x^2 e^x dx = [e^x(x^2 - 2x + 2)]_0^1 = e(1 - 2 + 2) - 1(0 - 0 + 2) = e - 2$$

【練習問題3】回転体の体積

【練習問題3】回転体の体積

【詳細解答】

回転体の体積の公式を用います。

$$V = pi int_0^{pi} y^2 dx = pi int_0^{pi} sin^2 x , dx$$

$sin^2 x = frac{1 - cos 2x}{2}$（半角の公式）を使って、

$$V = pi int_0^{pi} frac{1 - cos 2x}{2} dx = frac{pi}{2} int_0^{pi} (1 - cos 2x) dx$$

$$= frac{pi}{2} left[x - frac{sin 2x}{2}right]_0^{pi}$$

$$= frac{pi}{2} left[left(pi - frac{sin 2pi}{2}right) - left(0 - frac{sin 0}{2}right)right]$$

$$= frac{pi}{2} times (pi - 0) = frac{pi^2}{2}$$

【練習問題4】媒介変数と面積

【詳細解答】

媒介変数表示の曲線と$x$軸で囲まれた面積は、

$$S = int y , dx = int_0^{2pi} y frac{dx}{dt} dt$$

$frac{dx}{dt} = 1 - cos t$より、

$$S = int_0^{2pi} (1 - cos t)(1 - cos t) dt = int_0^{2pi} (1 - cos t)^2 dt$$

$(1 - cos t)^2 = 1 - 2cos t + cos^2 t = 1 - 2cos t + frac{1 + cos 2t}{2}$

$$= frac{3}{2} - 2cos t + frac{cos 2t}{2}$$

$$S = int_0^{2pi} left(frac{3}{2} - 2cos t + frac{cos 2t}{2}right) dt$$

$$= left[frac{3t}{2} - 2sin t + frac{sin 2t}{4}right]_0^{2pi}$$

$$= left(frac{3 times 2pi}{2} - 0 + 0right) - (0 - 0 + 0) = 3pi$$

【練習問題5】複素数平面と軌跡

【詳細解答】

Step 1：$z$を$w$で表す

$w = frac{z}{z - 2}$より、$w(z - 2) = z$

$wz - 2w = z$

$wz - z = 2w$

$z(w - 1) = 2w$

$$z = frac{2w}{w - 1}$$

Step 2：条件$|z - 1| = 1$を代入

$$left|frac{2w}{w - 1} - 1right| = 1$$

$$left|frac{2w - (w - 1)}{w - 1}right| = 1$$

$$left|frac{w + 1}{w - 1}right| = 1$$

$$|w + 1| = |w - 1|$$

Step 3：図形の特定

$|w + 1| = |w - 1|$は、点$-1$と点$1$から等距離にある点の集合を表します。

これは2点$-1$と$1$を結ぶ線分の垂直二等分線、すなわち虚軸（直線$text{Re}(w) = 0$）です。

ただし、$w = 1$（$z = frac{2 times 1}{1 - 1}$で分母が0）は除きます。

【練習問題6】三角関数の最大・最小

【詳細解答】

Step 1：$cos 2theta$を$sintheta$で表す

$cos 2theta = 1 - 2sin^2theta$を用いると、

$$f(theta) = 2sintheta + 1 - 2sin^2theta$$

$t = sintheta$とおくと、$0 leq theta leq pi$より$0 leq t leq 1$

$$g(t) = -2t^2 + 2t + 1$$

Step 2：2次関数の最大・最小

$$g(t) = -2left(t^2 - tright) + 1 = -2left(t - frac{1}{2}right)^2 + frac{1}{2} + 1 = -2left(t - frac{1}{2}right)^2 + frac{3}{2}$$

$g(t)$は上に凸の放物線で、頂点は$t = frac{1}{2}$

$0 leq t leq 1$の範囲で：

• 最大値：$t = frac{1}{2}$のとき、$gleft(frac{1}{2}right) = frac{3}{2}$
• 最小値：$t = 0$または$t = 1$のとき

$g(0) = 1$、$g(1) = -2 + 2 + 1 = 1$

よって最小値は$1$

【練習問題7】指数・対数の方程式

【詳細解答】

$2^x = t$（$t > 0$）とおくと、$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$

方程式は、

$$t^2 - 3t - 4 = 0$$

$$(t - 4)(t + 1) = 0$$

$t = 4$または$t = -1$

$t > 0$より、$t = 4$

$2^x = 4 = 2^2$より、$x = 2$

【練習問題8】接線と法線

【詳細解答】

Step 1：接線の方程式を求める

$y = e^x$より、$y' = e^x$

点$(a, e^a)$における接線の傾きは$e^a$

接線の方程式：$y - e^a = e^a(x - a)$

$$y = e^a cdot x - ae^a + e^a = e^a(x - a + 1)$$

Step 2：原点を通る条件

接線が原点$(0, 0)$を通るので、

$$0 = e^a(0 - a + 1)$$

$e^a > 0$より、$-a + 1 = 0$

$$a = 1$$

【練習問題9】漸化式と一般項

【詳細解答】

Step 1：特殊解を求める

$a_{n+1} = 3a_n + 2^n$の特殊解として$a_n = k cdot 2^n$の形を仮定します。

$k cdot 2^{n+1} = 3 cdot k cdot 2^n + 2^n$

$2k cdot 2^n = 3k cdot 2^n + 2^n$

$2k = 3k + 1$

$k = -1$

特殊解は$-2^n$

Step 2：変数変換

$b_n = a_n + 2^n$とおくと、

$b_{n+1} = a_{n+1} + 2^{n+1} = 3a_n + 2^n + 2^{n+1} = 3a_n + 3 cdot 2^n = 3(a_n + 2^n) = 3b_n$

Step 3：等比数列の一般項

${b_n}$は公比3の等比数列で、$b_1 = a_1 + 2^1 = 1 + 2 = 3$

$$b_n = 3 cdot 3^{n-1} = 3^n$$

Step 4：$a_n$を求める

$$a_n = b_n - 2^n = 3^n - 2^n$$

【練習問題10】定積分と不等式

【詳細解答】

Step 1：積分で表す

$$log(n+1) - log n = int_n^{n+1} frac{1}{x} dx$$

Step 2：被積分関数の評価

$n leq x leq n+1$のとき、$frac{1}{x}$は単調減少なので、

$$frac{1}{n+1} leq frac{1}{x} leq frac{1}{n}$$

Step 3：積分の評価

不等式を$n$から$n+1$まで積分すると、

$$int_n^{n+1} frac{1}{n+1} dx leq int_n^{n+1} frac{1}{x} dx leq int_n^{n+1} frac{1}{n} dx$$

$$frac{1}{n+1} times 1 leq log(n+1) - log n leq frac{1}{n} times 1$$

等号は成立しないので（$frac{1}{x}$は定数ではない）、

$$frac{1}{n+1} < log(n+1) - log n < frac{1}{n}$$

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【4月〜6月】基礎固め期

【7月〜8月】基礎完成・標準問題演習期

【9月〜10月】応用力養成期

【11月〜12月】過去問演習期

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参考書選びのポイント

よくある質問（FAQ）

Q1. 東京都市大学の数学は難しいですか？

Q2. 数学が苦手でも東京都市大学に合格できますか？

Q3. 何割くらい取れば合格できますか？

Q4. 過去問は何年分解けばいいですか？

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おわりに

最後まで読んでいただき、ありがとうございました！

東京都市大学は、四工大の中でも歴史と伝統のある素晴らしい大学です。特に建築学科や情報系学科は就職にも強く、多くの優秀なエンジニアを輩出しています。

皆さんが東京都市大学に合格し、充実したキャンパスライフを送れることを心から願っています。

受験勉強は大変ですが、正しい方法で努力すれば必ず結果は出ます。

この記事が、皆さんの合格への道標となれば幸いです。

それでは、またお会いしましょう！

日本数学塾・数強塾 看板講師
藤原進之介

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