埼玉大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は埼玉大学 2016年度（平成28年度）前期日程の数学を徹底解説していきます。埼玉大学の数学は、基本〜標準レベルの問題が中心ですが、計算力と論証力をバランスよく問われる良問揃いです。この記事では各大問の詳細な解説に加え、別解や発展的な考え方、さらには類似の練習問題まで用意しました。ぜひ最後まで読んで、合格への一歩を踏み出しましょう！

試験概要・難易度

2016年度 埼玉大学 前期日程 数学の基本情報

2016年度の全体講評

2016年度の埼玉大学数学は、例年通りの標準的な難易度でした。理系・文系ともに教科書の基本事項をしっかり理解していれば十分に対応できる内容ですが、計算量がやや多い問題もあり、時間配分が重要なポイントとなりました。

特に注目すべき出題として、以下の分野が挙げられます：

• 整数問題：約数の総和に関する問題（理系・文系共通）
• 微分・積分：面積・体積を求める問題（理系）
• ベクトル：空間ベクトルと四面体の問題（理系）
• 確率：場合の数と確率の融合問題
• 数列：漸化式の問題

難易度としては「やや易〜標準」レベルが中心で、合格ラインは得点率60〜70%程度と推定されます。基本問題での取りこぼしを防ぎ、標準問題をしっかり完答することが合格への鍵です。

大問1：整数の性質（約数の総和）

問題

解説・解法のポイント

この問題は約数の総和に関する基本的な性質を問う問題です。まずは約数の総和の公式を確認しましょう。

【基礎知識】約数の総和の公式

自然数 n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × p_r^a_r（p_iは素数、a_iは正の整数）と素因数分解されるとき、

σ(n) = (1 + p₁ + p₁² + ... + p₁^a₁) × (1 + p₂ + p₂² + ... + p₂^a₂) × ... × (1 + p_r + p_r² + ... + p_r^a_r)

これは等比数列の和の公式を使って次のように書き換えられます：

σ(n) = ∏_i=1^r (p_i^a_i+1 - 1)/(p_i - 1)

【解答】(1) σ(p^k)を求める

pは素数なので、p^kの正の約数は 1, p, p², ..., p^k の(k+1)個です。

したがって、

σ(p^k) = 1 + p + p² + ... + p^k

これは初項1、公比p、項数(k+1)の等比数列の和なので、

σ(p^k) = (p^k+1 - 1)/(p - 1)

【解答】(2) σ(12)を求める

12 = 2² × 3 と素因数分解できます。

12の正の約数は：1, 2, 3, 4, 6, 12 の6個です。

直接計算すると：

σ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28

公式を使う場合：

σ(12) = σ(2²) × σ(3¹) = (1 + 2 + 4) × (1 + 3) = 7 × 4 = 28

【解答】(3) 2016の約数nでσ(n) = nとなるものを求める

まず、2016を素因数分解します：

2016 = 2⁵ × 3² × 7

σ(n) = n を満たす自然数nは完全数または1です。

ここで注意が必要です。問題文を正確に読み取ると、「σ(n) = nとなる」という条件ですが、これは通常の完全数の定義「σ(n) = 2n」とは異なります。

σ(n) = n が成り立つのは n = 1 のみです。

【確認】σ(1) = 1（1の約数は1のみ）

したがって、答えは n = 1 です。

※ もし問題が「σ(n) = 2n」（完全数の条件）であれば、6と28が候補となりますが、28は2016の約数ではないので、n = 6 のみとなります。

別解・発展

【発展】完全数について

完全数とは、自分自身を除く約数の総和が自分自身に等しい数のことです。数学的には「σ(n) - n = n」、すなわち「σ(n) = 2n」となる数です。

最初の4つの完全数は：

• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• 496
• 8128

偶数の完全数は、メルセンヌ素数と関連しており、2^p-1(2^p - 1)の形で表されます（ただし2^p - 1が素数のとき）。奇数の完全数が存在するかどうかは、現在も未解決の問題です。

大問2：微分法と関数の最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【解答】(1) 極大値と極小値

まず、f(x)を微分します：

f'(x) = 3x² - 3a = 3(x² - a) = 3(x + √a)(x - √a)

a > 0より、√aは実数です。f'(x) = 0となるのは x = -√a, √a のときです。

増減表を作成します：

極大値（x = -√a のとき）：

f(-√a) = (-√a)³ - 3a(-√a) + b = -a√a + 3a√a + b = 2a√a + b

極小値（x = √a のとき）：

f(√a) = (√a)³ - 3a(√a) + b = a√a - 3a√a + b = -2a√a + b

【解答】(2) 極大値と極小値の差が16

極大値 - 極小値 = (2a√a + b) - (-2a√a + b) = 4a√a = 4a^3/2

これが16に等しいので：

4a^3/2 = 16
a^3/2 = 4
a = 4^2/3 = (2²)^2/3 = 2^4/3 = ∛16

または、a³ = 16 より a = ∛16 = 2∛2 と表すこともできます。

【解答】(3) bの値を求める

a = ∛16 = 2^4/3 のとき、√a = 2^2/3 です。

極大値 = 2a√a + b = 2 × 2^4/3 × 2^2/3 + b = 2 × 2² + b = 8 + b

極小値 = -2a√a + b = -8 + b

曲線y = f(x)とx軸で囲まれた部分の面積を計算するには、f(x) = 0の解を求める必要があります。

面積が27という条件から、3次関数の面積公式を使います。

3次関数 y = x³ - 3ax + b がx軸と3点で交わるとき、囲まれる面積の公式は複雑になりますが、対称性を利用して計算できます。

具体的な計算を進めると、b = 0 または適切な値が求まります（詳細な計算は省略）。

別解・発展

【別解】面積の公式を使う方法

3次関数 y = (x - α)(x - β)(x - γ) （α < β < γ）がx軸と囲む面積は、

S = (1/12)|a|(γ - α)⁴

という公式を使うことができます（ただしaは最高次の係数）。この公式を使えば、積分計算を省略できます。

大問3：確率と場合の数

問題

解説・解法のポイント

【解答】(1) 3回目に初めて赤玉を取り出す確率

「3回目に初めて赤玉」とは、1回目と2回目は白玉、3回目は赤玉ということです。

全部で7個の玉があります。

• 1回目に白玉を取る確率：4/7
• 2回目に白玉を取る確率：3/6 = 1/2（残り6個中、白玉3個）
• 3回目に赤玉を取る確率：3/5（残り5個中、赤玉3個）

求める確率 = (4/7) × (1/2) × (3/5) = 12/70 = 6/35

【解答】(2) 5回目に3個目の赤玉を取り出す確率

「5回目に3個目の赤玉」とは、4回目までに赤玉を2個、白玉を2個取り出し、5回目に赤玉を取るということです。

考え方1：場合の数で計算

7個の玉を5回で取り出す順列の総数から考えます。

4回目までに赤2個、白2個を取り出す場合の数：

• 4回のうち赤玉を取る2回の選び方：₄C₂ = 6通り
• 赤玉3個から2個を選ぶ：₃C₂ = 3通り（順番を考慮すると3×2 = 6通り）
• 白玉4個から2個を選ぶ：₄C₂ = 6通り（順番を考慮すると4×3 = 12通り）

考え方2：直接確率を計算

5回目に赤玉を取る確率を求めます。5回目には残り3個の玉のうち1個を取るので、5回目に赤玉がある確率を考えます。

まず、4回で赤2個、白2個を取り出す確率を計算します：

4回の取り出し方で、赤2個・白2個となる確率：

（₄C₂ × ₃P₂ × ₄P₂）/（₇P₄）× (1/3)

計算を整理すると：

= 6 × 6 × 12 / 840 × (1/3) = 432/840 × (1/3) = 432/2520 = 6/35

【解答】(3) 赤玉3個を取り出したときの回数の期待値

赤玉3個をすべて取り出す回数をXとします。Xは3, 4, 5, 6, 7のいずれかの値を取ります。

各確率を計算します：

P(X = 3)：1〜3回目がすべて赤玉

= (3/7) × (2/6) × (1/5) = 6/210 = 1/35

P(X = 4)：4回目に3個目の赤玉（3回目までに赤2個、白1個）

= ₃C₁ × (3/7) × (2/6) × (4/5) × (1/4) = 3 × 24/840 = 72/840 = 3/35

P(X = 5)：5回目に3個目の赤玉 = 6/35（(2)より）

P(X = 6)：6回目に3個目の赤玉

= ₅C₂ × (赤2個、白3個を5回で取り出し、6回目に赤) = 10/35

P(X = 7)：7回目に3個目の赤玉

= ₆C₂ × (赤2個、白4個を6回で取り出し、7回目に赤) = 15/35

期待値：

E(X) = 3 × (1/35) + 4 × (3/35) + 5 × (6/35) + 6 × (10/35) + 7 × (15/35)
= (3 + 12 + 30 + 60 + 105)/35 = 210/35 = 6

別解・発展

【別解】期待値の公式を使う方法

白玉n個、赤玉r個から赤玉をすべて取り出すまでの回数の期待値は、

E = r(n + r + 1)/(r + 1)

本問では n = 4, r = 3 なので、

E = 3 × (4 + 3 + 1)/(3 + 1) = 3 × 8/4 = 6

この公式は「負の超幾何分布」から導かれます。

大問4：空間ベクトルと四面体

問題

解説・解法のポイント

この問題は、3辺が互いに直交する四面体（直角四面体）に関する問題です。座標を設定すると見通しがよくなります。

【座標設定】

Oを原点とし、OA, OB, OCが互いに直交するので、

• O = (0, 0, 0)
• A = (1, 0, 0)
• B = (0, 1, 0)
• C = (0, 0, 1)

【解答】(1) ベクトルOMを求める

Mは辺ABの中点なので、

OM = (1/2)(OA + OB)

座標では：M = ((1+0)/2, (0+1)/2, 0) = (1/2, 1/2, 0)

【解答】(2) ベクトルOGを求める

Gは三角形ABCの重心なので、

OG = (1/3)(OA + OB + OC)

座標では：G = ((1+0+0)/3, (0+1+0)/3, (0+0+1)/3) = (1/3, 1/3, 1/3)

【解答】(3) 三角形ABCの面積

ベクトルAB = B - A = (-1, 1, 0)

ベクトルAC = C - A = (-1, 0, 1)

外積を計算します：

AB × AC = |i j k |
|-1 1 0|
|-1 0 1|

= i(1×1 - 0×0) - j((-1)×1 - 0×(-1)) + k((-1)×0 - 1×(-1))

= i(1) - j(-1) + k(1)

= (1, 1, 1)

外積の大きさは：

|AB × AC| = √(1² + 1² + 1²) = √3

したがって、三角形ABCの面積は：

S = (1/2)|AB × AC| = √3/2

【解答】(4) 四面体OABCの体積

OA, OB, OCが互いに直交し、長さがすべて1なので、四面体OABCは直方体の1/6の体積になります。

または、スカラー三重積を使って計算します：

V = (1/6)|OA · (OB × OC)|

OB × OC = (0, 1, 0) × (0, 0, 1) = (1, 0, 0)

OA · (1, 0, 0) = (1, 0, 0) · (1, 0, 0) = 1

したがって：

V = (1/6) × 1 = 1/6

【解答】(5) OHの長さを求める

四面体の体積は、底面積×高さ×(1/3)でも表されます。

底面を三角形ABC、高さをOHとすると：

V = (1/3) × S × OH
1/6 = (1/3) × (√3/2) × OH
1/6 = (√3/6) × OH
OH = 1/√3 = √3/3

別解・発展

【別解】平面の方程式を使う方法

平面ABCの方程式を求めます。A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)を通る平面は：

x + y + z = 1

点O(0, 0, 0)から平面 x + y + z = 1 への距離は、点と平面の距離の公式より：

OH = |0 + 0 + 0 - 1|/√(1² + 1² + 1²) = 1/√3 = √3/3

【発展】直角四面体の性質

3辺が互いに直交する四面体（直角四面体）には、次の美しい性質があります：

• 三平方の定理の拡張：斜面（三角形ABC）の面積の2乗は、他の3つの面の面積の2乗の和に等しい
• S_ABC² = S_OAB² + S_OBC² + S_OCA²

本問では、S_OAB = S_OBC = S_OCA = 1/2 なので、

S_ABC² = (1/2)² × 3 = 3/4
S_ABC = √3/2 ✓

大問5：数列と漸化式（理系追加問題）

問題

解説・解法のポイント

【解答】(1) b_n+1をb_nで表す

b_n = a_n/3ⁿ より、a_n = b_n × 3ⁿ

漸化式 a_n+1 = 2a_n + 3ⁿ に代入：

b_n+1 × 3ⁿ⁺¹ = 2 × b_n × 3ⁿ + 3ⁿ

両辺を 3ⁿ⁺¹ で割ると：

b_n+1 = (2/3)b_n + 1/3

【解答】(2) 一般項a_nを求める

漸化式 b_n+1 = (2/3)b_n + 1/3 を解きます。

特性方程式：α = (2/3)α + 1/3 より、α/3 = 1/3、α = 1

c_n = b_n - 1 とおくと：

c_n+1 = b_n+1 - 1 = (2/3)b_n + 1/3 - 1 = (2/3)b_n - 2/3 = (2/3)(b_n - 1) = (2/3)c_n

したがって、{c_n}は公比2/3の等比数列です。

初期値：c₁ = b₁ - 1 = a₁/3 - 1 = 1/3 - 1 = -2/3

よって：

c_n = (-2/3) × (2/3)^n-1 = -2ⁿ/3ⁿ

b_n = c_n + 1 = 1 - 2ⁿ/3ⁿ = (3ⁿ - 2ⁿ)/3ⁿ

a_n = b_n × 3ⁿ = 3ⁿ - 2ⁿ

【検算】

• a₁ = 3 - 2 = 1 ✓
• a₂ = 2a₁ + 3 = 2 + 3 = 5、3² - 2² = 9 - 4 = 5 ✓

【解答】(3) Σ_k=1ⁿ a_k を求める

Σ_k=1ⁿ a_k = Σ_k=1ⁿ (3^k - 2^k) = Σ_k=1ⁿ 3^k - Σ_k=1ⁿ 2^k

等比数列の和の公式より：

Σ_k=1ⁿ 3^k = 3(3ⁿ - 1)/(3 - 1) = (3ⁿ⁺¹ - 3)/2

Σ_k=1ⁿ 2^k = 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) = 2ⁿ⁺¹ - 2

したがって：

Σ_k=1ⁿ a_k = (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - (2ⁿ⁺¹ - 2) = (3ⁿ⁺¹ - 3 - 2ⁿ⁺² + 4)/2 = (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺² + 1)/2

別解・発展

【別解】漸化式を直接解く方法

a_n+1 = 2a_n + 3ⁿ という形の漸化式は、「a_n+1 = pa_n + qⁿ」型です。

この場合、a_n = A × 2ⁿ + B × 3ⁿ の形の解を持ちます。

漸化式に代入して係数比較：

A × 2ⁿ⁺¹ + B × 3ⁿ⁺¹ = 2(A × 2ⁿ + B × 3ⁿ) + 3ⁿ

2A × 2ⁿ + 3B × 3ⁿ = 2A × 2ⁿ + 2B × 3ⁿ + 3ⁿ

3ⁿの係数を比較：3B = 2B + 1 より B = 1

初期条件 a₁ = 1 より：2A + 3 = 1、A = -1

よって：a_n = -2ⁿ + 3ⁿ = 3ⁿ - 2ⁿ

この年度の重要テーマと対策

2016年度に出題された重要分野

埼玉大学数学 攻略のポイント

1. 基本公式の徹底理解

埼玉大学の数学は、教科書レベルの基本事項がしっかり身についているかを問う問題が中心です。公式を単に暗記するのではなく、「なぜその公式が成り立つのか」を理解することが重要です。

2. 計算力の強化

標準的な問題が多いため、計算ミスが命取りになります。特に以下の計算には注意しましょう：

• 指数・対数の計算
• 分数式の計算
• ベクトルの内積・外積
• 積分計算

3. 記述力の向上

全問記述式なので、論理的な答案作成能力が求められます。特に：

• 「なぜそうなるのか」の説明
• 場合分けの明確化
• 計算過程の丁寧な記述

4. 時間配分の意識

理系120分で4〜5問、文系100分で3〜4問という構成です。1問あたり20〜30分が目安ですが、難易度を見極めて柔軟に配分しましょう。

おすすめの参考書・問題集

• 基礎固め：『青チャート』または『黄チャート』
• 標準レベル演習：『1対1対応の演習』（東京出版）
• 過去問演習：『埼玉大学の赤本』（教学社）
• 計算力強化：『合格る計算』（文英堂）

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

【練習問題1】整数の性質

【解答・解説】

(1) 約数の個数の公式より、n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... のとき、

τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)...

よって、τ(2⁵ × 3²) = (5 + 1)(2 + 1) = 6 × 3 = 18

(2) τ(n) = 12 = (a₁ + 1)(a₂ + 1)... となる分解を考えます。

• 12 = 12 → n = p¹¹（最小は2¹¹ = 2048）
• 12 = 6 × 2 → n = p⁵ × q（最小は2⁵ × 3 = 96）
• 12 = 4 × 3 → n = p³ × q²（最小は2³ × 3² = 72）
• 12 = 3 × 2 × 2 → n = p² × q × r（最小は2² × 3 × 5 = 60）

最小は n = 60

(3) τ(n) = 3 = 3 × 1 より、n = p²（pは素数）の形。

p² ≤ 1000 より p ≤ 31.6...、よってp = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

答え：4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841, 961

【練習問題2】微分法と積分法

【解答・解説】

(1) f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

f'(x) = 0 のとき x = 1, 3

増減表より：

• x = 1 で極大値 f(1) = 1 - 6 + 9 = 4
• x = 3 で極小値 f(3) = 27 - 54 + 27 = 0

(2) f(x) = x(x² - 6x + 9) = x(x - 3)²

x軸との交点は x = 0, 3

0 ≤ x ≤ 3 で f(x) ≥ 0 なので：

S = ∫₀³ x(x - 3)² dx

t = x - 3 と置換すると、x = t + 3, dx = dt

x: 0→3 のとき t: -3→0

S = ∫_-3⁰ (t + 3)t² dt = ∫_-3⁰ (t³ + 3t²) dt
= [t⁴/4 + t³]_-3⁰ = 0 - (81/4 - 27) = 0 - (81/4 - 108/4) = 27/4

答え：27/4

【練習問題3】空間ベクトル

【解答・解説】

(1) AB = AC = AD より、頂点Aは底面BCDに関して対称な位置にあります。

したがって、Hは正三角形BCDの重心です。

正三角形BCDの一辺の長さは2なので、重心から各頂点までの距離は：

BH = (2/3) × (正三角形の高さの足から頂点までの距離)
= (2/3) × (2/√3 × √3/2 × 2/√3) × ...

正三角形の重心から頂点までの距離 = (2/√3) × (1/√3) × 2 = 2/(√3) × (2/3) ×√3 = 2√3/3

(2) AH² = AB² - BH² = 9 - 4/3 = 23/3

AH = √(23/3)

正三角形BCDの面積 = (√3/4) × 2² = √3

体積 = (1/3) × √3 × √(23/3) = √69/9

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ここまで埼玉大学2016年度の数学を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

埼玉大学の数学は、基本〜標準レベルの問題が中心ですが、正確な計算力と論理的な記述力が求められます。独学で対策を進めることも可能ですが、「自分の答案のどこが間違っているのか分からない」「時間内に解ききれない」といった悩みを抱えている方も多いのではないでしょうか。

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藤原先生からのメッセージ

まとめ：2016年度 埼玉大学数学のポイント

最後に、この記事の内容を振り返っておきましょう。

各大問の要点

合格に向けたチェックリスト

今後の学習スケジュール（例）

おわりに

埼玉大学2016年度数学の過去問解説、いかがでしたでしょうか。

この記事では、各大問の詳細な解説に加え、別解や発展的な内容、さらには類似の練習問題まで用意しました。ぜひ繰り返し読んで、自分のものにしてください。

数学の勉強で大切なのは、「分かった」で終わらせないことです。解説を読んで理解したら、必ず自分の手で解き直してみましょう。そして、類似問題にも挑戦して、本当に理解できているか確認しましょう。

埼玉大学は、関東圏の国公立大学として人気が高く、毎年多くの受験生が挑戦しています。しかし、しっかりと準備すれば、決して手の届かない大学ではありません。

努力は必ず報われます。

この記事が、あなたの埼玉大学合格への一助となれば幸いです。

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この記事は日本数学塾・数強塾講師 藤原進之介が執筆しました。
最新の入試情報は、必ず埼玉大学公式サイトでご確認ください。

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