【立教大学 数学 傾向と対策】理学部｜藤原進之介が徹底解説

✅ 立教大学 理学部 数学の5つの特徴

1. 記述式中心：途中式や証明過程もしっかり書く必要がある
2. 計算量が多い：確実な計算力が求められる
3. 典型問題の応用：基本を押さえていれば解ける問題が多い
4. 微分積分の出題率が高い：毎年必ず出題される重要分野
5. 時間配分が重要：限られた時間で効率よく解く必要がある

📝 試験形式の詳細

• 出題形式：大問4〜5題（記述式中心、一部穴埋め形式あり）
• 出題範囲：数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C（数列、ベクトル）
• 解答形式：記述式（途中式・証明過程を重視）
• 難易度：標準〜やや難（基本問題7割、応用問題3割程度）

📌 典型的な出題例（微分積分）

【問題】

曲線 C: y = x³ - 3x と直線 l: y = kx が異なる3点で交わるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 定数 k の値の範囲を求めよ。

(2) k = -2 のとき、曲線 C と直線 l で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。

📌 典型的な出題例（確率漸化式）

【問題】

点 P が数直線上の原点にある。コインを投げて、表が出れば +2、裏が出れば -1 だけ P を移動させる。この操作を n 回行ったとき、点 P が原点にある確率を P_n とする。

(1) P₁, P₂, P₃ を求めよ。

(2) P_n+3 を P_n を用いて表せ。

(3) P_n を n を用いて表せ。

📌 典型的な出題例（数列）

【問題】

数列 {a_n} が次の漸化式で定義されている：

a₁ = 1, a_n+1 = 3a_n + 2ⁿ

(1) b_n = a_n / 2ⁿ とおくとき、b_n+1 を b_n を用いて表せ。

(2) 一般項 a_n を求めよ。

(3) Σ(k=1 to n) a_k を求めよ。

📌 典型的な出題例（ベクトル）

【問題】

四面体 OABC において、OA = a, OB = b, OC = c とする。辺 OA を 2:1 に内分する点を P、辺 BC の中点を M とする。

(1) PM を a, b, c を用いて表せ。

(2) 直線 PM と平面 ABC の交点 Q の位置ベクトルを求めよ。

(3) |a| = |b| = |c| = 1, a·b = b·c = c·a = 1/2 のとき、PQ の長さを求めよ。

📌 典型的な出題例（整数）

【問題】

自然数 n に対して、3ⁿ + 4ⁿ を 5 で割った余りを求めよ。また、3ⁿ + 4ⁿ が 25 で割り切れる n の条件を求めよ。

【問題1】定積分と面積

関数 f(x) = x·e^-x について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x) の増減を調べ、極値を求めよ。

(2) 曲線 y = f(x) と x 軸、直線 x = 2 で囲まれた部分の面積 S を求めよ。

(3) (2) の部分を x 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 V を求めよ。

【解答】

(1) 増減と極値

f(x) = x·e^-x を微分すると：

f'(x) = e^-x + x·(-e^-x) = e^-x(1 - x)

f'(x) = 0 のとき、x = 1（∵ e^-x > 0）

x	… 1 …
f'(x)	＋ 0 −
f(x)	↗ 極大 ↘

よって、x = 1 で極大値 f(1) = 1/e

(2) 面積

0 ≤ x ≤ 2 で f(x) ≥ 0 なので：

S = ∫₀² x·e^-x dx

部分積分を適用：

∫ x·e^-x dx = -x·e^-x - ∫ (-e^-x) dx = -x·e^-x - e^-x + C = -(x+1)e^-x + C

S = [-(x+1)e^-x]₀² = -3e^-2 - (-1) = 1 - 3/e²

(3) 回転体の体積

V = π∫₀² {x·e^-x}² dx = π∫₀² x²·e^-2x dx

部分積分を2回適用：

∫ x²·e^-2x dx = -1/2·x²·e^-2x + ∫ x·e^-2x dx

∫ x·e^-2x dx = -1/2·x·e^-2x + 1/2∫ e^-2x dx = -1/2·x·e^-2x - 1/4·e^-2x

したがって：

∫ x²·e^-2x dx = -1/2·x²·e^-2x - 1/2·x·e^-2x - 1/4·e^-2x = -1/4(2x² + 2x + 1)e^-2x

V = π[-1/4(2x² + 2x + 1)e^-2x]₀² = π[-13/4·e^-4 + 1/4] = π(1 - 13e^-4)/4

💡 藤原のワンポイントアドバイス

部分積分は「微分して簡単になる方」を先に微分するのが基本です。x·e^-x の場合、x を微分すると 1 になって消えるので、x を先に微分します。この考え方を LIATE 則（Logarithm → Inverse → Algebraic → Trigonometric → Exponential）として覚えておくと便利ですよ！

【問題2】確率漸化式

正三角形 ABC の各頂点に球が置いてある。1秒ごとに、各球は確率 1/2 でその場に留まり、確率 1/2 で隣の頂点（時計回り）に移動する。最初、頂点 A に赤い球がある。n 秒後に赤い球が頂点 A にある確率を P_n とする。

(1) P₁, P₂ を求めよ。

(2) P_n+1 を P_n を用いて表せ。

(3) P_n を n を用いて表せ。

【解答】

(1) P₁, P₂ の計算

P₁：1秒後に A にいる確率 = その場に留まる確率 = 1/2

P₂：2秒後に A にいる場合：

• A → A → A：(1/2)² = 1/4
• A → B → A：(1/2)·0 = 0（B から A への移動はない）
• A → C → A：0·(1/2) = 0（A から C への移動はない）

待って、時計回りなので A → B → C → A です。

A → A：1/2、A → B：1/2

A → A → A：1/4、A → B → B：1/4、A → B → C：1/4

したがって P₂ = 1/4

(2) 漸化式の導出

対称性から、頂点 B, C にいる確率をそれぞれ Q

対称性から、頂点 B, C にいる確率をそれぞれ Q_n, R_n とおくと、時計回りの移動なので：

P_n + Q_n + R_n = 1（確率の総和）

n+1 秒後に A にいるのは：

• A に留まる：P_n × 1/2
• C から A に移動：R_n × 1/2

よって：P_n+1 = (1/2)P_n + (1/2)R_n

対称性より Q_n = R_n なので、P_n + 2Q_n = 1 より Q_n = R_n = (1 - P_n)/2

これを代入して：

P_n+1 = (1/2)P_n + (1/2) × (1 - P_n)/2 = (1/2)P_n + (1 - P_n)/4

P_n+1 = (1/4)P_n + 1/4

(3) 一般項の導出

P_n+1 = (1/4)P_n + 1/4

特性方程式：α = (1/4)α + 1/4 より α = 1/3

P_n+1 - 1/3 = (1/4)(P_n - 1/3)

よって {P_n - 1/3} は初項 P₁ - 1/3 = 1/2 - 1/3 = 1/6、公比 1/4 の等比数列

P_n - 1/3 = (1/6) × (1/4)^n-1

P_n = 1/3 + (2/3) × (1/4)ⁿ = (1 + 2 × (1/4)ⁿ)/3

💡 藤原のワンポイントアドバイス

確率漸化式のポイントは「状態を整理すること」です。この問題では対称性を利用して状態を減らしました。複雑な問題でも、まず状態遷移図を描き、各状態間の遷移確率を整理すると、漸化式が自然と見えてきます。立教大学ではこの型の問題が頻出なので、必ず得点源にしましょう！

【問題3】複雑な漸化式

数列 {a_n} が次の条件を満たすとする：

a₁ = 2, a_n+1 = 2a_n + 3ⁿ

(1) b_n = a_n/3ⁿ とおくとき、b_n+1 と b_n の関係式を求めよ。

(2) 一般項 a_n を求めよ。

(3) S_n = Σ_k=1ⁿ a_k を求めよ。

【解答】

(1) 変数変換

a_n+1 = 2a_n + 3ⁿ の両辺を 3ⁿ⁺¹ で割ると：

a_n+1/3ⁿ⁺¹ = (2a_n)/3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ/3ⁿ⁺¹

b_n+1 = (2/3) × (a_n/3ⁿ) + 1/3

b_n+1 = (2/3)b_n + 1/3

(2) 一般項

特性方程式：α = (2/3)α + 1/3 より α = 1

b_n+1 - 1 = (2/3)(b_n - 1)

b₁ = a₁/3 = 2/3 なので、b₁ - 1 = -1/3

よって b_n - 1 = (-1/3) × (2/3)^n-1

b_n = 1 - (1/3)(2/3)^n-1 = 1 - (2^n-1)/(3ⁿ)

a_n = 3ⁿ × b_n = 3ⁿ - 2^n-1

a_n = 3ⁿ - 2^n-1

(3) 部分和

S_n = Σ_k=1ⁿ (3^k - 2^k-1)

= Σ_k=1ⁿ 3^k - Σ_k=1ⁿ 2^k-1

= (3(3ⁿ - 1))/(3-1) - (2ⁿ - 1)/(2-1)

= (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - 2ⁿ + 1

S_n = (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹ - 1)/2

【問題4】空間ベクトル

四面体 OABC において、OA = a, OB = b, OC = c とする。|a| = 3, |b| = 4, |c| = 5, a·b = 6, b·c = 10, c·a = 0 のとき、以下の問いに答えよ。

(1) 辺 AB を 2:1 に内分する点を P とするとき、OP を a, b を用いて表せ。

(2) 点 P から平面 OBC に下ろした垂線の足を H とする。OH を b, c を用いて表せ。

(3) 線分 PH の長さを求めよ。

【解答】

(1) 内分点の位置ベクトル

P は AB を 2:1 に内分するので：

OP = (1×OA + 2×OB)/(1+2) = (a + 2b)/3

OP = (1/3)a + (2/3)b

(2) 垂線の足の位置ベクトル

H は平面 OBC 上にあるので、OH = sb + tc （s, t は実数）と表せる。

PH ⊥ 平面 OBC より、PH ⊥ b かつ PH ⊥ c

PH = OH - OP = sb + tc - (1/3)a - (2/3)b = -(1/3)a + (s - 2/3)b + tc

PH · b = 0 より：

-(1/3)(a·b) + (s - 2/3)|b|² + t(b·c) = 0

-(1/3)(6) + (s - 2/3)(16) + t(10) = 0

-2 + 16s - 32/3 + 10t = 0

16s + 10t = 38/3 ... ①

PH · c = 0 より：

-(1/3)(a·c) + (s - 2/3)(b·c) + t|c|² = 0

0 + (s - 2/3)(10) + t(25) = 0

10s + 25t = 20/3 ... ②

①×5 - ②×2 より：

80s + 50t - 20s - 50t = 190/3 - 40/3

60s = 150/3 = 50

s = 5/6

②に代入：10(5/6) + 25t = 20/3

25/3 + 25t = 20/3

25t = -5/3

t = -1/15

OH = (5/6)b - (1/15)c

(3) PH の長さ

PH = -(1/3)a + (5/6 - 2/3)b + (-1/15)c = -(1/3)a + (1/6)b - (1/15)c

|PH|² = (1/9)|a|² + (1/36)|b|² + (1/225)|c|² - (2/18)(a·b) + (2/45)(a·c) - (2/90)(b·c)

= (1/9)(9) + (1/36)(16) + (1/225)(25) - (1/9)(6) + 0 - (1/45)(10)

= 1 + 4/9 + 1/9 - 2/3 - 2/9

= 1 + 4/9 + 1/9 - 6/9 - 2/9 = 1 - 3/9 = 1 - 1/3 = 2/3

PH = √(2/3) = √6/3

【問題5】整数問題

n を自然数とする。

(1) 7ⁿ を 9 で割った余りを求めよ。

(2) 7ⁿ + 2ⁿ が 9 で割り切れるための n の条件を求めよ。

(3) 7¹⁰⁰ + 2¹⁰⁰ を 9 で割った余りを求めよ。

【解答】

(1) 7ⁿ mod 9

7 ≡ -2 (mod 9) より 7ⁿ ≡ (-2)ⁿ (mod 9)

n が偶数のとき：7ⁿ ≡ 2ⁿ (mod 9)

n が奇数のとき：7ⁿ ≡ -2ⁿ (mod 9)

2ⁿ mod 9 の周期を調べると：

2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16 ≡ 7, 2⁵ = 32 ≡ 5, 2⁶ = 64 ≡ 1

周期 6 で循環する。

まとめると：

• n ≡ 1 (mod 6)：7ⁿ ≡ -2 ≡ 7 (mod 9)
• n ≡ 2 (mod 6)：7ⁿ ≡ 4 (mod 9)
• n ≡ 3 (mod 6)：7ⁿ ≡ -8 ≡ 1 (mod 9)
• n ≡ 4 (mod 6)：7ⁿ ≡ 7 (mod 9)
• n ≡ 5 (mod 6)：7ⁿ ≡ -5 ≡ 4 (mod 9)
• n ≡ 0 (mod 6)：7ⁿ ≡ 1 (mod 9)

(2) 9 で割り切れる条件

7ⁿ + 2ⁿ ≡ 0 (mod 9)

(-2)ⁿ + 2ⁿ ≡ 0 (mod 9)

n が偶数のとき：2ⁿ + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ ≡ 0 (mod 9)

これは不可（2 と 9 は互いに素）

n が奇数のとき：-2ⁿ + 2ⁿ = 0 ≡ 0 (mod 9) ✓

n が奇数のとき、7ⁿ + 2ⁿ は 9 で割り切れる

(3) 7¹⁰⁰ + 2¹⁰⁰ mod 9

100 は偶数なので、7¹⁰⁰ ≡ 2¹⁰⁰ (mod 9)

7¹⁰⁰ + 2¹⁰⁰ ≡ 2 × 2¹⁰⁰ = 2¹⁰¹ (mod 9)

101 = 6 × 16 + 5 より 101 ≡ 5 (mod 6)

2¹⁰¹ ≡ 2⁵ = 32 ≡ 5 (mod 9)

余りは 5

【練習問題1】微分の応用

関数 f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x - a³ （a は正の定数）について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x) を因数分解せよ。

(2) 方程式 f(x) = 0 の実数解の個数を a の値で場合分けして答えよ。

(3) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を a を用いて表せ。

【解答1】

(1) 因数分解

f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x - a³

これは (x - a)³ の展開形である。

f(x) = (x - a)³

(2) 実数解の個数

f(x) = (x - a)³ = 0 より x = a（3重解）

a の値に関わらず、実数解は 1 個（重解）

(3) 面積

f(x) = (x - a)³ は x = a で x 軸に接し、x < a で負、x > a で正。

囲まれた部分がないので、S = 0

（※問題の意図が曲線と接線で囲まれた面積の場合は再検討が必要）

【練習問題2】定積分の計算

次の定積分を求めよ。

(1) ∫₀^π/2 sin³x cos²x dx

(2) ∫₁^e x² log x dx

(3) ∫₀¹ x/(1+x²)² dx

【解答2】

(1)

∫₀^π/2 sin³x cos²x dx = ∫₀^π/2 sin x (1 - cos²x) cos²x dx

t = cos x とおくと、dt = -sin x dx

x: 0 → π/2 のとき t: 1 → 0

= -∫₁⁰ (1 - t²)t² dt = ∫₀¹ (t² - t⁴) dt

= [t³/3 - t⁵/5]₀¹ = 1/3 - 1/5 = 2/15

(2)

部分積分：∫ x² log x dx = (x³/3) log x - ∫ (x³/3) × (1/x) dx

= (x³/3) log x - (1/3) ∫ x² dx = (x³/3) log x - x³/9 + C

∫₁^e x² log x dx = [(x³/3) log x - x³/9]₁^e

= (e³/3 × 1 - e³/9) - (0 - 1/9)

= 2e³/9 + 1/9 = (2e³ + 1)/9

(3)

t = 1 + x² とおくと、dt = 2x dx より x dx = dt/2

x: 0 → 1 のとき t: 1 → 2

∫₀¹ x/(1+x²)² dx = (1/2) ∫₁² t⁻² dt

= (1/2) [-t⁻¹]₁² = (1/2)(-1/2 + 1) = 1/4

【練習問題3】回転体の体積

曲線 y = √x と直線 y = x/2 で囲まれた部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。

【解答3】

まず交点を求める：√x = x/2

両辺を2乗：x = x²/4

x² - 4x = 0、x(x - 4) = 0

x = 0, 4

0 ≤ x ≤ 4 で √x ≥ x/2 なので：

V = π ∫₀⁴ {(√x)² - (x/2)²} dx

= π ∫₀⁴ (x - x²/4) dx

= π [x²/2 - x³/12]₀⁴

= π (8 - 64/12)

= π (8 - 16/3)

= π × (24 - 16)/3

= 8π/3

【練習問題4】確率（条件付き確率）

袋の中に赤玉 3 個、白玉 5 個が入っている。この袋から同時に 3 個の玉を取り出すとき、以下の確率を求めよ。

(1) 3 個とも赤玉である確率

(2) 赤玉が少なくとも 1 個含まれる確率

(3) 取り出した玉に赤玉が含まれていたとき、それがちょうど 1 個である確率

【解答4】

全体：₈C₃ = 56 通

全体：₈C₃ = 56 通り

(1) 3 個とも赤玉

赤玉 3 個から 3 個選ぶ：₃C₃ = 1 通り

P = 1/56 = 1/56

(2) 赤玉が少なくとも 1 個

余事象（3 個とも白玉）を使う：

白玉 5 個から 3 個選ぶ：₅C₃ = 10 通り

P = 1 - 10/56 = 46/56 = 23/28

(3) 条件付き確率

赤玉がちょうど 1 個：₃C₁ × ₅C₂ = 3 × 10 = 30 通り

赤玉が少なくとも 1 個：46 通り（(2)より）

P = 30/46 = 15/23

【練習問題5】確率漸化式

数直線上を動く点 P がある。最初 P は原点にいる。さいころを投げて、1 または 2 の目が出れば +1、3 または 4 の目が出れば -1、5 または 6 の目が出れば移動しない。n 回さいころを投げた後に P が原点にある確率を P_n とするとき、P_n を求めよ。

【解答5】

+1 移動する確率 = 2/6 = 1/3

-1 移動する確率 = 2/6 = 1/3

移動しない確率 = 2/6 = 1/3

n 回後の位置を k とすると、k は -n から n の範囲の整数。

対称性より、位置 k にいる確率と位置 -k にいる確率は等しい。

n 回後に原点にいるには、+1 の回数と -1 の回数が等しい必要がある。

+1 が r 回、-1 が r 回、移動なしが n - 2r 回（0 ≤ 2r ≤ n）とすると：

P_n = Σ_r=0^[n/2] _nC_r × _n-rC_r × (1/3)^r × (1/3)^r × (1/3)^n-2r

= Σ_r=0^[n/2] (n!)/(r! × r! × (n-2r)!) × (1/3)ⁿ

= (1/3)ⁿ × Σ_r=0^[n/2] n!/(r!)²(n-2r)!

これは多項係数を用いた表現となる。

別解として漸化式を立てる：

原点、正の位置、負の位置にいる確率をそれぞれ P_n, Q_n, R_n とおく。

対称性より Q_n = R_n

P_n+1 = (1/3)P_n + (1/3)Q_n + (1/3)R_n の形にはならない（位置 1 から原点に戻るのと位置 2 から戻るのは異なる）。

より精密な分析が必要だが、一般解は：

P_n = (1/3)ⁿ × Σ_r=0^[n/2] n!/((r!)²(n-2r)!)

【練習問題6】数列の和

次の和を求めよ。

(1) S = Σ_k=1ⁿ k·2^k

(2) T = Σ_k=1ⁿ k²·2^k

【解答6】

(1) S = Σ_k=1ⁿ k·2^k

S = 1·2 + 2·2² + 3·2³ + … + n·2ⁿ

2S = 1·2² + 2·2³ + 3·2⁴ + … + n·2ⁿ⁺¹

S - 2S = -S より：

-S = 2 + 2² + 2³ + … + 2ⁿ - n·2ⁿ⁺¹

-S = 2(2ⁿ - 1)/(2-1) - n·2ⁿ⁺¹

-S = 2ⁿ⁺¹ - 2 - n·2ⁿ⁺¹

-S = (1 - n)·2ⁿ⁺¹ - 2

S = (n - 1)·2ⁿ⁺¹ + 2

(2) T = Σ_k=1ⁿ k²·2^k

T = 1²·2 + 2²·2² + 3²·2³ + … + n²·2ⁿ

2T = 1²·2² + 2²·2³ + 3²·2⁴ + … + n²·2ⁿ⁺¹

T - 2T = -T より：

-T = 1·2 + (4-1)·2² + (9-4)·2³ + … + (n² - (n-1)²)·2ⁿ - n²·2ⁿ⁺¹

-T = 1·2 + 3·2² + 5·2³ + … + (2n-1)·2ⁿ - n²·2ⁿ⁺¹

U = 1·2 + 3·2² + 5·2³ + … + (2n-1)·2ⁿ とおく

U = Σ_k=1ⁿ (2k-1)·2^k = 2Σk·2^k - Σ2^k

= 2S - (2ⁿ⁺¹ - 2)

= 2{(n-1)·2ⁿ⁺¹ + 2} - 2ⁿ⁺¹ + 2

= (2n-2)·2ⁿ⁺¹ + 4 - 2ⁿ⁺¹ + 2

= (2n-3)·2ⁿ⁺¹ + 6

よって -T = (2n-3)·2ⁿ⁺¹ + 6 - n²·2ⁿ⁺¹

-T = (2n - 3 - n²)·2ⁿ⁺¹ + 6

T = (n² - 2n + 3)·2ⁿ⁺¹ - 6

【練習問題7】漸化式

数列 {a_n} が a₁ = 1, a_n+1 = 2a_n + n を満たすとき、一般項 a_n を求めよ。

【解答7】

a_n+1 = 2a_n + n

特殊解を a_n = αn + β とおいて代入：

α(n+1) + β = 2(αn + β) + n

αn + α + β = 2αn + 2β + n

αn + α + β = (2α + 1)n + 2β

係数比較：

α = 2α + 1 → α = -1

α + β = 2β → -1 + β = 2β → β = -1

特殊解は -n - 1

b_n = a_n - (-n - 1) = a_n + n + 1 とおくと：

b_n+1 = a_n+1 + (n+1) + 1 = 2a_n + n + n + 2 = 2a_n + 2n + 2

= 2(a_n + n + 1) = 2b_n

{b_n} は公比 2 の等比数列

b₁ = a₁ + 1 + 1 = 3

b_n = 3·2^n-1

a_n = 3·2^n-1 - n - 1

検算：a₁ = 3 - 1 - 1 = 1 ✓

a₂ = 2a₁ + 1 = 3、公式より a₂ = 6 - 2 - 1 = 3 ✓

【練習問題8】ベクトルと平面

3点 A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) を通る平面の方程式を求めよ。また、原点 O からこの平面に下ろした垂線の足 H の座標を求めよ。

【解答8】

平面の方程式

平面の方程式を ax + by + cz = d とおく。

A, B, C を代入：

a = d, 2b = d, 3c = d

a = d, b = d/2, c = d/3

d ≠ 0 として d で割ると：

x + y/2 + z/3 = 1

両辺を 6 倍：

6x + 3y + 2z = 6

垂線の足 H

平面の法線ベクトルは n = (6, 3, 2)

原点を通り法線方向の直線：(x, y, z) = t(6, 3, 2) = (6t, 3t, 2t)

これが平面上にある条件：

6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6

36t + 9t + 4t = 6

49t = 6

t = 6/49

H = (36/49, 18/49, 12/49)

【練習問題9】整数問題

n を自然数とするとき、n⁵ - n は 30 で割り切れることを証明せよ。

【解答9】

n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n² + 1)(n² - 1) = n(n² + 1)(n + 1)(n - 1)

= (n - 1)n(n + 1)(n² + 1)

30 = 2 × 3 × 5 で割り切れることを示す。

2 で割り切れる：

(n-1), n, (n+1) は連続する 3 整数なので、少なくとも 1 つは偶数。✓

3 で割り切れる：

(n-1), n, (n+1) は連続する 3 整数なので、必ず 1 つは 3 の倍数。✓

5 で割り切れる：

フェルマーの小定理より、n が 5 の倍数でなければ n⁴ ≡ 1 (mod 5)

よって n⁵ - n = n(n⁴ - 1) ≡ n(1 - 1) ≡ 0 (mod 5)

n が 5 の倍数なら n⁵ - n も 5 の倍数。✓

以上より、n⁵ - n は 2, 3, 5 のすべてで割り切れるので、30 で割り切れる。 ∎

【練習問題10】複素数平面

複素数 z = cos θ + i sin θ （0 < θ < π）について、以下の問いに答えよ。

(1) w = z + 1/z を θ を用いて表せ。

(2) |z² + 1| を θ を用いて表せ。

(3) |z² + 1| の最大値と最小値を求めよ。

【解答10】

(1) w = z + 1/z

|z| = 1 より 1/z = z̄ = cos θ - i sin θ

w = cos θ + i sin θ + cos θ - i sin θ = 2 cos θ

(2) |z² + 1|

z² = cos 2θ + i sin 2θ

z² + 1 = (1 + cos 2θ) + i sin 2θ

= 2cos²θ + 2i sin θ cos θ（倍角の公式より）

= 2 cos θ (cos θ + i sin θ)

= 2 cos θ · z

|z² + 1| = |2 cos θ| · |z| = 2|cos θ|

0 < θ < π では cos θ は -1 < cos θ < 1 の範囲

0 < θ < π/2 では cos θ > 0、π/2 < θ < π では cos θ < 0

よって |z² + 1| = 2|cos θ|

(3) 最大値と最小値

0 < θ < π において |cos θ| の範囲を考える。

cos θ = 0 のとき θ = π/2 で |cos θ| = 0（最小）

cos θ → 1 のとき θ → 0 で |cos θ| → 1（最大に近づくが到達しない）

cos θ → -1 のとき θ → π で |cos θ| → 1

したがって：

最大値：2（θ → 0 または θ → π で近づく、到達しない）

最小値：0（θ = π/2 のとき）

※開区間なので最大値は「存在しない」が正確だが、上限は 2。

📅 4月〜6月【基礎固め期】

目標：教科書レベルの完全理解

月	重点分野	使用教材	達成目標
4月	数Ⅰ・A 全範囲復習	基礎問題精講	正答率 90% 以上
5月	数Ⅱ・B 全範囲復習	基礎問題精講	正答率 90% 以上
6月	数Ⅲ（微分まで）	教科書 + 傍用問題集	基本計算の習熟

💡 この時期のポイント

• 公式は「なぜそうなるか」まで理解する
• 計算ミスを減らすために、検算の習慣をつける
• 苦手分野を放置しない（特に場合の数・確率）

📅 7月〜9月【応用力養成期】

目標：入試標準問題が解ける

月	重点分野	使用教材	達成目標
7月	数Ⅲ（積分）	青チャート or Focus Gold	例題 80% 以上正解
8月	全範囲の標準問題演習	標準問題精講	1日3題のペース
9月	頻出テーマ集中（微積分・確率）	重要問題集	分野別完成

💡 この時期のポイント

• 夏休みは数学に 1 日 4〜5 時間を確保
• 解けなかった問題は必ず解き直しノートを作成
• 模試の復習を徹底的に行う

📅 10月〜11月【実戦力強化期】

目標：過去問で合格点を取れる

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月	重点分野	使用教材	達成目標
10月	MARCH 過去問演習開始	立教大学 赤本	傾向把握・6割正解
11月	過去問 + 弱点補強	赤本 + 分野別問題集	7割正解を目指す

💡 この時期のポイント

• 過去問は本番と同じ時間制限で解く
• MARCH 他大学（明治・青学・中央・法政）の過去問も併用
• 間違えた問題は類題を 3 問以上解いて定着させる
• 計算スピードを意識した演習を行う

📅 12月〜1月【総仕上げ期】

目標：安定して合格点を超える

月	重点分野	使用教材	達成目標
12月	共通テスト対策 + 二次対策	共通テスト予想問題集	共通テスト 80% 以上
1月前半	共通テスト直前対策	過去問 + 予想問題	時間配分の最終確認
1月後半	立教過去問総復習	赤本（直近5年分）	8割正解

💡 この時期のポイント

• 共通テスト対策と私大対策のバランスを取る
• 新しい問題集には手を出さず、復習を徹底
• 体調管理を最優先に

📅 2月【直前期】

目標：本番で実力を100%発揮する

時期	やるべきこと	注意点
試験1週間前	頻出パターンの最終確認	難問は避け、確実に解ける問題を復習
試験3日前	公式・解法パターンの総チェック	暗記事項の最終確認
試験前日	軽い復習のみ	早めに寝て体調を整える

💡 直前期のポイント

• これまでの解き直しノートを総復習
• 「自分はこれだけやった」という自信を持つ
• 試験会場の下見、持ち物の確認を忘れずに

🥇 第1位：青チャート（数研出版）

対象レベル：基礎〜標準

おすすめ度：★★★★★

藤原のコメント：

「立教大学 理学部を目指すなら、まずは青チャートを完璧にしてください。例題と練習問題を 3 周すれば、合格に必要な基礎力は十分に身につきます。特に数Ⅲの微積分の章は、立教頻出なので重点的に取り組んでください。」

使い方のコツ：

• 1周目：例題のみを解く（解けなければすぐに解答を見てOK）
• 2周目：1周目で解けなかった問題を重点的に
• 3周目：全例題を時間を計って解く

🥈 第2位：基礎問題精講 数学Ⅰ・A / Ⅱ・B / Ⅲ（旺文社）

対象レベル：基礎固め

おすすめ度：★★★★★

藤原のコメント：

「青チャートが重すぎると感じる人には、この基礎問題精講がおすすめです。厳選された問題だけを効率よく学べます。この 1 冊を完璧にすれば、立教の標準問題は確実に解けるようになります。」

使い方のコツ：

• 1問につき最低3回は解き直す
• 「精講」の部分を熟読し、考え方を身につける
• 間違えた問題には付箋を貼って管理

🥉 第3位：標準問題精講 数学Ⅰ・A / Ⅱ・B / Ⅲ（旺文社）

対象レベル：標準〜応用

おすすめ度：★★★★☆

藤原のコメント：

「基礎問題精講を終えた後、入試レベルの問題演習に最適です。立教大学の出題傾向に近い問題も多く収録されています。秋以降の実力養成期に使ってください。」

使い方のコツ：

• まずは自力で 15〜20 分考えてから解答を見る
• 解けなかった問題は 1 週間後に再挑戦
• 分野ごとに集中して取り組む

第4位：Focus Gold 数学Ⅰ+A / Ⅱ+B / Ⅲ（啓林館）

対象レベル：基礎〜発展

おすすめ度：★★★★☆

藤原のコメント：

「青チャートの代替として非常に優秀な参考書です。解説が詳しく、独学でも理解しやすい構成になっています。特に『コラム』の部分は、数学的な考え方を深めるのに役立ちます。」

第5位：理系数学の良問プラチカ 数学Ⅰ・A・Ⅱ・B / Ⅲ（河合出版）

対象レベル：標準〜難

おすすめ度：★★★★☆

藤原のコメント：

「入試本番レベルの良問が厳選されています。立教大学だけでなく、MARCH 全般の対策に有効です。11月以降、過去問演習と並行して取り組むと効果的です。」

第6位：合格る計算 数学Ⅰ・A・Ⅱ・B / Ⅲ（文英堂）

対象レベル：計算力強化

おすすめ度：★★★★☆

藤原のコメント：

「立教大学の数学は計算量が多いので、この参考書で計算力を鍛えることを強くおすすめします。毎日 15 分でいいので、コツコツ続けてください。計算ミスが減るだけで、得点は大きく上がります。」

第7位：立教大学 赤本（教学社）

対象レベル：過去問演習

おすすめ度：★★★★★（必須）

藤原のコメント：

「言うまでもなく、過去問は必須です。最低でも直近 5 年分は 2 周以上解いてください。出題傾向を把握し、時間配分を身につけることが合格への近道です。」

使い方のコツ：

• 1周目：本番と同じ時間で解き、自己採点
• 2周目：間違えた問題を中心に解き直し
• 余裕があれば、MARCH 他大学の過去問も解く

⏱️ 時間配分の黄金ルール

数学科（90分）の場合：

時間	やること
最初の5分	全問題に目を通し、難易度を判断
5〜70分	解ける問題から順に解答（1問15〜20分目安）
70〜85分	残った問題に挑戦 or 見直し
最後の5分	計算ミスの最終チェック、名前の確認

物理学科・化学科・生命理学科（75分）の場合：

• 1問あたり約18分を目安に
• 難しい問題に固執せず、解ける問題を確実に

✏️ 記述答案の書き方

立教大学は記述式なので、採点者に伝わる答案を書くことが重要です。

1. 問題番号を明確に書く

   「(1)」「(2)」など、どの小問の解答かを明示する

2. 論理の流れを示す接続詞を使う

   「よって」「したがって」「ゆえに」「これより」などを適切に使う

3. 計算過程は省略しすぎない

   途中点がもらえるよう、重要なステップは必ず書く

4. 最終答えは枠で囲む

   採点者が答えを見つけやすいように

5. 図を描くときは定規を使う

   フリーハンドでも構わないが、見やすさを意識する

🧠 問題を解くときの心構え

1. 「見たことある！」と思ったら要注意

   似ているけど微妙に違う問題に引っかからないよう、問題文を丁寧に読む

2. わからない問題は後回し

   5分考えてもダメなら、印をつけて次へ進む

3. 部分点を狙う意識

   完答できなくても、わかるところまでは必ず書く

4. 検算は必ず行う

   特に積分計算は微分して元に戻るか確認

5. パニックになったら深呼吸

   難しい問題は他の受験生も解けていない。落ち着いて取り組む

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🌟 先輩たちの声

「高3の夏から数強塾に通い始めました。それまで数学が苦手で偏差値50を切っていましたが、藤原先生の指導のおかげで、立教大学理学部に合格できました！特に微積分の指導が的確で、本番でも自信を持って解けました。」

— K.Sさん（立教大学 理学部 数学科 合格）

「部活と両立しながらの受験勉強で不安でしたが、オンラインで自分のペースで学べる数強塾のスタイルが合っていました。確率漸化

「部活と両立しながらの受験勉強で不安でしたが、オンラインで自分のペースで学べる数強塾のスタイルが合っていました。確率漸化式の解き方を徹底的に教えてもらい、本番でもバッチリ解けました！」

— M.Tさん（立教大学 理学部 物理学科 合格）

「数学が大の苦手で、模試ではいつもD判定でした。でも日本数学塾の先生方が根気強く基礎から教えてくださり、最終的にはA判定まで上げることができました。立教だけでなく、明治と青学にも合格できて本当に感謝しています！」

— Y.Hさん（立教大学 理学部 化学科 合格）

「地方在住で、近くに良い塾がなくて困っていました。数強塾はオンラインなので場所を選ばず、東京の先生に直接教えてもらえるのが最高でした。質問もLINEですぐに返ってくるので、疑問を溜め込まずに済みました。」

— R.Oさん（立教大学 理学部 生命理学科 合格）

📊 数強塾・日本数学塾の合格実績（MARCH理系）

大学	学部	合格者数（過去3年累計）
立教大学	理学部	47名
明治大学	理工学部	52名
青山学院大学	理工学部	38名
中央大学	理工学部	61名
法政大学	理工学部・情報科学部等	55名

MARCH理系合格者 累計253名以上！

Q. 数強塾の無料体験では何ができますか？

A. 90分間のマンツーマン指導を無料で体験できます。現在の学力を診断し、志望校合格に向けた学習プランもご提案します。体験後の入塾は任意ですので、お気軽にお申し込みください。

Q. 今からでも立教大学に間に合いますか？

A. 現在の学力と志望学科によりますが、高3の夏からでも十分に間に合うケースは多いです。まずは無料カウンセリングで現状を把握し、最適な学習計画を立てましょう。諦めるのはまだ早いです！

Q. 数学がとても苦手なのですが、大丈夫ですか？

A. もちろん大丈夫です！数強塾には、偏差値40台から MARCH 合格を果たした生徒が多数います。苦手な原因を特定し、基礎から丁寧に指導しますのでご安心ください。

Q. オンライン指導で本当に成績は上がりますか？

A. はい、上がります。むしろ移動時間がなく、自分の集中できる環境で学べるオンライン指導は、効率が良いと好評です。画面共有で板書もリアルタイムで見られるので、対面と変わらない質の指導が受けられます。

Q. 授業の振替はできますか？

A. はい、前日までにご連絡いただければ振替可能です。部活や学校行事との両立も柔軟に対応しています。

Q. 料金はどのくらいですか？

A. 詳しい料金は学年や受講回数によって異なりますので、無料カウンセリング時にご説明いたします。ご予算に合わせたプランもご提案可能ですので、まずはお気軽にご相談ください。

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📌 立教大学 理学部 数学攻略のポイント

1. 微分・積分は最重要分野。毎年出題されるので、完璧に仕上げる
2. 確率漸化式は頻出パターン。状態遷移図を描いて漸化式を立てる練習を
3. 計算力が勝負を分ける。日頃から計算練習を怠らない
4. 記述式に対応できる答案作成力を養う
5. 時間配分を意識した演習を繰り返す
6. 過去問は最低5年分を2周以上解く

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