【金沢大学 数学 傾向と対策】理系｜藤原進之介が徹底解説

図形・ベクトル（実際の出題例＋詳細解説）

【解答】

(1) 内積を求める

余弦定理より、

BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos∠BAC

36 = 25 + 49 - 2·5·7·cos∠BAC

36 = 74 - 70cos∠BAC

cos∠BAC = 38/70 = 19/35

よって、

AB·AC = |AB||AC|cos∠BAC = 5·7·(19/35) = 19

(2) 三角形ABCの面積を求める

sin²∠BAC = 1 - cos²∠BAC = 1 - (19/35)² = 1 - 361/1225 = 864/1225

sin∠BAC > 0 より、sin∠BAC = √864/35 = 12√6/35

S = (1/2)·AB·AC·sin∠BAC = (1/2)·5·7·(12√6/35) = 6√6

(3) 内心の位置ベクトル

内心Iは、各辺の長さを用いて次のように表される：

AI = (a·AA + b·AB + c·AC)/(a + b + c)

ここで、a = BC = 6, b = CA = 7, c = AB = 5

AA = 0 なので、

AI = (7·AB + 5·AC)/(6 + 7 + 5) = (7/18)AB + (5/18)AC

【解答】

(1) 四面体の体積

3辺が互いに直交しているので、直方体の1/6と考えられる。

V = (1/6)·OA·OB·OC = (1/6)·3·4·5 = 10

(2) OHの長さ

三角形ABCの面積Sを求める。

AB² = OA² + OB² = 9 + 16 = 25 より AB = 5

BC² = OB² + OC² = 16 + 25 = 41 より BC = √41

CA² = OC² + OA² = 25 + 9 = 34 より CA = √34

ヘロンの公式を用いる。s = (5 + √41 + √34)/2

別解として、AB = OB - OA, AC = OC - OA として外積を使う方法もある。

O を原点とし、OA = (3, 0, 0), OB = (0, 4, 0), OC = (0, 0, 5) とおくと、

AB = (-3, 4, 0), AC = (-3, 0, 5)

AB × AC = (4·5 - 0·0, 0·(-3) - (-3)·5, (-3)·0 - 4·(-3)) = (20, 15, 12)

|AB × AC| = √(400 + 225 + 144) = √769

S = (1/2)·√769

V = (1/3)·S·OH より、

10 = (1/3)·(√769/2)·OH

OH = 60/√769 = 60√769/769

整数・その他（実際の出題例＋詳細解説）

【解答】

Step 1：因数分解

n⁴ + 4 = n⁴ + 4n² + 4 - 4n²

= (n² + 2)² - (2n)²

= (n² + 2 + 2n)(n² + 2 - 2n)

= (n² + 2n + 2)(n² - 2n + 2)

Step 2：素数となる条件

n⁴ + 4 = (n² + 2n + 2)(n² - 2n + 2) が素数となるためには、

一方の因数が1で、もう一方が素数である必要がある。

n² - 2n + 2 = (n - 1)² + 1 ≥ 1

等号成立は n = 1 のとき。

n = 1 のとき：

n² - 2n + 2 = 1 - 2 + 2 = 1

n² + 2n + 2 = 1 + 2 + 2 = 5（素数）

n ≥ 2 のとき：

n² - 2n + 2 = (n - 1)² + 1 ≥ 2

n² + 2n + 2 = (n + 1)² + 1 ≥ 10 > 1

よって、両方の因数が2以上となり、積は合成数となる。

したがって、n = 1

【解答】

7 の累乗を 10 で割った余りの周期を調べる。

7¹ ≡ 7 (mod 10)

7² ≡ 49 ≡ 9 (mod 10)

7³ ≡ 63 ≡ 3 (mod 10)

7⁴ ≡ 21 ≡ 1 (mod 10)

7⁵ ≡ 7 (mod 10)

周期は4である。

2024 = 4 × 506 なので、2024 ≡ 0 (mod 4)

よって、7²⁰²⁴ ≡ 7⁴ˣ⁵⁰⁶ ≡ (7⁴)⁵⁰⁶ ≡ 1⁵⁰⁶ ≡ 1 (mod 10)

厳選！合格するための練習問題10問

金沢大学合格のために、私が厳選した練習問題10問を紹介します。各問題には詳細な解答をつけていますので、じっくり取り組んでください。

【練習問題1】微分・積分（基本）

【解答】

(1) 極値を求める

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0 のとき、x = 0, 2

f(0) = 2（極大値）

f(2) = 8 - 12 + 2 = -2（極小値）

(2) 面積を求める

f(x) = x³ - 3x² + 2 = (x - 1)(x² - 2x - 2)

x² - 2x - 2 = 0 を解くと、x = 1 ± √3

f(x) = 0 の解は x = 1, 1 - √3, 1 + √3

区間 [1 - √3, 1] で f(x) ≥ 0、区間 [1, 1 + √3] で f(x) ≤ 0

S = ∫_1-√3¹ f(x) dx - ∫₁^1+√3 f(x) dx

対称性より、両積分の絶対値は等しい。

S = 2|∫₁^1+√3 (x³ - 3x² + 2) dx|

= 2|[x⁴/4 - x³ + 2x]₁^1+√3|

計算を進めると、S = 3√3

【練習問題2】微分・積分（応用）

【解答】

(1) 接線の方程式

y' = e^x より、点 P における接線の傾きは e^t

接線 l：y - e^t = e^t(x - t)

y = e^tx - te^t + e^t = e^t(x - t + 1)

(2) 面積 S(t) を求める

接線 l と y 軸の交点は x = 0 のとき y = e^t(1 - t)

t > 0 のとき、1 - t と e^t(1 - t) の符号を考える。

0 < t < 1 のとき：接線の y 切片は正

t > 1 のとき：接線の y 切片は負

S(t) = ∫₀^t {e^x - e^t(x - t + 1)} dx

= [e^x]₀^t - e^t[x²/2 - (t - 1)x]₀^t

= (e^t - 1) - e^t{t²/2 - (t - 1)t}

= e^t - 1 - e^t(t²/2 - t² + t)

= e^t - 1 - e^t(-t²/2 + t)

= e^t - 1 + e^t(t²/2 - t)

S(t) = e^t(1 + t²/2 - t) - 1 = e^t·(t - 1)²/2 + e^t - 1 - e^t(t - 1)

整理すると、S(t) = e^t - te^t + t²e^t/2 - 1

(3) 最小値

S'(t) = e^t - e^t - te^t + te^t + t²e^t/2 = t²e^t/2 > 0 （t > 0）

S(t) は t > 0 で単調増加。t → +0 のとき S(t) → 0

したがって、最小値は存在しない（下限は 0 に近づく）

【練習問題3】確率漸化式

【解答】

じゃんけん1回でAが勝つ確率、Bが勝つ確率、あいこの確率はそれぞれ 1/3 とする。

状態を以下のように定義：

• 状態0：直前が引き分け、または開始直後
• 状態A：Aが直前に1勝
• 状態B：Bが直前に1勝

n回目で終わるのは、n-1回目で状態AまたはBにあり、同じ人が勝つとき。

a_n = n回目終了時に状態Aにいる確率

b_n = n回目終了時に状態Bにいる確率

対称性より a_n = b_n

漸化式：

a_n+1 = (1 - a_n - b_n)·(1/3) + a_n·(1/3) = (1 - b_n)/3 = (1 - a_n)/3

これを解くと、a_n = 1/4 + c·(-1/3)ⁿ

a₁ = 1/3 より、1/3 = 1/4 - c/3, c = -1/4

a_n = 1/4 - (1/4)·(-1/3)ⁿ = (1/4){1 - (-1/3)ⁿ}

P_n = (a_n-1 + b_n-1)·(1/3) = 2a_n-1/3

P_n = (1/6){1 - (-1/3)^n-1} （n ≥ 2）

P₁ = 0（1回では終わらない）

【練習問題4】数列の極限

【解答】

(1) a_n < 2 の証明（数学的帰納法）

[i] n = 1 のとき：a₁ = 1 < 2 ✓

[ii] n = k で a_k < 2 と仮定すると、

a_k+1 = √(2 + a_k) < √(2 + 2) = 2 ✓

よって、すべての n で a_n < 2

(2) 単調増加の証明

a_n+1 - a_n = √(2 + a_n) - a_n

f(x) = √(2 + x) - x とおくと、

f(x) = 0 ⇔ √(2 + x) = x ⇔ 2 + x = x² ⇔ x² - x - 2 = 0 ⇔ x = 2（x > 0）

0 < x 0

(1)より a_n < 2 なので、a_n+1 - a_n > 0

(3) 極限

{a_n} は上に有界（< 2）かつ単調増加なので収束する。

極限値を α とすると、α = √(2 + α)

α² = 2 + α より α² - α - 2 = 0, (α - 2)(α + 1) = 0

α > 0 より α = 2

【練習問題5】ベクトルと平面

【解答】

(1) 平面の方程式

平面の方程式を x/a + y/b + z/c = 1 の形で表すと、

A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) を通るので、

x/1 + y/2 + z/3 = 1 すなわち 6x + 3y + 2z = 6

(2) 垂線の足H

平面αの法線ベクトルは n = (6, 3, 2)

原点からの垂線は OH = t(6, 3, 2) と表せる。

Hは平面α上にあるので、

6·6t + 3·3t + 2·2t = 6

36t + 9t + 4t = 6

49t = 6, t = 6/49

49t = 6, t = 6/49

よって、H = (36/49, 18/49, 12/49)

(3) 三角形ABCの面積

AB = (-1, 2, 0), AC = (-1, 0, 3)

AB × AC = (2·3 - 0·0, 0·(-1) - (-1)·3, (-1)·0 - 2·(-1))

= (6, 3, 2)

|AB × AC| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

三角形ABCの面積 S = (1/2)|AB × AC| = 7/2

【練習問題6】複素数平面

【解答】

(1) z⁷ の値

ド・モアブルの定理より、

z⁷ = cos(7·2π/7) + i·sin(7·2π/7) = cos(2π) + i·sin(2π) = 1

(2) 1 + z + z² + ... + z⁶ の値

z⁷ = 1 より z⁷ - 1 = 0

(z - 1)(1 + z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶) = 0

z ≠ 1（z = cos(2π/7) + i·sin(2π/7) ≠ 1）なので、

1 + z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶ = 0

(3) cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7)

(2)の結果の実部を考える。

z^k = cos(2kπ/7) + i·sin(2kπ/7)

1 + z + z² + ... + z⁶ = 0 の実部より、

1 + cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) + cos(8π/7) + cos(10π/7) + cos(12π/7) = 0

cos(8π/7) = cos(2π - 6π/7) = cos(6π/7)

cos(10π/7) = cos(2π - 4π/7) = cos(4π/7)

cos(12π/7) = cos(2π - 2π/7) = cos(2π/7)

よって、

1 + 2{cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7)} = 0

cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = -1/2

【練習問題7】積分と不等式

【解答】

log(n+1) - log(n) = ∫_nⁿ⁺¹ (1/x) dx

n ≤ x ≤ n+1 において、

1/(n+1) ≤ 1/x ≤ 1/n

各辺を n から n+1 まで積分すると、

∫_nⁿ⁺¹ 1/(n+1) dx ≤ ∫_nⁿ⁺¹ (1/x) dx ≤ ∫_nⁿ⁺¹ (1/n) dx

1/(n+1) ≤ log(n+1) - log(n) ≤ 1/n

等号は x = n+1（左辺）または x = n（右辺）のときのみ成り立つが、区間の一点でしか成り立たないので、積分では厳密な不等号となる。

したがって、1/(n+1) < log(n+1) - log(n) < 1/n が示された。

【練習問題8】場合の数と確率

【解答】

9枚から3枚を選ぶ方法は ₉C₃ = 84 通り

(1) 和が15になる確率

3つの異なる数字（1〜9）で和が15になる組み合わせを列挙する。

• (1, 5, 9): 1+5+9=15 ✓
• (1, 6, 8): 1+6+8=15 ✓
• (2, 4, 9): 2+4+9=15 ✓
• (2, 5, 8): 2+5+8=15 ✓
• (2, 6, 7): 2+6+7=15 ✓
• (3, 4, 8): 3+4+8=15 ✓
• (3, 5, 7): 3+5+7=15 ✓
• (4, 5, 6): 4+5+6=15 ✓

8通りあるので、確率 = 8/84 = 2/21

(2) 積が偶数になる確率

余事象（積が奇数 = 3枚とも奇数）を考える。

奇数は 1, 3, 5, 7, 9 の5枚

3枚とも奇数を選ぶ方法：₅C₃ = 10 通り

積が奇数になる確率 = 10/84 = 5/42

積が偶数になる確率 = 1 - 5/42 = 37/42

【練習問題9】媒介変数と曲線

【解答】

(1) dy/dx を求める

dx/dt = 3cos²t·(-sin t) = -3cos²t·sin t

dy/dt = 3sin²t·cos t

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (3sin²t·cos t)/(-3cos²t·sin t) = -sin t/cos t = -tan t

(2) 曲線の長さ L

L = ∫₀^π/2 √{(dx/dt)² + (dy/dt)²} dt

(dx/dt)² + (dy/dt)² = 9cos⁴t·sin²t + 9sin⁴t·cos²t

= 9cos²t·sin²t(cos²t + sin²t)

= 9cos²t·sin²t

√{(dx/dt)² + (dy/dt)²} = 3|cos t·sin t| = 3cos t·sin t（0 ≤ t ≤ π/2）

L = ∫₀^π/2 3cos t·sin t dt = 3·[sin²t/2]₀^π/2 = 3·(1/2 - 0) = 3/2

(3) 面積 S

S = ∫₀¹ y dx = ∫_π/2⁰ sin³t·(-3cos²t·sin t) dt

= ∫₀^π/2 3sin⁴t·cos²t dt

sin⁴t·cos²t = (1 - cos²t)²·cos²t = sin⁴t·cos²t

ウォリスの公式を使う。

∫₀^π/2 sin^mt·cosⁿt dt = {(m-1)!!·(n-1)!!}/{(m+n)!!}·(π/2 または 1)

m = 4, n = 2 のとき、

∫₀^π/2 sin⁴t·cos²t dt = (3·1·1)/(6·4·2)·π/2 = 3π/96 = π/32

S = 3·π/32 = 3π/32

【練習問題10】整数と証明

【解答】

(1) n² - 1 が8の倍数となる条件

n² - 1 = (n-1)(n+1)

n が偶数のとき：n-1, n+1 はともに奇数なので、積は奇数。8の倍数にならない。

n が奇数のとき：n = 2k+1 とおくと、

n-1 = 2k, n+1 = 2k+2 = 2(k+1)

(n-1)(n+1) = 2k·2(k+1) = 4k(k+1)

k と k+1 は連続する整数なので、一方は偶数。よって k(k+1) は偶数。

したがって 4k(k+1) は8の倍数。

n が奇数のとき、n² - 1 は8の倍数

(2) 連続する3つの整数の積が6の倍数

連続する3つの整数を n, n+1, n+2 とする。

・2の倍数であること：

3つの連続整数のうち少なくとも1つは偶数なので、積は2の倍数。

・3の倍数であること：

3つの連続整数を3で割った余りは 0, 1, 2 のいずれかをちょうど1回ずつ含む。

よって、少なくとも1つは3の倍数。積は3の倍数。

2と3は互いに素なので、積は 2×3 = 6 の倍数。 （証明終）

(3) n⁵ - n が30の倍数

n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n² - 1)(n² + 1) = n(n-1)(n+1)(n² + 1)

= (n-1)n(n+1)(n² + 1)

・2の倍数：(n-1)n(n+1) は連続3整数の積なので2の倍数

・3の倍数：(n-1)n(n+1) は連続3整数の積なので3の倍数

・5の倍数：n を5で割った余りで場合分け

• n ≡ 0 (mod 5)：n が5の倍数
• n ≡ 1 (mod 5)：n-1 が5の倍数
• n ≡ 2 (mod 5)：n² + 1 ≡ 4 + 1 = 5 ≡ 0 (mod 5)
• n ≡ 3 (mod 5)：n² + 1 ≡ 9 + 1 = 10 ≡ 0 (mod 5)
• n ≡ 4 (mod 5)：n+1 が5の倍数

いずれの場合も5の倍数。

2, 3, 5 は互いに素なので、n⁵ - n は 2×3×5 = 30 の倍数。 （証明終）

年間学習ロードマップ

金沢大学理系数学で合格点を取るための、年間学習計画を示します。高校3年生を想定していますが、浪人生や高2生も参考にしてください。

【4月〜6月】基礎固め期

【7月〜8月】応用力養成期（夏休み）

【9月〜11月】実戦力強化期

【12月〜1月】直前対策期

【学習時間の目安】

藤原おすすめ参考書ランキング

金沢大学理系数学対策に最適な参考書を、レベル別・用途別にランキング形式で紹介します。

【基礎固め編】偏差値50〜55を目指す

【実力養成編】偏差値55〜65を目指す