【東京大学 数学 傾向と対策】医学部（理科三類）｜藤原進之介が徹底解説

正の整数 k に対し、

A_k = ∫_kπ^(k+1)π |sin(x²)| dx

とおく。

(1) 次の不等式が成り立つことを示せ。

1/√((k+1)π) ≦ A_k ≦ 1/√(kπ)

(2) 正の整数 n に対し、

B_n = (1/n) ∫_nπ^2nπ |sin(x²)| dx

とおく。極限 lim_n→∞ B_n を求めよ。

黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。

(1) どの赤玉も隣り合わない確率 p を求めよ。

(2) どの赤玉も隣り合わず、かつどの白玉も隣り合わない確率 q を求めよ。

n を正の整数とする。n³ + 3n² + 2n が 6 の倍数であることを証明せよ。

座標空間内の点 A(0, 1, 1) をとる。xy平面上の点 P が次の条件 (i), (ii), (iii) をすべて満たすとする。

(i) P は原点 O と異なる。

(ii) ∠AOP ≧ 2π/3

(iii) ∠OAP ≦ π/6

P がとりうる範囲を xy平面上に図示せよ。

数直線上を動く点 P がある。P は最初原点にいる。コインを投げて表が出たら +1、裏が出たら -1 だけ移動する。n 回コインを投げた後に P が原点にいる確率を p_n とする。p_n を求めよ。

問題

関数 f(x) = ∫₀^x e^-t² dt について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x) の増減を調べ、最小値を求めよ。

(2) x > 0 のとき、f(x) < √π/2 を示せ。

解答・解説

(1) の解答

f'(x) = e^-x² > 0 （すべての実数 x に対して）

よって、f(x) は単調増加関数である。

f(0) = 0 であり、f(x) は x = 0 で最小値 0 をとる。

(2) の解答

ガウス積分 ∫_-∞^∞ e^-t² dt = √π を用いる。

e^-t² は偶関数なので、∫₀^∞ e^-t² dt = √π/2

x > 0 のとき、

f(x) = ∫₀^x e^-t² dt < ∫₀^∞ e^-t² dt = √π/2

よって、f(x) < √π/2 が成り立つ。

問題

曲線 y = sin x (0 ≦ x ≦ π) と x 軸で囲まれた図形を、x 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答

V = π ∫₀^π sin²x dx

= π ∫₀^π (1 - cos 2x)/2 dx

= (π/2) [x - (sin 2x)/2]₀^π

= (π/2) × π

= π²/2

問題

黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。

(1) どの赤玉も隣り合わない確率 p を求めよ。

解答

全ての並べ方の総数は、12!/(3!×4!×5!) 通り

赤玉が隣り合わない場合の数え方：

まず、黒玉3個と白玉5個を並べる。これは 8!/(3!×5!) 通り

この8個の並びには、両端と間を合わせて9箇所の「隙間」がある。

この9箇所から4箇所を選んで赤玉を配置すればよい。

よって、条件を満たす並べ方は 8!/(3!×5!) × ₉C₄ 通り

確率の計算：

p = [8!/(3!×5!) × ₉C₄] / [12!/(3!×4!×5!)]

= [8!/(3!×5!) × 126] / [12!/(3!×4!×5!)]

= [8! × 4! × 126] / 12!

= [40320 × 24 × 126] / 479001600

= 14/55

問題

1から6の目が等しい確率で出るサイコロを n 回投げる。出た目の積が 5 の倍数になる確率を P_n とする。P_n を求めよ。

解答

5 の倍数でない確率 Q_n = 1 - P_n を考える。

積が 5 の倍数でないのは、すべての目が 5 以外のとき。

Q_n = (5/6)ⁿ

よって、P_n = 1 - (5/6)ⁿ

問題

数列 {a_n} が a₁ = 1, a₂ = 3, a_n+2 - 4a_n+1 + 3a_n = 0 を満たすとき、a_n を求めよ。

解答

特性方程式：x² - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0 より x = 1, 3

一般解：a_n = A·1ⁿ + B·3ⁿ = A + B·3ⁿ

初期条件より：

a₁ = A + 3B = 1

a₂ = A + 9B = 3

連立方程式を解いて：A = 0, B = 1/3

よって、a_n = 3^n-1

問題

点 P が数直線上の原点にある。コインを投げ、表なら +1、裏なら -1 移動する。n 回投げた後、P が原点にいる確率を p_n とする。p_n の漸化式を立て、p_n を求めよ。

解答

n が奇数のとき、原点に戻ることは不可能なので p_n = 0

n = 2m（偶数）のとき、

表が m 回、裏が m 回出る必要がある。

p_2m = _2mC_m × (1/2)^2m = _2mC_m / 4^m

漸化式としては：

p_n+2 = (1/2) × (1 - p_n) × (1/2) + (1/2) × (1 - p_n) × (1/2)

※ただし、状態遷移を考えると別の形の漸化式も導出可能

問題

四面体 OABC において、OA = a, OB = b, OC = c とする。辺 AB を 2:1 に内分する点を P、辺 OC を 1:2 に内分する点を Q とするとき、ベクトル PQ を a, b, c で表せ。

解答

P は AB を 2:1 に内分するので、

OP = (1×a + 2×b)/(1+2) = (a + 2b)/3

Q は OC を 1:2 に内分するので、

OQ = c/3

よって、

PQ = OQ - OP = c/3 - (a + 2b)/3 = (-a - 2b + c)/3

問題

座標平面上で、点 A(1, 0) と原点 O を考える。点 P(x, y) が ∠OAP ≦ π/4 を満たすとき、P の存在範囲を図示せよ。

解答

A から見た角度条件なので、A を中心に考える。

AO = (-1, 0), AP = (x-1, y)

cos∠OAP = (AO · AP)/(|AO||AP|) ≧ cos(π/4) = 1/√2

-(x-1) / √((x-1)² + y²) ≧ 1/√2

(1-x) / √((x-1)² + y²) ≧ 1/√2

1-x ≧ 0 かつ (1-x)² ≧ ((x-1)² + y²)/2

x ≦ 1 かつ (x-1)² ≧ y²

x ≦ 1 かつ |x-1| ≧ |y|

よって、直線 y = x-1 と y = -(x-1) で挟まれた x ≦ 1 の領域。

問題

n を 2 以上の整数とする。n⁵ - n が 30 で割り切れることを証明せよ。

解答

n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n² - 1)(n² + 1) = n(n-1)(n+1)(n² + 1)

=