【複素数平面】基礎から入試まで完全攻略｜問題30問+解説｜藤原進之介
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【複素数平面】基礎から入試まで完全攻略
問題30問+詳細解説｜藤原進之介
2025年度からの新課程共通テストでは、数学ⅡBCにおいて「数列」「統計的推測」「ベクトル」「複素数平面」の4題から3題を選択する形式となりました。特に理系受験生にとって、複素数平面は2次試験でも頻出の超重要分野です。
この記事では、複素数平面の基礎から入試レベルまでを30問の厳選問題と詳細解説で徹底攻略します。全問題に「考え方」「解法」「答え」を掲載しているので、この記事1本で複素数平面の完全マスターを目指しましょう！
この記事でわかること
- 複素数平面の基本概念：複素数の表し方、共役複素数、絶対値の意味
- 極形式とド・モアブルの定理：なぜ重要なのか、どう使うのか
- 回転・拡大の公式：図形問題攻略の核心
- 1のn乗根：単位円と正n角形の関係
- 軌跡問題の攻略法：円、直線、アポロニウスの円
- 基礎〜発展まで30問の完全解説：入試で使える解法パターン
- 共通テスト・2次試験の出題傾向：2025年以降の対策法
- よくある間違いとその対策：合否を分けるポイント
複素数平面の基本概念と重要公式
1. 複素数と複素数平面
複素数とは、実数 $a$, $b$ と虚数単位 $i$（$i^2 = -1$）を用いて
複素数の定義
$z = a + bi$ （$a$：実部、$b$：虚部）
と表される数です。複素数 $z = a + bi$ は、複素数平面（ガウス平面）上で点 $(a, b)$ として表すことができます。
横軸を実軸、縦軸を虚軸と呼び、点 $z$ を表す点を 点 $z$ または 点 P(z) と表記します。
2. 共役複素数
共役複素数
$z = a + bi$ のとき、$bar{z} = a - bi$
重要な性質：
- $z + bar{z} = 2a$（実部の2倍）
- $z - bar{z} = 2bi$（虚部の2倍 × $i$）
- $z cdot bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$
- $overline{z_1 + z_2} = bar{z_1} + bar{z_2}$
- $overline{z_1 cdot z_2} = bar{z_1} cdot bar{z_2}$
- $overline{left(frac{z_1}{z_2}right)} = frac{bar{z_1}}{bar{z_2}}$
図形的意味：$bar{z}$ は $z$ を実軸に関して対称移動した点
3. 絶対値（複素数の大きさ）
複素数の絶対値
$z = a + bi$ のとき、
$|z| = sqrt{a^2 + b^2}$
図形的意味：原点 O から点 $z$ までの距離
重要な性質：
- $|z_1 - z_2|$ = 点 $z_1$ と点 $z_2$ の距離
- $|z_1 cdot z_2| = |z_1| cdot |z_2|$
- $left|frac{z_1}{z_2}right| = frac{|z_1|}{|z_2|}$
- $|z|^2 = z cdot bar{z}$
4. 極形式
複素数を「大きさ」と「角度」で表す方法が極形式です。
極形式
$z = r(costheta + isintheta)$
ここで、
- $r = |z|$：原点からの距離（絶対値）
- $theta$：正の実軸となす角（偏角）、$arg z$ と書く
オイラーの公式による表記（発展）
$z = re^{itheta}$
5. 極形式の積・商
極形式の掛け算・割り算
$z_1 = r_1(costheta_1 + isintheta_1)$、$z_2 = r_2(costheta_2 + isintheta_2)$ のとき、
積：
$z_1 cdot z_2 = r_1 r_2 {cos(theta_1 + theta_2) + isin(theta_1 + theta_2)}$
商：
$frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} {cos(theta_1 - theta_2) + isin(theta_1 - theta_2)}$
ポイント：絶対値は掛け算・割り算、偏角は足し算・引き算
6. ド・モアブルの定理【超重要】
ド・モアブルの定理
$(costheta + isintheta)^n = cos ntheta + isin ntheta$
これは整数 $n$ に対して成り立つ。特に、
${r(costheta + isintheta)}^n = r^n(cos ntheta + isin ntheta)$
💡 ド・モアブルの定理の威力
①複素数の累乗計算が簡単になる
②三角関数のn倍角公式を導ける
③1のn乗根を求められる
7. 回転移動の公式【頻出】
原点を中心とする回転
点 $z$ を原点 O を中心に角 $theta$ だけ回転した点 $w$ は：
$w = z cdot (costheta + isintheta)$
点 $alpha$ を中心とする回転
点 $z$ を点 $alpha$ を中心に角 $theta$ だけ回転した点 $w$ は：
$w - alpha = (z - alpha)(costheta + isintheta)$
8. 1のn乗根
1のn乗根
方程式 $z^n = 1$ の解は：
$z_k = cosfrac{2kpi}{n} + isinfrac{2kpi}{n}$ （$k = 0, 1, 2, ldots, n-1$）
図形的意味：単位円に内接する正n角形の頂点
重要な性質：$omega = cosfrac{2pi}{n} + isinfrac{2pi}{n}$ とおくと、
1のn乗根は $1, omega, omega^2, ldots, omega^{n-1}$
また、$1 + omega + omega^2 + cdots + omega^{n-1} = 0$
9. 複素数平面上の図形
円の方程式
- $|z - alpha| = r$：中心 $alpha$、半径 $r$ の円
- $|z| = r$：原点中心、半径 $r$ の円
直線の方程式
- $|z - alpha| = |z - beta|$：$alpha$ と $beta$ の垂直二等分線
アポロニウスの円
- $frac{|z - alpha|}{|z - beta|} = k$（$k neq 1$）：2点 $alpha$, $beta$ からの距離の比が $k:1$ である点の軌跡（円）
10. 偏角の図形的意味
偏角 $arg(z - alpha)$ の意味
点 $alpha$ から点 $z$ へ向かうベクトルが実軸の正方向となす角
2点を結ぶ線分の偏角
$argfrac{z - beta}{z - alpha}$ = ∠αzβ（点 $z$ における角）
基礎問題 10問（全問解説付き）
まずは複素数平面の基礎を固める問題から始めましょう。計算の正確さと基本概念の理解が重要です。
基礎問題 1
レベル：基礎
問題：$z = 3 + 4i$ のとき、次の値を求めよ。
(1) $bar{z}$ (2) $|z|$ (3) $z cdot bar{z}$
💭 考え方
共役複素数 $bar{z}$ は虚部の符号を変える。絶対値は $sqrt{(text{実部})^2 + (text{虚部})^2}$。$z cdot bar{z} = |z|^2$ という重要公式を確認する。
📝 解法
$z = 3 + 4i$ より、
(1) $bar{z} = 3 - 4i$
(2) $|z| = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5$
(3) $z cdot bar{z} = (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 - 16i^2 = 9 - 16 cdot (-1) = 9 + 16 = 25$
（別解：$z cdot bar{z} = |z|^2 = 5^2 = 25$）
答え：(1) $3 - 4i$ (2) $5$ (3) $25$
基礎問題 2
レベル：基礎
問題：次の複素数を極形式で表せ。
(1) $z = 1 + i$ (2) $z = -sqrt{3} + i$
💭 考え方
極形式 $r(costheta + isintheta)$ では、まず絶対値 $r$ を求め、次に偏角 $theta$ を求める。偏角は複素数平面上で点を図示すると分かりやすい。
📝 解法
(1) $z = 1 + i$ について、
・絶対値：$|z| = sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2}$
・偏角：点 $(1, 1)$ は第1象限で、$tantheta = frac{1}{1} = 1$ より $theta = frac{pi}{4}$
よって、$z = sqrt{2}left(cosfrac{pi}{4} + isinfrac{pi}{4}right)$
(2) $z = -sqrt{3} + i$ について、
・絶対値：$|z| = sqrt{(-sqrt{3})^2 + 1^2} = sqrt{3 + 1} = 2$
・偏角：点 $(-sqrt{3}, 1)$ は第2象限
$costheta = frac{-sqrt{3}}{2}$, $sintheta = frac{1}{2}$ より $theta = frac{5pi}{6}$
よって、$z = 2left(cosfrac{5pi}{6} + isinfrac{5pi}{6}right)$
答え：(1) $sqrt{2}left(cosfrac{pi}{4} + isinfrac{pi}{4}right)$ (2) $2left(cosfrac{5pi}{6} + isinfrac{5pi}{6}right)$
基礎問題 3
レベル：基礎
問題：ド・モアブルの定理を用いて、$(1 + i)^8$ を計算せよ。
💭 考え方
複素数の累乗計算は、極形式に直してからド・モアブルの定理を適用すると楽になる。まず $1 + i$ を極形式に変換する。
📝 解法
$1 + i = sqrt{2}left(cosfrac{pi}{4} + isinfrac{pi}{4}right)$ より、
$(1 + i)^8 = left{sqrt{2}left(cosfrac{pi}{4} + isinfrac{pi}{4}right)right}^8$
$= (sqrt{2})^8 left(cosfrac{8pi}{4} + isinfrac{8pi}{4}right)$ ← ド・モアブルの定理
$= 16 (cos 2pi + isin 2pi)$
$= 16(1 + 0 cdot i)$
$= 16$
答え：$16$
基礎問題 4
レベル：基礎
問題：$z = 2 + i$ を原点を中心に $frac{pi}{2}$ だけ回転した点 $w$ を求めよ。
💭 考え方
原点中心の回転の公式 $w = z cdot (costheta + isintheta)$ を使う。$theta = frac{pi}{2}$ のとき、$cosfrac{pi}{2} + isinfrac{pi}{2} = 0 + i = i$ となる。
📝 解法
原点中心に $frac{pi}{2}$ 回転する変換は、$i$ を掛けることに対応する。
$w = z cdot i = (2 + i) cdot i = 2i + i^2 = 2i - 1 = -1 + 2i$
答え：$w = -1 + 2i$
基礎問題 5
レベル：基礎
問題：$|z - 2| = 3$ を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ。
💭 考え方
$|z - alpha| = r$ は「点 $alpha$ からの距離が $r$」という条件。これは中心 $alpha$、半径 $r$ の円を表す。
📝 解法
$|z - 2|$ は、点 $z$ と点 $2$（実軸上の点 $(2, 0)$）の距離を表す。
よって、$|z - 2| = 3$ は「点 $2$ からの距離が $3$」という条件。
これは中心 $2$、半径 $3$ の円である。
答え続きを出力します。
```html
答え：中心 $2$（点 $(2, 0)$）、半径 $3$ の円
基礎問題 6
レベル：基礎
問題：$z^4 = 1$ を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ。
💭 考え方
1のn乗根の公式を使う。$z^n = 1$ の解は、単位円に内接する正n角形の頂点に対応する。$n = 4$ なので、正方形の頂点となる。
📝 解法
$z^4 = 1$ の解は、
$z_k = cosfrac{2kpi}{4} + isinfrac{2kpi}{4} = cosfrac{kpi}{2} + isinfrac{kpi}{2}$ （$k = 0, 1, 2, 3$）
$k = 0$：$z_0 = cos 0 + isin 0 = 1$
$k = 1$：$z_1 = cosfrac{pi}{2} + isinfrac{pi}{2} = i$
$k = 2$：$z_2 = cospi + isinpi = -1$
$k = 3$：$z_3 = cosfrac{3pi}{2} + isinfrac{3pi}{2} = -i$
答え：$z = 1, i, -1, -i$
基礎問題 7
レベル：基礎
問題：$z = cosfrac{pi}{6} + isinfrac{pi}{6}$ のとき、$z^{12}$ を求めよ。
💭 考え方
ド・モアブルの定理を直接適用する。$(costheta + isintheta)^n = cos ntheta + isin ntheta$ を使う。
📝 解法
ド・モアブルの定理より、
$z^{12} = left(cosfrac{pi}{6} + isinfrac{pi}{6}right)^{12}$
$= cosfrac{12pi}{6} + isinfrac{12pi}{6}$
$= cos 2pi + isin 2pi$
$= 1 + 0 cdot i = 1$
答え：$z^{12} = 1$
基礎問題 8
レベル：基礎
問題：$z_1 = 2(cosfrac{pi}{3} + isinfrac{pi}{3})$、$z_2 = 3(cosfrac{pi}{6} + isinfrac{pi}{6})$ のとき、$z_1 cdot z_2$ を極形式で表せ。
💭 考え方
極形式の積では、絶対値は掛け算、偏角は足し算になる。これは複素数平面における回転と拡大の合成を表す。
📝 解法
極形式の積の公式より、
$z_1 cdot z_2 = 2 cdot 3 left{cosleft(frac{pi}{3} + frac{pi}{6}right) + isinleft(frac{pi}{3} + frac{pi}{6}right)right}$
$= 6left(cosfrac{pi}{2} + isinfrac{pi}{2}right)$
$= 6(0 + i) = 6i$
答え：$z_1 cdot z_2 = 6left(cosfrac{pi}{2} + isinfrac{pi}{2}right)$（$= 6i$）
基礎問題 9
レベル：基礎
問題：$frac{1}{1+i}$ を $a + bi$ の形で表せ。
💭 考え方
分母の複素数を実数化するために、分母・分子に共役複素数を掛ける（分母の有理化ならぬ「実数化」）。
📝 解法
分母の共役複素数 $1 - i$ を分母・分子に掛ける。
$frac{1}{1+i} = frac{1}{1+i} cdot frac{1-i}{1-i} = frac{1-i}{(1+i)(1-i)}$
$= frac{1-i}{1 - i^2} = frac{1-i}{1-(-1)} = frac{1-i}{2}$
$= frac{1}{2} - frac{1}{2}i$
答え：$frac{1}{2} - frac{1}{2}i$
基礎問題 10
レベル：基礎
問題：$|z - 1| = |z - i|$ を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ。
💭 考え方
$|z - alpha| = |z - beta|$ は「点 $alpha$ からの距離 = 点 $beta$ からの距離」という条件で、2点 $alpha$, $beta$ の垂直二等分線を表す。
📝 解法
$|z - 1|$：点 $z$ から点 $1$（つまり $(1, 0)$）までの距離
$|z - i|$：点 $z$ から点 $i$（つまり $(0, 1)$）までの距離
$|z - 1| = |z - i|$ は、点 $1$ と点 $i$ からの距離が等しい点の集合。
これは2点 $(1, 0)$ と $(0, 1)$ の垂直二等分線である。
中点は $left(frac{1}{2}, frac{1}{2}right)$ で、2点を結ぶ直線の傾きは $frac{1-0}{0-1} = -1$
垂直二等分線の傾きは $1$ なので、$y - frac{1}{2} = 1 cdot left(x - frac{1}{2}right)$
よって $y = x$
答え：直線 $y = x$（点 $1$ と点 $i$ の垂直二等分線）
標準問題 10問（全問解説付き）
ここからは入試頻出のパターン別問題です。典型的な解法をマスターしましょう。
標準問題 1【回転移動】
レベル：標準
問題：点 $z = 3 + i$ を、点 $1 + i$ を中心に $frac{pi}{3}$ だけ回転した点 $w$ を求めよ。
💭 考え方
点 $alpha$ を中心とする回転は $w - alpha = (z - alpha)(costheta + isintheta)$ を使う。中心が原点でない場合は、まず中心を原点に移動して考える。
📝 解法
回転の中心を $alpha = 1 + i$、回転角を $theta = frac{pi}{3}$ とする。
公式 $w - alpha = (z - alpha)(costheta + isintheta)$ より、
$w - (1 + i) = {(3 + i) - (1 + i)}left(cosfrac{pi}{3} + isinfrac{pi}{3}right)$
$w - (1 + i) = 2 cdot left(frac{1}{2} + ifrac{sqrt{3}}{2}right)$
$w - (1 + i) = 1 + sqrt{3}i$
$w = 1 + sqrt{3}i + 1 + i = 2 + (1 + sqrt{3})i$
答え：$w = 2 + (1 + sqrt{3})i$
標準問題 2【1のn乗根の性質】
レベル：標準
問題：$omega = cosfrac{2pi}{5} + isinfrac{2pi}{5}$ とするとき、$1 + omega + omega^2 + omega^3 + omega^4$ の値を求めよ。
💭 考え方
$omega$ は1の5乗根（$omega^5 = 1$）。1のn乗根の和は0になるという重要性質を使う。または等比級数の公式から導く。
📝 解法
【方法1：1のn乗根の性質を使う】
$omega^5 = 1$ より、$omega$ は $z^5 = 1$ の解。
1の5乗根は $1, omega, omega^2, omega^3, omega^4$ であり、
これらの和は0になる（1のn乗根の和の公式）。
よって $1 + omega + omega^2 + omega^3 + omega^4 = 0$
【方法2：等比級数の公式】
$omega neq 1$ より、
$1 + omega + omega^2 + omega^3 + omega^4 = frac{1 - omega^5}{1 - omega} = frac{1 - 1}{1 - omega} = 0$
答え：$0$
標準問題 3【アポロニウスの円】
レベル：標準
問題：$|z - 2| = 2|z + 1|$ を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ。
💭 考え方
$frac{|z - 2|}{|z + 1|} = 2$ と変形できる。これは点 $2$ と点 $-1$ からの距離の比が $2:1$ の点の軌跡で、アポロニウスの円になる。
📝 解法
$z = x + yi$ とおく。
$|z - 2| = |(x - 2) + yi| = sqrt{(x-2)^2 + y^2}$
$|z + 1| = |(x + 1) + yi| = sqrt{(x+1)^2 + y^2}$
条件 $|z - 2| = 2|z + 1|$ より、
$sqrt{(x-2)^2 + y^2} = 2sqrt{(x+1)^2 + y^2}$
両辺を2乗して、
$(x-2)^2 + y^2 = 4{(x+1)^2 + y^2}$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4(x^2 + 2x + 1 + y^2)$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4x^2 + 8x + 4 + 4y^2$
$0 = 3x^2 + 12x + 3y^2$
$x^2 + 4x + y^2 = 0$
$(x + 2)^2 + y^2 = 4$
これは中心 $(-2, 0)$、半径 $2$ の円。
答え：中心 $-2$（点 $(-2, 0)$）、半径 $2$ の円
標準問題 4【累乗の計算】
レベル：標準
問題：$left(frac{1 + sqrt{3}i}{2}right)^{2024}$ を求めよ。
💭 考え方
まず極形式に変換し、ド・モアブルの定理を適用。偏角の2024倍を計算し、$2pi$ で割った余りから最終的な値を求める。
📝 解法
$frac{1 + sqrt{3}i}{2} = frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}i$ の極形式を求める。
絶対値：$sqrt{left(frac{1}{2}right)^2 + left(frac{sqrt{3}}{2}right)^2} = sqrt{frac{1}{4} + frac{3}{4}} = 1$
偏角：$costheta = frac{1}{2}$, $sintheta = frac{sqrt{3}}{2}$ より $theta = frac{pi}{3}$
よって $frac{1 + sqrt{3}i}{2} = cosfrac{pi}{3} + isinfrac{pi}{3}$
ド・モアブルの定理より、
$left(frac{1 + sqrt{3}i}{2}right)^{2024} = cosfrac{2024pi}{3} + isinfrac{2024pi}{3}$
$frac{2024}{3} = 674 + frac{2}{3}$ より、$frac{2024pi}{3} = 674pi + frac{2pi}{3}$
$674pi = 337 times 2pi$ なので、$cosfrac{2024pi}{3} + isinfrac{2024pi}{3} = cosfrac{2pi}{3} + isinfrac{2pi}{3}$
$= -frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}i$
答え：$-frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}i$
標準問題 5【三角形の形状】
レベル：標準
問題：複素数平面上の3点 A(1), B(3), C($1 + 2i$) を頂点とする三角形ABCはどのような三角形か。
💭 考え方
辺の長さを絶対値で計算し、三角形の形状を判定する。または、辺を表すベクトル（複素数の差）の関係から直角の有無を調べる。
📝 解法
各辺の長さを求める。
$|AB| = |3 - 1| = |2| = 2$
$|BC| = |(1 + 2i) - 3| = |-2 + 2i| = sqrt{4 + 4} = 2sqrt{2}$
$|CA| = |1 - (1 + 2i)| = |-2i| = 2$
$|AB| = |CA| = 2$ より、二等辺三角形。
また、$|AB|^2 + |CA|^2 = 4 + 4 = 8 = |BC|^2$ より、
三平方の定理が成り立つので、∠A = 90°の直角三角形。
答え：∠A = 90°の直角二等辺三角形
標準問題 6【複素数の方程式】
レベル：標準
問題：$z^3 = -8$ を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ。
💭 考え方
$-8$ を極形式で表し、$z^3 = -8$ を $z^3 = 8(cospi + isinpi)$ と見なす。ド・モアブルの定理の逆を使う。
📝 解法
$-8 = 8(cospi + isinpi)$
$z = r(costheta + isintheta)$ とおくと、
$z^3 = r^3(cos 3theta + isin 3theta) = 8(cospi + isinpi)$
絶対値を比較：$r^3 = 8$ より $r = 2$
偏角を比較：$3theta = pi + 2kpi$（$k$ は整数）より $theta = frac{pi + 2kpi}{3}$
$k = 0$：$theta = frac{pi}{3}$ → $z = 2left(cosfrac{pi}{3} + isinfrac{pi}{3}right) = 2left(frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}iright) = 1 + sqrt{3}i$
$k = 1$：$theta = pi$ → $z = 2(cospi + isinpi) = -2$
$k = 2$：$theta = frac{5pi}{3}$ → $z = 2left(cosfrac{5pi}{3} + isinfrac{5pi}{3}right) = 2left(frac{1}{2} - frac{sqrt{3}}{2}iright) = 1 - sqrt{3}i$
答え：$z = -2, 1 + sqrt{3}i, 1 - sqrt{3}i$
標準問題 7【偏角の条件】
レベル：標準
問題：$arg(z - 1) = frac{pi}{4}$ を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ。
💭 考え方
$arg(z - alpha) = theta$ は、点 $alpha$ から点 $z$ へ向かうベクトルが実軸正方向と角 $theta$ をなすという条件。これは点 $alpha$ を通り傾き $tantheta$ の半直線になる。
📝 解法
$arg(z - 1) = frac{pi}{4}$ は、点 $1$（つまり $(1, 0)$）から点 $z$ への方向が $frac{pi}{4}$ であることを意味する。
これは点 $(1, 0)$ を始点とし、傾き $tanfrac{pi}{4} = 1$ の方向へ進む半直線。
$z = x + yi$ とおくと、
・$x > 1$（$z$ は点 $1$ より右側）
・傾き：$frac{y - 0}{x - 1} = 1$、つまり $y = x - 1$
よって、直線 $y = x - 1$ のうち $x > 1$ の部分（半直線）。
答え：点 $(1, 0)$ を端点とし、傾き $1$ で右上に伸びる半直線（直線 $y = x - 1$ の $x > 1$ の部分）
標準問題 8【w = f(z) 型の変換】
レベル：標準
問題：$z$ が $|z| = 1$ を満たしながら動くとき、$w = z + 2$ の軌跡を求めよ。
💭 考え方
$w = z + 2$ は平行移動を表す。$z$ が単位円上を動くとき、$w$ は単位円を $+2$（実軸方向に $+2$）だけ平行移動した円になる。
📝 解法
$w = z + 2$ より $z = w - 2$
$|z| = 1$ に代入して、
$|w - 2| = 1$
これは中心 $2$（点 $(2, 0)$）、半径 $1$ の円を表す。
答え：中心 $2$、半径 $1$ の円
標準問題 9【共役複素数との関係】
レベル：標準
問題：$z + bar{z} = 4$ を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ。
💭 続きを出力します。
```html
💭 考え方
$z + bar{z} = 2 times (text{実部})$ という性質を使う。$z = x + yi$ とおくと $z + bar{z} = 2x$ となる。
📝 解法
$z = x + yi$ とおくと、$bar{z} = x - yi$
$z + bar{z} = (x + yi) + (x - yi) = 2x$
条件 $z + bar{z} = 4$ より、
$2x = 4$
$x = 2$
これは $x = 2$ という直線（実軸に垂直な直線）を表す。
答え：直線 $x = 2$（実部が $2$ の点全体）
標準問題 10【正三角形の頂点】
レベル：標準
問題：複素数平面上で、点 A(0) と点 B(2) を2頂点とする正三角形ABCの第3の頂点Cを表す複素数を求めよ。
💭 考え方
正三角形なので、Cは「Bを点Aを中心に $pm 60°$ 回転した点」である。回転の公式を使う。Cは2つ存在する（上側と下側）。
📝 解法
点Bを点A（原点）を中心に $pmfrac{pi}{3}$ 回転した点がCである。
【C が上半平面にある場合】
$C = 2 cdot left(cosfrac{pi}{3} + isinfrac{pi}{3}right) = 2 cdot left(frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}iright) = 1 + sqrt{3}i$
【C が下半平面にある場合】
$C = 2 cdot left(cosleft(-frac{pi}{3}right) + isinleft(-frac{pi}{3}right)right) = 2 cdot left(frac{1}{2} - frac{sqrt{3}}{2}iright) = 1 - sqrt{3}i$
答え：$C = 1 + sqrt{3}i$ または $C = 1 - sqrt{3}i$
発展・入試レベル問題 10問（全問解説付き）
ここからは実際の大学入試レベルの問題です。複合的な思考力が問われます。
発展問題 1【軌跡と領域】
レベル：発展
問題：$z$ が $|z| = 1$ を満たしながら動くとき、$w = z + frac{1}{z}$ の軌跡を求めよ。
💭 考え方
$|z| = 1$ より $z = costheta + isintheta$ とおける。$frac{1}{z} = bar{z}$（単位円上では）という性質も使える。パラメータ表示で軌跡を求める。
📝 解法
$|z| = 1$ より $zbar{z} = 1$ なので $frac{1}{z} = bar{z}$
$z = costheta + isintheta$ とおくと、
$bar{z} = costheta - isintheta$
$w = z + frac{1}{z} = z + bar{z}$
$= (costheta + isintheta) + (costheta - isintheta)$
$= 2costheta$
$theta$ が $0$ から $2pi$ まで動くとき、$costheta$ は $-1$ から $1$ まで動く。
よって $w = 2costheta$ は $-2 leq w leq 2$ の範囲の実数値をとる。
$w$ は実数なので、軌跡は実軸上の線分。
答え：実軸上の線分 $-2 leq x leq 2$（$y = 0$, $-2 leq x leq 2$）
発展問題 2【n乗根の和】
レベル：発展
問題：$omega = cosfrac{2pi}{7} + isinfrac{2pi}{7}$ とするとき、$cosfrac{2pi}{7} + cosfrac{4pi}{7} + cosfrac{6pi}{7}$ の値を求めよ。
💭 考え方
$omega, omega^2, ldots, omega^6$ は1の7乗根（1を除く）。1のn乗根の和が0であることと、共役複素数の性質を組み合わせる。
📝 解法
$omega^7 = 1$ より、$1 + omega + omega^2 + omega^3 + omega^4 + omega^5 + omega^6 = 0$
ここで、$omega^k = cosfrac{2kpi}{7} + isinfrac{2kpi}{7}$
また、$omega^{7-k} = overline{omega^k}$ なので、
$omega^6 = bar{omega}$, $omega^5 = bar{omega^2}$, $omega^4 = bar{omega^3}$
$omega + omega^6 = omega + bar{omega} = 2cosfrac{2pi}{7}$
$omega^2 + omega^5 = 2cosfrac{4pi}{7}$
$omega^3 + omega^4 = 2cosfrac{6pi}{7}$
$1 + omega + omega^2 + omega^3 + omega^4 + omega^5 + omega^6 = 0$ より、
$1 + (omega + omega^6) + (omega^2 + omega^5) + (omega^3 + omega^4) = 0$
$1 + 2cosfrac{2pi}{7} + 2cosfrac{4pi}{7} + 2cosfrac{6pi}{7} = 0$
$2left(cosfrac{2pi}{7} + cosfrac{4pi}{7} + cosfrac{6pi}{7}right) = -1$
$cosfrac{2pi}{7} + cosfrac{4pi}{7} + cosfrac{6pi}{7} = -frac{1}{2}$
答え：$-frac{1}{2}$
発展問題 3【回転と拡大の合成】
レベル：発展
問題：複素数平面上で、点 $z$ を点 $1$ を中心に $frac{pi}{4}$ 回転し、さらに $sqrt{2}$ 倍に拡大して得られる点を $w$ とする。$w$ を $z$ を用いて表せ。
💭 考え方
点 $alpha$ を中心とする回転・拡大は $w - alpha = k(z - alpha)$ の形で表せる。$k$ は「拡大率 × 回転を表す複素数」となる。
📝 解法
点 $1$ を中心に $frac{pi}{4}$ 回転し、$sqrt{2}$ 倍に拡大する変換は、
$w - 1 = sqrt{2}left(cosfrac{pi}{4} + isinfrac{pi}{4}right)(z - 1)$
$sqrt{2}left(cosfrac{pi}{4} + isinfrac{pi}{4}right) = sqrt{2} cdot left(frac{sqrt{2}}{2} + frac{sqrt{2}}{2}iright) = 1 + i$
よって、
$w - 1 = (1 + i)(z - 1)$
$w = (1 + i)(z - 1) + 1$
$w = (1 + i)z - (1 + i) + 1$
$w = (1 + i)z - i$
答え：$w = (1 + i)z - i$
発展問題 4【方程式と図形】
レベル：発展
問題：$z^6 = -1$ の解を複素数平面上に図示し、これらの点を頂点とする図形の面積を求めよ。
💭 考え方
$-1 = cospi + isinpi$ と表し、ド・モアブルの定理の逆を使う。6つの解は単位円上に等間隔に並び、正六角形を形成する。
📝 解法
$-1 = cospi + isinpi$ より、
$z^6 = cospi + isinpi$
$z = costheta + isintheta$ とおくと、$z^6 = cos 6theta + isin 6theta$
$6theta = pi + 2kpi$（$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$）
$theta = frac{pi + 2kpi}{6} = frac{(2k+1)pi}{6}$
$k = 0$：$theta = frac{pi}{6}$ $k = 1$：$theta = frac{3pi}{6} = frac{pi}{2}$ $k = 2$：$theta = frac{5pi}{6}$
$k = 3$：$theta = frac{7pi}{6}$ $k = 4$：$theta = frac{9pi}{6} = frac{3pi}{2}$ $k = 5$：$theta = frac{11pi}{6}$
6つの点は単位円上に等間隔（$frac{pi}{3}$ 間隔）に並ぶ → 正六角形
正六角形の面積 = 6 × (1辺1の正三角形の面積)
1辺1の正三角形の面積 = $frac{sqrt{3}}{4}$
正六角形の面積 = $6 times frac{sqrt{3}}{4} = frac{3sqrt{3}}{2}$
答え：$frac{3sqrt{3}}{2}$
発展問題 5【絶対値の最大・最小】
レベル：発展
問題：$|z - 2| = 1$ を満たす複素数 $z$ に対して、$|z + 1|$ の最大値と最小値を求めよ。
💭 考え方
$|z - 2| = 1$ は中心 $2$、半径 $1$ の円。$|z + 1| = |z - (-1)|$ は点 $z$ と点 $-1$ の距離。図形的に考えると、円と点 $-1$ の距離の最大・最小を求める問題。
📝 解法
$|z - 2| = 1$ は中心 $C(2, 0)$、半径 $1$ の円。
$|z + 1|$ は点 $z$ と点 $A(-1, 0)$ の距離。
点 $A(-1, 0)$ と円の中心 $C(2, 0)$ の距離は $|2 - (-1)| = 3$
最大値：$A$ から最も遠い円上の点は、$A$ と $C$ を結ぶ直線と円の交点のうち、$A$ から遠い方。
最大値 = $3 + 1 = 4$
最小値：$A$ から最も近い円上の点は、$A$ と $C$ を結ぶ直線と円の交点のうち、$A$ に近い方。
最小値 = $3 - 1 = 2$
答え：最大値 $4$、最小値 $2$
発展問題 6【複素数列】
レベル：発展
問題：$z_1 = 1$, $z_{n+1} = iz_n + 1$（$n = 1, 2, 3, ldots$）で定まる複素数列 ${z_n}$ について、$z_{2025}$ を求めよ。
💭 考え方
$i$ を掛けることは $90°$ 回転に対応。漸化式を解くか、周期性を見つける。$i^4 = 1$ なので、数列は周期 $4$ で循環する可能性がある。
📝 解法
まず具体的に計算して周期性を調べる。
$z_1 = 1$
$z_2 = i cdot 1 + 1 = 1 + i$
$z_3 = i(1 + i) + 1 = i + i^2 + 1 = i - 1 + 1 = i$
$z_4 = i cdot i + 1 = i^2 + 1 = -1 + 1 = 0$
$z_5 = i cdot 0 + 1 = 1$
$z_5 = z_1$ より、周期 $4$ で循環する。
$2025 = 4 times 506 + 1$ より、$2025 equiv 1 pmod{4}$
よって $z_{2025} = z_1 = 1$
答え：$z_{2025} = 1$
発展問題 7【角度の条件】
レベル：発展
問題：$argfrac{z - 1}{z + 1} = frac{pi}{4}$ を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ。
💭 考え方
$argfrac{z - beta}{z - alpha}$ は、点 $alpha$ から点 $z$ へのベクトルと点 $beta$ から点 $z$ へのベクトルのなす角に関係する。円周角の定理を使う。
📝 解法
$argfrac{z - 1}{z + 1} = arg(z - 1) - arg(z + 1) = frac{pi}{4}$
これは、点 $-1$ から点 $z$ へのベクトルと、点 $1$ から点 $z$ へのベクトルのなす角が $frac{pi}{4}$ であることを意味する。
点 $A(-1)$, $B(1)$, $P(z)$ とすると、$angle APB = frac{pi}{4}$
円周角の定理より、弦 $AB$ に対する円周角が $frac{pi}{4}$ となる円弧上に $P$ がある。
中心角は $2 times frac{pi}{4} = frac{pi}{2}$ なので、弦 $AB = 2$ に対して中心角 $frac{pi}{2}$ の円弧。
$AB = 2$ が $frac{pi}{2}$ の中心角に対応するとき、円の半径を $r$ とすると、
$AB = 2rsinfrac{pi}{4} = 2r cdot frac{sqrt{2}}{2} = sqrt{2}r$
$2 = sqrt{2}r$ より $r = sqrt{2}$
中心は、$AB$ の垂直二等分線上で、上半平面側にある点。
中心から $A$, $B$ への距離が $sqrt{2}$ なので、中心は $(0, 1)$
軌跡は、中心 $(0, 1)$（つまり $i$）、半径 $sqrt{2}$ の円のうち、上半平面側の弧（点 $-1$, $1$ を除く）。
答え：中心 $i$、半径 $sqrt{2}$ の円のうち、虚部が正の部分（上側の弧、ただし点 $pm 1$ を除く）
発展問題 8【n倍角の公式】
レベル：発展
問題：ド・モアブルの定理を用いて、$cos 3theta$ を $costheta$ で表せ。
💭 考え方
$(costheta + isintheta)^3$ を2通りの方法で計算し、実部を比較する。ド・モアブルの定理と二項展開を組み合わせる。
📝 解法
ド・モアブルの定理より、
$(costheta + isintheta)^3 = cos 3theta + isin 3theta$ ... ①
一方、二項展開より、
$(costheta + isintheta)^3$
$= cos^3theta + 3cos^2theta cdot isintheta + 3costheta cdot (isintheta)^2 + (isintheta)^3$
$= cos^3theta + 3icos^2thetasintheta - 3costhetasin^2theta - isin^3theta$
$= (cos^3theta - 3costhetasin^2theta) + i(3cos^2thetasintheta - sin^3theta)$ ... ②
①と②の実部を比較して、
$cos 3theta = cos^3theta - 3costhetasin^2theta$
$= cos^3theta - 3costheta(1 - cos^2theta)$
$= cos^3theta - 3costheta + 3cos^3theta$
$= 4cos^3theta - 3costheta$
答え：$cos 3theta = 4cos^3theta - 3costheta$
発展問題 9【反転変換】
レベル：発展
問題：$z$ が虚軸上を動くとき（ただし $z neq 0$）、$w = frac{1}{z}$ の軌跡を求めよ。
💭 考え方
$w = frac{1}{z}$ は反転変換と呼ばれる。虚軸上の点は $z = ti$（$t neq 0$, $t$ は実数）と表せる。これを代入して $w$ の軌跡を調べる。
📝 解法
$z$ は虚軸上の点なので、$z = ti$（$t$ は0でない実数）とおける。
$w = frac{1}{z} = frac{1}{ti} = frac{1}{ti} cdot frac{-i}{-i} = frac{-i}{-ti^2} = frac{-i}{t}$
$t neq 0$ より、$w = -frac{1}{t}i$ は純虚数（虚軸上の点）。
$t$ が全ての0でない実数を動くとき、$-frac{1}{t}$ も全ての0でない実数を動く。
よって $w$ の軌跡は、虚軸全体（ただし原点を除く）。
答え：虚軸（ただし原点を除く）
発展問題 10【総合問題】
レベル：発展
問題：$z^5 = 1$, $z neq 1$ を満たす複素数を $omega$ とする。$omega^4 + omega^3 + omega^2 + omega + 1 = 0$ を利用して、$(1 - omega)(1 - omega^2)(1 - omega^3)(1 - omega^4)$ の値を求めよ。
💭 考え方
$z^5 - 1 = (z - 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0$ の因数分解を利用。$z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ の解が $omega, omega^2, omega^3, omega^4$ であることを使う。
📝 続きを出力します。
```html
📝 解法
$z^5 - 1 = (z - 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1)$ と因数分解できる。
$z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ の解は $omega, omega^2, omega^3, omega^4$（1の原始5乗根）である。
よって、
$z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = (z - omega)(z - omega^2)(z - omega^3)(z - omega^4)$
この式に $z = 1$ を代入すると、
$1 + 1 + 1 + 1 + 1 = (1 - omega)(1 - omega^2)(1 - omega^3)(1 - omega^4)$
$5 = (1 - omega)(1 - omega^2)(1 - omega^3)(1 - omega^4)$
答え：$5$
よくある間違いと完全対策
複素数平面は多くの受験生がつまずく分野です。ここでは合否を分ける典型的なミスとその対策を解説します。
❌ 間違い1：偏角の範囲を考慮しない
よくあるミス：極形式で偏角を求めるとき、$tantheta$ の値だけで判断してしまう。
例：$z = -1 + i$ の偏角を求めるとき、$tantheta = frac{1}{-1} = -1$ より $theta = -frac{pi}{4}$ としてしまう。
正解：$z = -1 + i$ は第2象限にあるので、$theta = pi - frac{pi}{4} = frac{3pi}{4}$
✅ 対策：必ず複素数平面上に点を図示し、どの象限にあるかを確認する。
❌ 間違い2：回転の中心を考慮しない
よくあるミス：点 $alpha$ を中心とする回転で、単純に $w = z cdot (costheta + isintheta)$ を使ってしまう。
正解：原点以外を中心とする回転は、
$w - alpha = (z - alpha)(costheta + isintheta)$
✅ 対策：「中心を原点に移動 → 回転 → 元に戻す」という手順を意識する。
❌ 間違い3：$|z|^2 = z^2$ と勘違いする
よくあるミス：$|z|^2$ と $z^2$ を混同してしまう。
正解：
- $|z|^2 = z cdot bar{z} = a^2 + b^2$（実数）
- $z^2 = (a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$（複素数）
✅ 対策：絶対値の2乗は必ず $zbar{z}$ を使う。
❌ 間違い4：1のn乗根の個数を間違える
よくあるミス：$z^n = 1$ の解の個数を $n-1$ 個と答えてしまう。
正解：$z^n = 1$ の解は$n$ 個（$1$ を含む）
✅ 対策：「$z = 1$ も解である」ことを忘れない。問題文で「$z neq 1$」の条件があるかどうか確認する。
❌ 間違い5：軌跡が「円全体」か「円弧」かを区別しない
よくあるミス：$argfrac{z - alpha}{z - beta} = theta$ の軌跡を円全体と答えてしまう。
正解：偏角の条件がある場合、軌跡は円弧（半円など）になることが多い。
✅ 対策：偏角の条件では、点が円のどちら側にあるかで偏角の正負が変わることに注意。
❌ 間違い6：共役複素数の性質を使い間違える
よくあるミス：$overline{z_1 + z_2} = bar{z_1} - bar{z_2}$ としてしまう。
正解：
- $overline{z_1 + z_2} = bar{z_1} + bar{z_2}$（和は和）
- $overline{z_1 - z_2} = bar{z_1} - bar{z_2}$（差は差）
- $overline{z_1 cdot z_2} = bar{z_1} cdot bar{z_2}$（積は積）
✅ 対策：共役をとる操作は四則演算を「そのまま通過する」と覚える。
💡 藤原進之介の合格テクニック
① 図を描く習慣をつける
複素数平面の問題では、必ず図を描いてから計算を始めましょう。視覚的な理解が計算ミスを防ぎます。
② 極形式と直交形式を使い分ける
- 積・商・累乗 → 極形式が有利
- 和・差 → 直交形式（$a + bi$）が有利
③ 「実軸に関して対称」を活用
実係数の方程式の虚数解は共役複素数とペアになる。この性質で検算ができます。
共通テスト・大学入試での出題傾向
2025年度からの新課程共通テスト
2025年度（令和7年度）から、共通テスト数学ⅡBCは大きく変わりました。
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 70分 |
| 選択問題 | 「数列」「統計的推測」「ベクトル」「複素数平面」の4題から3題選択 |
| 配点 | 各大問16点 × 3 = 48点（選択部分） |
📊 複素数平面を選択すべき人
- 理系受験生：2次試験でも出題されるため、共通テストで練習になる
- 計算が得意な人：極形式やド・モアブルの定理を素早く使える人
- 図形的思考が得意な人：回転・拡大のイメージが湧きやすい人
⚠️ 注意：共通テストは難易度が年度により変動します。「統計的推測」を保険として準備しておくと安心です。
国公立2次試験・私大入試での出題傾向
頻出テーマ TOP5
| 順位 | テーマ | 出題大学例 |
|---|---|---|
| 1位 | 軌跡（円・直線・アポロニウスの円） | 東大、京大、一橋、名古屋 |
| 2位 | 回転移動・拡大縮小 | 東工大、阪大、横浜国立 |
| 3位 | ド・モアブルの定理と累乗計算 | 北大、東北大、九大 |
| 4位 | 1のn乗根と正多角形 | 上智、早稲田、慶應 |
| 5位 | 複素数列（漸化式） | 京大、阪大、名古屋市立 |
難関大で問われるポイント
東大・京大レベルで必要な力
- 複素数と図形の関係を正確に把握する力
- $w = f(z)$ 型の変換で、$z$ の条件から $w$ の軌跡を求める力
- 偏角の条件を図形的に解釈する力
- 複素数を用いた幾何学的証明
年度別の出題分析（2023〜2025年）
2025年度共通テスト（第1回新課程）
- 複素数平面は選択問題として出題
- 極形式の基本、回転移動、軌跡の問題が出題
- 計算量は適度で、時間内に解ける分量
国公立2次試験の傾向
- 東大：複素数と図形の融合問題（証明を含む）
- 京大：複素数列、n乗根を用いた問題
- 一橋：軌跡・領域の問題
- 東工大：変換 $w = f(z)$ の問題
藤原進之介おすすめ勉強法と参考書
段階別学習法
【STEP 1】基礎固め（1〜2週間）
目標：複素数の計算、極形式、ド・モアブルの定理を完璧にする
やるべきこと
- 教科書の例題を全て解く
- 複素数の四則演算を10問程度練習
- 極形式への変換を様々なパターンで練習
- ド・モアブルの定理を使った累乗計算を反復
チェックポイント：$(1+i)^{10}$ を1分以内に計算できるか？
【STEP 2】典型問題マスター（2〜3週間）
目標：入試頻出パターンを網羅する
やるべきこと
- 回転移動の公式を使う問題を10問
- 1のn乗根の問題を5問
- 軌跡の問題（円・直線・アポロニウス）を10問
- 偏角の条件がある問題を5問
チェックポイント：問題を見て「このパターンだ」と即座に判断できるか？
【STEP 3】入試問題演習（2〜4週間）
目標：実際の入試問題で実力を確認・強化する
やるべきこと
- 志望校の過去問を5〜10年分解く
- 解けなかった問題は解説を読み、類題を探して練習
- 時間を計って本番形式で演習
チェックポイント：初見の問題でも方針が立てられるか？
おすすめ参考書・問題集
📚 基礎〜標準レベル
- 『チャート式 基礎からの数学C』（青チャート）：網羅性が高く、例題→練習の流れで力がつく
- 『Focus Gold 数学C』：解説が詳しく、独学にも向いている
- 『基礎問題精講 数学III』：最低限の問題を厳選。時間がない人向け
📚 標準〜発展レベル
- 『1対1対応の演習 数学III』：入試頻出パターンを効率よく学べる
- 『標準問題精講 数学III』：中堅〜難関大を目指す人に最適
- 『やさしい理系数学』：名前に反してハイレベル。難関大志望者向け
📚 難関大レベル
- 『ハイレベル理系数学』：東大・京大・東工大レベルの演習
- 『入試数学の掌握』：思考力を鍛える良問集
- 『新数学演習』：超難関大を目指す人の仕上げに
効率的な復習法
藤原式「3回転復習法」
- 1回目（翌日）：解いた問題を見て、解法の流れを口頭で説明できるか確認
- 2回目（1週間後）：問題を見ずに、解法のポイントを3つ言えるか確認
- 3回目（1ヶ月後）：実際に手を動かして解き直す
この方法で、解法が長期記憶に定着します！
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複素数平面をはじめ、数学の力を本気で伸ばしたい方は、ぜひ日本数学塾・数強塾の指導を体験してください。
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- 『数学が面白くなる！パズル感覚で挑む入試数学』
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- 『中学生のための高校入試数学 解法大全』
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各書籍の詳細は 数強塾公式サイト をご覧ください。
最後に
複素数平面は、最初は「なぜ虚数を平面で考えるのか？」と戸惑う人も多いですが、慣れてくると図形と計算が美しく結びつく魅力的な分野です。
この記事の30問をしっかり解けるようになれば、共通テストはもちろん、難関大の2次試験でも十分戦える力が身につきます。
何度も繰り返し解いて、複素数平面を得点源にしてください！
質問や相談があれば、数強塾・日本数学塾までお気軽にお問い合わせください。一緒に合格を勝ち取りましょう！
藤原進之介
日本数学塾・数強塾 講師
著書9冊
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