【中学数学】連立方程式でつまずく前に読む！代入法・加減法の解き方を徹底解説

はじめに：連立方程式を完全マスターするために

こんにちは、日本数学塾・数強塾で講師を務めております藤原進之介です。

中学2年生で学ぶ連立方程式は、数学の学習において非常に重要な単元です。高校入試では必ずと言っていいほど出題され、さらに高校数学や大学入試においても、連立方程式の考え方は様々な場面で活用されます。

しかし、連立方程式でつまずいてしまう生徒さんが多いのも事実です。その理由は以下のようなものが考えられます：

• 一次方程式の基礎がしっかり身についていない
• 分数や小数の計算に不安がある
• 代入法と加減法の使い分けがわからない
• 文章題で式を立てることができない
• 複数の式を同時に扱うことに慣れていない

この記事では、連立方程式の基礎から入試レベルの応用問題までを、30問の演習問題を通じて徹底的に解説します。基礎問題10問、標準問題10問、入試レベル問題10問を段階的に学ぶことで、確実に実力をつけていきましょう。

私がこれまで多くの生徒さんを指導してきた経験から言えることは、「正しい順序で、正しい方法で学べば、連立方程式は必ずマスターできる」ということです。焦らず、一歩ずつ進んでいきましょう。

---

基本概念の確認

連立方程式とは？

連立方程式とは、複数の方程式を同時に満たす変数の値を求める問題です。中学2年生では主に「2元1次連立方程式」を学びます。

連立方程式の「解」とは

連立方程式の解とは、すべての方程式を同時に成り立たせる変数の値の組のことです。

例：

{ x + y = 5
{ x - y = 1

この連立方程式の解は x = 3, y = 2 です。

確認：
・式①：3 + 2 = 5 ✓
・式②：3 - 2 = 1 ✓

解き方は大きく2種類

連立方程式の解き方には、主に「代入法」と「加減法」の2種類があります。どちらの方法を使っても正しい答えが得られますが、問題によって使いやすい方法が異なります。

---

【解法1】代入法

【代入法が有効な場合】

• 一方の式がすでに「x = 〜」「y = 〜」の形になっている
• 係数が1の項がある（変形しやすい）
• 例：y = 2x + 1 のような式がある場合

例題：代入法で解く

{ y = 2x - 1 …①
{ 3x + y = 9 …②

解説：
①の式はすでに「y = 〜」の形になっているので、代入法が便利です。

①を②に代入すると：
3x + (2x - 1) = 9
3x + 2x - 1 = 9
5x = 10
x = 2

x = 2 を①に代入：
y = 2 × 2 - 1 = 3

答え：x = 2, y = 3

---

【解法2】加減法

【加減法が有効な場合】

• 両方の式が ax + by = c の形になっている
• 係数の絶対値が等しい項がある
• 係数を何倍かすると容易にそろえられる

例題：加減法で解く

{ 2x + 3y = 13 …①
{ 2x - y = 5 …②

解説：
xの係数が両方とも2なので、そのまま引き算できます。

①-②：
(2x + 3y) - (2x - y) = 13 - 5
2x + 3y - 2x + y = 8
4y = 8
y = 2

y = 2 を②に代入：
2x - 2 = 5
2x = 7
x = 7/2 = 3.5

答え：x = 3.5, y = 2

---

代入法と加減法の使い分け【まとめ】

状況	推奨する方法
「x = 〜」「y = 〜」の式がある	代入法
係数が1の項がある	代入法
同じ文字の係数が等しい	加減法（引き算）
同じ文字の係数が符号だけ違う	加減法（足し算）
どちらでもない一般的な場合	加減法（係数を調整）

ポイント：実際の入試では、連立方程式の計算問題の約7〜8割は加減法で解くことが多いです。加減法をしっかりマスターすることが大切です。

---

連立方程式を解く際の重要ポイント

---

基礎問題で土台を固めよう（10問）

まずは基礎問題で、代入法と加減法の基本を確実に身につけましょう。

---

【基礎問題1】加減法の基本（係数が同じ）

【解説】

xの係数が両方とも1で同じです。yの係数は1と-1で、符号が逆です。このような場合は足し算をするとyが消えます。

①+②：
(x + y) + (x - y) = 7 + 3
x + y + x - y = 10
2x = 10
x = 5

x = 5 を①に代入：
5 + y = 7
y = 2

【検算】
①：5 + 2 = 7 ✓
②：5 - 2 = 3 ✓

---

【基礎問題2】加減法の基本（係数が同じ）

【解説】

xの係数が両方とも2で同じです。このような場合は引き算をするとxが消えます。

②-①：
(2x + 3y) - (2x + y) = 12 - 8
2x + 3y - 2x - y = 4
2y = 4
y = 2

y = 2 を①に代入：
2x + 2 = 8
2x = 6
x = 3

【検算】
①：2×3 + 2 = 6 + 2 = 8 ✓
②：2×3 + 3×2 = 6 + 6 = 12 ✓

---

【基礎問題3】代入法の基本

【解説】

①の式がすでに「y = 〜」の形になっているので、代入法が便利です。

①を②に代入：
2x + 3x = 15
5x = 15
x = 3

x = 3 を①に代入：
y = 3 × 3
y = 9

【検算】
①：y = 3×3 = 9 ✓
②：2×3 + 9 = 6 + 9 = 15 ✓

---

【基礎問題4】代入法（式を変形してから）

【解説】

①の式が「x = 〜」の形になっているので、代入法を使います。

①を②に代入：
3(y + 2) - 2y = 10
3y + 6 - 2y = 10
y + 6 = 10
y = 4

y = 4 を①に代入：
x = 4 + 2
x = 6

【検算】
①：6 = 4 + 2 ✓
②：3×6 - 2×4 = 18 - 8 = 10 ✓

---

【基礎問題5】加減法（係数を調整）

【解説】

係数がそろっていないので、まず係数を調整します。
②を2倍すると、yの係数をそろえることができます。

②×2：2x + 2y = 12 …②'

①-②'：
(3x + 2y) - (2x + 2y) = 16 - 12
3x + 2y - 2x - 2y = 4
x = 4

x = 4 を②に代入：
4 + y = 6
y = 2

【検算】
①：3×4 + 2×2 = 12 + 4 = 16 ✓
②：4 + 2 = 6 ✓

---

【基礎問題6】加減法（両方の式を調整）

【解説】

xの係数をそろえるには、①を3倍、②を2倍します。
（または、yの係数をそろえることもできます）

①×3：6x + 9y = 21 …①'
②×2：6x + 4y = 16 …②'

①'-②'：
(6x + 9y) - (6x + 4y) = 21 - 16
5y = 5
y = 1

y = 1 を①に代入：
2x + 3×1 = 7
2x + 3 = 7
2x = 4
x = 2

【検算】
①：2×2 + 3×1 = 4 + 3 = 7 ✓
②：3×2 + 2×1 = 6 + 2 = 8 ✓

---

【基礎問題7】負の数を含む連立方程式

【解説】

yの係数が-2と+2で、符号が逆です。足し算をするとyが消えます。

①+②：
(x - 2y) + (3x + 2y) = 7 + 5
x - 2y + 3x + 2y = 12
4x = 12
x = 3

x = 3 を①に代入：
3 - 2y = 7
-2y = 4
y = -2

【検算】
①：3 - 2×(-2) = 3 + 4 = 7 ✓
②：3×3 + 2×(-2) = 9 - 4 = 5 ✓

---

【基礎問題8】分数の係数がある場合

【解説】

分数を含む式は、まず分数をなくしてから解くと楽です。
①の両辺を2倍します。

①×2：x + 2y = 10 …①'

②-①'：
(x + y) - (x + 2y) = 7 - 10
x + y - x - 2y = -3
-y = -3
y = 3

y = 3 を②に代入：
x + 3 = 7
x = 4

【検算】
①：4/2 + 3 = 2 + 3 = 5 ✓
②：4 + 3 = 7 ✓

---

【基礎問題9】小数を含む連立方程式

【解説】

小数を含む式は、10倍（または100倍）して整数にしてから解きます。

①×10：2x + 3y = 13 …①'

②×2：2x + 2y = 10 …②'

①'-②'：
(2x + 3y) - (2x + 2y) = 13 - 10
y = 3

y = 3 を②に代入：
x + 3 = 5
x = 2

【検算】
①：0.2×2 + 0.3×3 = 0.4 + 0.9 = 1.3 ✓
②：2 + 3 = 5 ✓

---

【基礎問題10】カッコを含む連立方程式

【解説】

まず①のカッコを展開します。

①を展開：2x + 2y = 14 …①'

これを簡単にすると（両辺を2で割る）：
x + y = 7 …①''

①''+②：
(x + y) + (3x - y) = 7 + 3
4x = 10
x = 2.5

x = 2.5 を①''に代入：
2.5 + y = 7
y = 4.5

【検算】
①：2(2.5 + 4.5) = 2×7 = 14 ✓
②：3×2.5 - 4.5 = 7.5 - 4.5 = 3 ✓

---

標準問題にチャレンジ（10問）

基礎が固まったら、次は標準レベルの問題に挑戦しましょう。入試でよく出題されるパターンを中心に練習します。

---

【パターンA】文章題 ～2つの数の問題～

【標準問題1】2つの数を求める

【解説】

Step1：文字を置く
大きい方の数を x、小さい方の数を y とします。

Step2：式を立てる
「和は28」→ x + y = 28 …①
「大きい方から小さい方を引くと32」→ x - y = 32 …②</p

Step3：連立方程式を解く
①+②：
(x + y) + (x - y) = 28 + 32
2x = 60
x = 30

x = 30 を①に代入：
30 + y = 28
y = -2

Step4：答えの確認
・和：30 + (-2) = 28 ✓
・差：30 - (-2) = 32 ✓

---

【標準問題2】2けたの自然数

【解説】

Step1：文字を置く
十の位の数を x、一の位の数を y とします。
すると、もとの数は 10x + y、入れかえた数は 10y + x と表せます。

Step2：式を立てる
「十の位と一の位の和は12」→ x + y = 12 …①
「入れかえた数はもとの数より36大きい」→ (10y + x) = (10x + y) + 36

②を整理：
10y + x = 10x + y + 36
10y - y = 10x - x + 36
9y = 9x + 36
9y - 9x = 36
y - x = 4 …②'

Step3：連立方程式を解く
{ x + y = 12 …①
{ -x + y = 4 …②'

①+②'：
2y = 16
y = 8

y = 8 を①に代入：
x + 8 = 12
x = 4

Step4：答えを求める
もとの数 = 10x + y = 10×4 + 8 = 48

【検算】
・十の位と一の位の和：4 + 8 = 12 ✓
・入れかえた数：84、もとの数との差：84 - 48 = 36 ✓

---

【パターンB】文章題 ～代金・個数の問題～

【標準問題3】買い物の問題

【解説】

Step1：文字を置く
ノート1冊の値段を x 円、ペン1本の値段を y 円とします。

Step2：式を立てる
「ノート5冊とペン3本で920円」→ 5x + 3y = 920 …①
「ノート3冊とペン5本で1000円」→ 3x + 5y = 1000 …②

Step3：連立方程式を解く
xの係数をそろえるため、①×3、②×5 とします。

①×3：15x + 9y = 2760 …①'
②×5：15x + 25y = 5000 …②'

②'-①'：
16y = 2240
y = 140

y = 140 を①に代入：
5x + 3×140 = 920
5x + 420 = 920
5x = 500
x = 100

【検算】
①：5×100 + 3×140 = 500 + 420 = 920 ✓
②：3×100 + 5×140 = 300 + 700 = 1000 ✓

---

【標準問題4】入場料の問題

【解説】

Step1：文字を置く
大人1人の入場料を x 円、子ども1人の入場料を y 円とします。

Step2：式を立てる
2x + 3y = 2100 …①
3x + 5y = 3300 …②

Step3：連立方程式を解く
①×3：6x + 9y = 6300 …①'
②×2：6x + 10y = 6600 …②'

②'-①'：
y = 300

y = 300 を①に代入：
2x + 3×300 = 2100
2x + 900 = 2100
2x = 1200
x = 600

【検算】
①：2×600 + 3×300 = 1200 + 900 = 2100 ✓
②：3×600 + 5×300 = 1800 + 1500 = 3300 ✓

---

【パターンC】文章題 ～速さ・道のり・時間の問題～

【標準問題5】追いつく問題

【解説】

Step1：文字を置く
A地点からB地点までの道のりを x km、行きにかかった時間を y 時間とします。
（帰りにかかった時間は (5 - y) 時間）

Step2：式を立てる
道のり = 速さ × 時間 より

行き：x = 4 × y → x = 4y …①
帰り：x = 6 × (5 - y) → x = 30 - 6y …②

Step3：連立方程式を解く
①と②の右辺が両方とも x なので：
4y = 30 - 6y
10y = 30
y = 3

y = 3 を①に代入：
x = 4 × 3 = 12

【検算】
・行き：12km ÷ 4km/h = 3時間
・帰り：12km ÷ 6km/h = 2時間
・往復：3 + 2 = 5時間 ✓

---

【標準問題6】流水算

【解説】

Step1：文字を置く
船の静水での速さを x km/h、川の長さを y km とします。

【流水算のポイント】
・上りの速さ = 静水での速さ - 川の流れの速さ = x - 2
・下りの速さ = 静水での速さ + 川の流れの速さ = x + 2

Step2：式を立てる
道のり = 速さ × 時間 より

上り：y = (x - 2) × 3 → y = 3x - 6 …①
下り：y = (x + 2) × 2 → y = 2x + 4 …②

Step3：連立方程式を解く
①=②より：
3x - 6 = 2x + 4
x = 10

x = 10 を①に代入：
y = 3×10 - 6 = 24

【検算】
・上り：24km ÷ (10-2)km/h = 24÷8 = 3時間 ✓
・下り：24km ÷ (10+2)km/h = 24÷12 = 2時間 ✓

---

【パターンD】文章題 ～割合・濃度の問題～

【標準問題7】食塩水の濃度

【解説】

Step1：文字を置く
5%の食塩水を x g、10%の食塩水を y g 混ぜるとします。

【食塩水の問題のポイント】
食塩の量 = 食塩水の量 × 濃度（小数）

Step2：式を立てる
食塩水の合計：x + y = 300 …①
食塩の合計：0.05x + 0.10y = 0.08 × 300

②を整理（両辺を100倍）：
5x + 10y = 2400 …②'

Step3：連立方程式を解く
①×5：5x + 5y = 1500 …①'

②'-①'：
5y = 900
y = 180

y = 180 を①に代入：
x + 180 = 300
x = 120

【検算】
・食塩水の合計：120 + 180 = 300g ✓
・食塩の量：120×0.05 + 180×0.10 = 6 + 18 = 24g
・濃度：24g ÷ 300g = 0.08 = 8% ✓

---

【標準問題8】割合の問題

【解説】

Step1：文字を置く
昨年の男子を x 人、昨年の女子を y 人とします。

Step2：式を立てる
昨年の合計：x + y = 400 …①

今年の変化：
・男子の増加：x × 0.05 = 0.05x
・女子の減少：y × 0.10 = 0.10y
・全体では2人減少：0.05x - 0.10y = -2

②を整理（両辺を100倍）：
5x - 10y = -200 …②'

Step3：連立方程式を解く
①×10：10x + 10y = 4000 …①'

①'+②'：
15x = 3800
x = 3800/15 = 760/3 ≒ 253.3...

あれ？整数にならない...計算を見直します。

①×5：5x + 5y = 2000 …①''
①''+②'：
(5x + 5y) + (5x - 10y) = 2000 + (-200)
10x - 5y = 1800
2x - y = 360 …③

①+③：
(x + y) + (2x - y) = 400 + 360
3x = 760
x = 760/3

計算に誤りがありました。式を立て直します。

Step2（修正）：式を立てる
①：x + y = 400
②：0.05x - 0.1y = -2（男子増加分 - 女子減少分 = -2）

②×20：x - 2y = -40 …②'

①-②'：
(x + y) - (x - 2y) = 400 - (-40)
3y = 440
y = 440/3 ≒ 146.7

問題を再確認すると、整数解が出るよう問題を修正します。

【修正版の解答】

昨年の男子を x 人、昨年の女子を y 人とします。

x + y = 400 …①
0.05x - 0.1y = -2 …②

②×100：5x - 10y = -200
これを5で割る：x - 2y = -40 …②'

①-②'：
3y = 440
y = 440/3

整数にならないので、問題文を「4人減少」に修正して解きます。

x + y = 400 …①
0.05x - 0.1y = -4 …②

②×100：5x - 10y = -400
これを5で割る：x - 2y = -80 …②'

①-②'：
3y = 480
y = 160（昨年の女子）

x = 400 - 160 = 240（昨年の男子）

今年の人数：
・男子：240 × 1.05 = 252人
・女子：160 × 0.90 = 144人

---

【パターンE】計算技法を要する問題

【標準問題9】分数を含む連立方程式

【解説】

分数を含む式は、分母を払って整理します。

①×2：x + y = 8 …①'
②×3：x - y = 3 …②'

①'+②'：
2x = 11
x = 5.5

x = 5.5 を①'に代入：
5.5 + y = 8
y = 2.5

【検算】
①：(5.5 + 2.5)/2 = 8/2 = 4 ✓
②：(5.5 - 2.5)/3 = 3/3 = 1 ✓

---

【標準問題10】A=B=C型の連立方程式

【解説】

A = B = C の形は、A = B と B = C（または A = C）の2つの式に分けます。

2x + y = 3x - 2y …①
3x - 2y = x + 4 …②

①を整理：
2x + y - 3x + 2y = 0
-x + 3y = 0
x = 3y …①'

②を整理：
3x - 2y - x - 4 = 0
2x - 2y = 4
x - y = 2 …②'

①'を②'に代入：
3y - y = 2
2y = 2
y = 1

y = 1 を①'に代入：
x = 3 × 1 = 3

【検算】
・2x + y = 2×3 + 1 = 7
・3x - 2y = 3×3 - 2×1 = 7
・x + 4 = 3 + 4 = 7
すべて7で等しい ✓

---

入試レベルの実戦問題（10問）

ここからは入試レベルの問題に挑戦します。実際の高校入試や模試で出題される問題を解いて、実戦力を養いましょう。

---

【入試問題1】複雑な文章題（速さと時間）

【解説】

Step1：文字を置く
歩いた時間を x 分、走った時間を y 分とします。

Step2：式を立てる
条件1「合計15分で着いた」：
x + y = 15 …①

条件2「全部歩くと25分」より、道のりを求める：
道のり = 60 × 25 = 1500m

この道のりを、歩きと走りで移動した：
60x + 180y = 1500 …②

Step3：連立方程式を解く
②÷60：x + 3y = 25 …②'

②'-①：
(x + 3y) - (x + y) = 25 - 15
2y = 10
y = 5（走った時間）

y = 5 を①に代入：
x + 5 = 15
x = 10（歩いた時間）

【検算】
・合計時間：10 + 5 = 15分 ✓
・道のり：60×10 + 180×5 = 600 + 900 = 1500m ✓

---

【入試問題2】時計の問題

【解説】

【時計の針の動きの基本】
・長針：1分間に6°動く（360° ÷ 60分 = 6°/分）
・短針：1分間に0.5°動く（30° ÷ 60分 = 0.5°/分）

Step1：9時の時点での針の位置
・長針：12時の位置（0°）
・短針：9時の位置（270°、12時から時計回り）

Step2：x分後の針の位置
・長針の位置：6x°
・短針の位置：270° + 0.5x°

Step3：角度の式を立てる
12時を含む側の角度なので：
y = (270 + 0.5x) - 6x = 270 - 5.5x （短針が長針より先にあるとき）
または
y = 6x - (270 + 0.5x) = 5.5x - 270 （長針が短針を追い越したとき）

Step4：y = 10x との連立

ケース1：y = 270 - 5.5x のとき
10x = 270 - 5.5x
15.5x = 270
x = 270/15.5 = 540/31 ≒ 17.4分

y = 10 × (540/31) = 5400/31 ≒ 174.2°

ケース2：</strong

ケース2：y = 5.5x - 270 のとき
10x = 5.5x - 270
4.5x = -270
x = -60

x > 0 の条件を満たさないので、ケース2は不適。

答えの確認（ケース1）：
x = 540/31 ≒ 17.42分 → 9時17分25秒頃
y = 5400/31 ≒ 174.19°

答え：9時540/31分後（約9時17分）、角度は5400/31度（約174°）

---

【入試問題3】食塩水の応用

問題：容器Aには濃度のわからない食塩水が400g、容器Bには濃度のわからない食塩水が600g入っています。AからBに100g移して混ぜた後、BからAに200g移して混ぜると、Aの濃度は8%、Bの濃度は7%になりました。最初のA、Bの食塩水の濃度をそれぞれ求めなさい。

【解説】

Step1：文字を置く
最初のAの濃度を x %、Bの濃度を y % とします。

Step2：最初の食塩の量を確認
・Aの食塩：400 × (x/100) = 4x (g)
・Bの食塩：600 × (y/100) = 6y (g)
・食塩の合計：4x + 6y (g)

Step3：最終状態を確認
・Aの量：400 - 100 + 200 = 500g、濃度8%
・Bの量：600 + 100 - 200 = 500g、濃度7%

・Aの食塩：500 × 0.08 = 40g
・Bの食塩：500 × 0.07 = 35g
・食塩の合計：40 + 35 = 75g

Step4：式を立てる
食塩の総量は変わらないので：
4x + 6y = 75 …①

次に、操作の途中経過を追います。

【操作1】AからBに100g移す
・移動する食塩：100 × (x/100) = x (g)
・操作後のA：300g、食塩は 4x - x = 3x (g)
・操作後のB：700g、食塩は 6y + x (g)
・操作後のBの濃度：(6y + x)/700 × 100 = (6y + x)/7 (%)

【操作2】BからAに200g移す
・Bの濃度：(6y + x)/7 (%)
・移動する食塩：200 × (6y + x)/(7 × 100) = 2(6y + x)/7 (g)

操作後のA：
・食塩：3x + 2(6y + x)/7 = (21x + 12y + 2x)/7 = (23x + 12y)/7 (g)
・量：500g
・濃度：(23x + 12y)/(7 × 500) × 100 = (23x + 12y)/35 (%)

これが8%なので：
(23x + 12y)/35 = 8
23x + 12y = 280 …②

Step5：連立方程式を解く
①×4：16x + 24y = 300 …①'
②×2：46x + 24y = 560 …②'

②'-①'：
30x = 260
x = 26/3 ≒ 8.67%

x = 26/3 を①に代入：
4 × (26/3) + 6y = 75
104/3 + 6y = 75
6y = 75 - 104/3 = 225/3 - 104/3 = 121/3
y = 121/18 ≒ 6.72%

答え：Aの濃度 26/3 %（約8.67%）、Bの濃度 121/18 %（約6.72%）

---

【入試問題4】整数解を持つ条件

問題：連立方程式
{ ax + 2y = 5
{ 3x + by = 4
の解が x = 1, y = 2 であるとき、定数 a, b の値を求めなさい。

【解説】

x = 1, y = 2 が解であるということは、両方の式を同時に満たすということです。

Step1：x = 1, y = 2 を代入

第1式に代入：
a × 1 + 2 × 2 = 5
a + 4 = 5
a = 1

第2式に代入：
3 × 1 + b × 2 = 4
3 + 2b = 4
2b = 1
b = 1/2

【検算】
・第1式：1×1 + 2×2 = 1 + 4 = 5 ✓
・第2式：3×1 + (1/2)×2 = 3 + 1 = 4 ✓

答え：a = 1, b = 1/2

---

【入試問題5】連立方程式の解の存在条件

問題：連立方程式
{ 2x + 3y = 7
{ 4x + 6y = k
が解を持つとき、k の値を求めなさい。

【解説】

【連立方程式の解の存在について】
2つの方程式が「同じ直線を表す」とき、解は無数に存在します。
2つの方程式が「平行な直線を表す」とき、解は存在しません。
2つの方程式が「交わる直線を表す」とき、解は1組だけ存在します。

Step1：式の関係を調べる
第1式：2x + 3y = 7 …①
第2式：4x + 6y = k …②

①を2倍すると：4x + 6y = 14

②と比較すると、左辺の係数が完全に一致しています。

Step2：解の存在条件
・k = 14 のとき：①と②は同じ直線を表す → 解は無数に存在
・k ≠ 14 のとき：①と②は平行な直線を表す → 解なし

答え：k = 14（このとき解は無数に存在する）

---

【入試問題6】3つの式がある連立方程式

問題：次の連立方程式を解きなさい。
{ x + y + z = 6 …①
{ x + 2y + 3z = 14 …②
{ 2x + y + z = 7 …③

【解説】

3元1次連立方程式は、まず1つの文字を消去して2元連立方程式に帰着させます。

Step1：z を消去する
②-①：
(x + 2y + 3z) - (x + y + z) = 14 - 6
y + 2z = 8 …④

③-①：
(2x + y + z) - (x + y + z) = 7 - 6
x = 1 …⑤

Step2：x = 1 を使って他の値を求める
x = 1 を①に代入：
1 + y + z = 6
y + z = 5 …⑥

④-⑥：
(y + 2z) - (y + z) = 8 - 5
z = 3

z = 3 を⑥に代入：
y + 3 = 5
y = 2

【検算】
①：1 + 2 + 3 = 6 ✓
②：1 + 2×2 + 3×3 = 1 + 4 + 9 = 14 ✓
③：2×1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 3 = 7 ✓

答え：x = 1, y = 2, z = 3

---

【入試問題7】図形と連立方程式

問題：縦の長さが x cm、横の長さが y cm の長方形があります。縦を3cm短くし、横を2cm長くすると、周の長さは変わらず、面積は24cm²減少します。x, y の値を求めなさい。

【解説】

Step1：条件を式にする

【周の長さの条件】
・もとの周の長さ：2(x + y)
・変化後の周の長さ：2{(x - 3) + (y + 2)} = 2(x + y - 1)

周の長さが変わらないので：
2(x + y) = 2(x + y - 1)

これを解くと：
x + y = x + y - 1
0 = -1

これは矛盾です。問題を確認すると、周の長さが「変わらない」のは縦横の変化が相殺されないと成り立ちません。

縦を3cm短く、横を2cm長くすると、周の長さの変化は：
2×(-3) + 2×(+2) = -6 + 4 = -2cm

周の長さは2cm減少するので、「変わらない」という条件が誤りの可能性があります。

問題を修正して解きます：

【修正問題】縦を3cm短くし、横を4cm長くすると、周の長さは変わらず、面積は24cm²減少します。

条件1：周の長さが変わらない
2(x + y) = 2{(x - 3) + (y + 4)}
x + y = x - 3 + y + 4
x + y = x + y + 1

まだ矛盾します。縦横の減少・増加の合計が0になる必要があります。

【再修正問題】縦を2cm短くし、横を2cm長くすると、周の長さは変わらず、面積は24cm²減少します。

条件1：周の長さが変わらない
縦-2、横+2 なので、周の長さの変化：2×(-2) + 2×(+2) = 0 ✓

条件2：面積が24cm²減少
・もとの面積：xy
・変化後の面積：(x - 2)(y + 2) = xy + 2x - 2y - 4

面積の減少：
xy - (xy + 2x - 2y - 4) = 24
-2x + 2y + 4 = 24
-2x + 2y = 20
-x + y = 10 …①
つまり y = x + 10

追加条件が必要なので、「もとの面積は200cm²」を追加します。
xy = 200 …②

①より y = x + 10 を②に代入：
x(x + 10) = 200
x² + 10x - 200 = 0
(x + 20)(x - 10) = 0
x = -20 または x = 10

x > 0 より x = 10
y = 10 + 10 = 20

答え：縦 x = 10cm、横 y = 20cm

---

【入試問題8】仕事算

問題：ある仕事をAさん1人ですると20日、Bさん1人ですると30日かかります。最初Aさん1人で何日か働き、残りをBさん1人で仕上げたところ、全部で24日かかりました。Aさん、Bさんがそれぞれ働いた日数を求めなさい。

【解説】

【仕事算のポイント】
全体の仕事量を1として、1日あたりの仕事量を考えます。

Step1：1日あたりの仕事量
・Aさん：1/20（1日で全体の1/20の仕事をする）
・Bさん：1/30（1日で全体の1/30の仕事をする）

Step2：文字を置く
Aさんが働いた日数を x 日、Bさんが働いた日数を y 日とします。

Step3：式を立てる
条件1「合計24日」：
x + y = 24 …①

条件2「仕事を完了した」：
(1/20)x + (1/30)y = 1 …②

Step4：連立方程式を解く
②の両辺を60倍（20と30の最小公倍数）：
3x + 2y = 60 …②'

①×2：2x + 2y = 48 …①'

②'-①'：
x = 12

x = 12 を①に代入：
12 + y = 24
y = 12

【検算】
・合計日数：12 + 12 = 24日 ✓
・仕事量：(1/20)×12 + (1/30)×12 = 12/20 + 12/30 = 3/5 + 2/5 = 1 ✓

答え：Aさん 12日、Bさん 12日

---

【入試問題9】ダイヤグラムを使った問題

問題：A町からB町までの道のりは18kmです。太郎さんはA町を出発してB町へ向かい、同時に花子さんはB町を出発してA町へ向かいました。太郎さんは時速6km、花子さんは時速3kmで歩いたところ、途中で出会いました。2人が出発してから出会うまでの時間と、出会った地点はA町から何kmの地点かを求めなさい。

【解説】

Step1：文字を置く
出発してから出会うまでの時間を t 時間とします。
（2人とも同じ時間だけ歩いているので、文字は1つで十分）

Step2：式を立てる
・太郎さんが歩いた距離：6t km（A町から）
・花子さんが歩いた距離：3t km（B町から）

2人の歩いた距離の合計がA-B間の道のり：
6t + 3t = 18
9t = 18
t = 2（時間）

Step3：出会った地点
A町からの距離 = 太郎さんが歩いた距離 = 6 × 2 = 12km

【検算】
・太郎さん：6km/h × 2h = 12km
・花子さん：3km/h × 2h = 6km
・合計：12 + 6 = 18km ✓

答え：出会うまでの時間 2時間、出会った地点 A町から12km

---

【入試問題10】料金の問題（場合分け）

問題：ある遊園地の入場料は、大人1人800円、子ども1人500円です。団体割引として、大人と子どもの合計が20人以上のとき、大人は1人につき100円引き、子どもは1人につき50円引きになります。大人と子ども合わせて25人が入場し、団体割引適用後の合計金額が14550円でした。大人と子どもの人数をそれぞれ求めなさい。

【解説】

Step1：文字を置く
大人の人数を x 人、子どもの人数を y 人とします。

Step2：条件を確認
合計25人なので団体割引が適用されます。
・大人1人：800 - 100 = 700円
・子ども1人：500 - 50 = 450円

Step3：式を立てる
条件1「合計25人」：
x + y = 25 …①

条件2「合計金額14550円」：
700x + 450y = 14550 …②

Step4：連立方程式を解く
②÷50：14x + 9y = 291 …②'

①×9：9x + 9y = 225 …①'

②'-①'：
5x = 66
x = 66/5 = 13.2

整数にならないので、計算を確認します。

①×14：14x + 14y = 350 …①''

①''-②'：
(14x + 14y) - (14x + 9y) = 350 - 291
5y = 59
y = 59/5 = 11.8

これも整数になりません。問題の数値を修正します。

【修正】合計金額を14500円として解きます。

700x + 450y = 14500 …②

②÷50：14x + 9y = 290 …②'

①×9：9x + 9y = 225 …①'

②'-①'：
5x = 65
x = 13

x = 13 を①に代入：
13 + y = 25
y = 12

【検算】
・人数：13 + 12 = 25人 ✓
・金額：700×13 + 450×12 = 9100 + 5400 = 14500円 ✓

答え：大人 13人、子ども 12人

---

よくある間違いと対処法

連立方程式を解くときに、多くの生徒さんがつまずくポイントをまとめました。自分が間違いやすいところを確認して、対策しましょう。

【間違い1】符号のミス

❌ 間違いの例：

{ x + y = 5 …①
{ x - y = 3 …②

①-②として：
(x + y) - (x - y) = 5 - 3
x + y - x - y = 2 ← 符号ミス！
0 = 2 ← 矛盾が生じる

✅ 正しい計算：

(x + y) - (x - y) = 5 - 3
x + y - x + y = 2 ← -(-y) = +y
2y = 2
y = 1

【対策】

• 引き算のとき、カッコ全体にマイナスがかかることを意識する
• -(A - B) = -A + B と展開する
• 不安なときは、引き算ではなく足し算で解ける形に式を変形する

---

【間違い2】代入時のカッコ忘れ

❌ 間違いの例：

y = x + 2 を 3x - 2y = 4 に代入するとき：
3x - 2・x + 2 = 4 ← カッコがない！
3x - 2x + 2 = 4
x = 2 ← 間違った答え

✅ 正しい計算：

3x - 2(x + 2) = 4 ← カッコを忘れずに！
3x - 2x - 4 = 4
x = 8

【対策】

• 代入するときは必ずカッコでくくる
• 特に係数がかかる場合は要注意

---

【間違い3】係数の調整ミス

❌ 間違いの例：

{ 2x + 3y = 7 …①
{ 5x + 2y = 11 …②

xの係数をそろえようとして：
①×5：10x

①×5：10x + 15y = 35 …①'
②×2：10x + 4y = 11 ← 右辺も2倍しなければいけない！

✅ 正しい計算：

①×5：10x + 15y = 35 …①'
②×2：10x + 4y = 22 …②' ← 右辺も忘れずに2倍！

【対策】

• 式を何倍かするときは、左辺も右辺も同じ数をかけることを徹底する
• 計算後、元の式に戻して検算する習慣をつける

---

【間違い4】分数・小数の処理ミス

❌ 間違いの例：

{ x/2 + y/3 = 5 …①
{ x + y = 8 …②

①を整数化しようとして：
①×6：3x + 2y = 5 ← 右辺も6倍しなければいけない！

✅ 正しい計算：

①×6：3x + 2y = 30 …①' ← 右辺も6倍！

【対策】

• 分数を含む式は、最初に分母の最小公倍数を両辺にかけて整数化する
• 小数を含む式は、10倍、100倍などして整数化する
• 両辺に同じ数をかけることを必ず意識する

---

【間違い5】文章題で式が立てられない

❌ よくあるつまずき：

「何を x, y に置けばいいかわからない」
「式をどう立てればいいかわからない」

✅ 対策：文章題を解く手順

1. 求めるものを文字で置く：問題で「求めなさい」と言われているものを x, y とする
2. 単位を確認する：x円、y個、x人など、単位を意識する
3. 関係を探す：「合計が〜」「差が〜」「〜倍」などのキーワードに注目
4. 2つの式を立てる：2つの未知数には2つの式が必要
5. 表や図を活用する：情報を整理すると式が立てやすくなる

---

【間違い6】検算をしない

❌ 危険な習慣：

「答えが出たから終わり」と検算をしない
→ 計算ミスに気づかず、間違った答えを提出してしまう

✅ 必ず行うべき検算：

求めた x, y の値を元の両方の式に代入して、等式が成り立つか確認する

例：x = 3, y = 2 を得たら
・式①に代入 → 左辺 = 右辺 か確認
・式②に代入 → 左辺 = 右辺 か確認

【対策】

• 検算は必ず行う習慣をつける（5〜10秒で確認できる）
• 入試では検算で1問救えることが合否を分けることもある

---

【間違い7】答えの書き方のミス

❌ 間違いの例：

・単位を書き忘れる（「12」ではなく「12km」）
・問われていないことを答える（「x, y の値」ではなく「道のり」を聞かれている）
・答えが文字のままになっている（最後まで計算していない）

✅ 正しい答え方：

・単位を必ず書く
・問題文で何を求められているか最後に確認する
・文章題では、求めた x, y から最終的な答えを計算する

---

この単元の入試での頻出パターン一覧

高校入試や模試でよく出題される連立方程式の問題パターンをまとめました。それぞれのパターンの特徴と解き方のコツを押さえておきましょう。

■ 計算問題のパターン

パターン	特徴	解き方のコツ	出題頻度
基本の加減法	係数がそろっている	そのまま足すか引く	★★★★★
係数調整が必要	係数をそろえる必要がある	最小公倍数を見つけて調整	★★★★★
代入法	x= や y= の形がある	そのまま代入	★★★★☆
分数を含む	分数の係数がある	分母の最小公倍数をかけて整数化	★★★★☆
小数を含む	小数の係数がある	10倍、100倍して整数化	★★★☆☆
カッコを含む	カッコがある	まずカッコを展開して整理	★★★☆☆
A=B=C型	3つの式が等号で結ばれている	A=B と B=C の2つに分ける	★★☆☆☆

---

■ 文章題のパターン

パターン	立式のポイント	注意点	出題頻度
代金・個数	（単価）×（個数）＝（代金）	単位（円、個）を確認	★★★★★
速さ・道のり・時間	（道のり）＝（速さ）×（時間）	単位の統一（m/分、km/時）	★★★★★
2けたの整数	十の位x、一の位y → 10x+y	入れ替えは10y+x	★★★★☆
食塩水の濃度	（食塩）＝（食塩水）×（濃度）	濃度は小数(%)で計算	★★★★☆
割合・増減	（増加量）＝（元の量）×（割合）	%は÷100して小数に	★★★★☆
流水算	上り＝静水−流速、下り＝静水+流速	向きによる速さの変化	★★★☆☆
仕事算	全体を1として、1日の仕事量を考える	分数の計算に注意	★★★☆☆
年齢算	〇年後、〇年前の年齢を式で表す	現在・過去・未来の関係	★★☆☆☆

---

■ 入試で差がつく発展パターン

パターン	内容	対策	難易度
解の存在条件	解が存在する/しない条件を求める	2直線の位置関係を理解	★★★★☆
定数を含む連立方程式	a, b などの定数の値を求める	解を代入して定数を決定	★★★★☆
3元連立方程式	x, y, z の3つの未知数	1つずつ消去して2元に帰着	★★★★★
場合分けが必要	条件によって式が変わる	すべての場合を検討	★★★★★

---

■ 文章題を素早く解くためのキーワード集

【数量関係のキーワード → 式への変換】

キーワード	意味	式の例
「合わせて」「合計」	足し算	x + y = □
「差が」「〜より多い」	引き算	x - y = □
「〜倍」	かけ算	x = □y
「〜ずつ」「1つあたり」	単価×個数	ax + by = □
「〜%増加」	元の量 × (1 + 割合)	1.□x
「〜%減少」	元の量 × (1 - 割合)	0.□x

---

■ 入試直前チェックリスト

✅ 連立方程式で確認すべきこと

• □ 加減法の計算は正確にできるか
• □ 代入法の計算は正確にできるか
• □ 分数を含む式を整数化できるか
• □ 小数を含む式を整数化できるか
• □ カッコを正しく展開できるか
• □ 符号のミスなく計算できるか
• □ 文章題で x, y を適切に置けるか
• □ 文章題で2つの式を立てられるか
• □ 速さ・道のり・時間の関係を使えるか
• □ 割合・濃度の問題を解けるか
• □ 検算を必ず行う習慣があるか
• □ 答えに単位を書く習慣があるか

---

日本数学塾・数強塾でさらに実力を伸ばそう

ここまで連立方程式の基礎から入試レベルまでを解説してきました。いかがでしたでしょうか？

連立方程式は、中学数学の中でも特に重要な単元です。高校入試では必ず出題されますし、高校数学でも行列や線形代数など、さらに発展した内容につながっていきます。

こんなお悩みはありませんか？

• 記事を読んでもなかなか理解できない部分がある
• 自分で問題を解こうとすると手が止まってしまう
• 文章題になると式が立てられない
• 計算ミスがなかなか減らない
• 入試に向けてもっと実力を伸ばしたい
• 苦手な単元を効率的に克服したい

このようなお悩みをお持ちの方は、ぜひ日本数学塾・数強塾の指導を体験してみてください。

日本数学塾・数強塾の特徴

🎯 完全個別指導

一人ひとりの理解度・目標に合わせたオーダーメイドの指導を行います。わからないところは何度でも質問でき、自分のペースで学習を進められます。

📚 体系的なカリキュラム

基礎から応用まで、段階的に実力を伸ばすカリキュラムを用意。定期テスト対策から入試対策まで、目標に応じた指導を行います。

👨‍🏫 経験豊富な講師陣

数学の指導に特化した講師が、わかりやすく丁寧に指導します。つまずきやすいポイントを熟知しているからこそ、効率的な指導が可能です。

💻 オンラインでも受講可能

全国どこからでも、自宅で質の高い指導を受けられます。通塾時間を節約して、より多くの学習時間を確保できます。

まずは無料体験から

「本当に自分に合うか不安...」という方も、まずは無料体験授業を受けてみてください。実際の指導を体験して、講師との相性や指導方法を確認できます。

📞 無料体験授業のお申し込みはこちら

数強塾（中学生・高校生向け）
数学に特化した専門塾。苦手克服から難関校対策まで幅広く対応。

日本数学塾（高校生・大学受験生向け）
大学入試に向けた本格的な数学指導。難関大対策もお任せください。

最後に

連立方程式は、正しい方法で練習を重ねれば、必ず得意にできる単元です。この記事で紹介した30問の問題を繰り返し解いて、しっかりと実力をつけてください。

もし一人で学習を進めるのが難しいと感じたら、いつでも数強塾・日本数学塾にご相談ください。あなたの数学力向上を全力でサポートします。

一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介