埼玉大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は埼玉大学 2015年度（平成27年度）前期日程の数学について、徹底的に解説していきます。埼玉大学は首都圏の国公立大学として人気があり、理学部・工学部を中心に数学の出題レベルも標準〜やや難の良問が揃っています。

この記事では、実際の出題内容を分析し、各大問の解法ポイントから別解、さらには類似問題での演習まで、合格に必要な力を身につけられるよう丁寧に解説していきます。ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2015年度 埼玉大学 前期日程 数学試験の概要

項目	内容
対象学部	理学部（数学科含む）・工学部
試験時間	120分
問題構成	大問4題（記述式）
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B
配点	200点満点（学部により異なる場合あり）

全体講評

2015年度の埼玉大学理系数学は、「思考力」と「計算力」のバランスが問われる良問揃いでした。全体的な難易度は標準〜やや難といったところで、基礎をしっかり固めた上で、典型問題の解法パターンを身につけていれば十分に対応できる内容です。

特徴的だったのは以下の点です：

• 第1問（格子点と正方形）：図形的センスと数え上げの力を問う問題。発想力が必要だが、誘導に従えば解ける構成
• 第2問（数列と漸化式）：数学的帰納法を用いた証明問題。論理的な記述力が求められる
• 第3問（微分積分）：曲線の性質と面積計算。計算量はやや多いが、標準的な手法で対応可能
• 第4問（置換積分）：置換積分を2回行う必要がある応用問題。積分の技術力が試される

時間配分としては、各大問に約30分ずつ割り当てるのが理想的です。ただし、第1問と第4問はやや時間がかかる可能性があるため、まずは第2問・第3問で確実に得点を稼ぎ、残りの時間で第1問・第4問に取り組むという戦略が有効でしょう。

大問1：格子点を頂点とする正方形の個数

問題

解説・解法のポイント

この問題は「傾いた正方形」の数え上げがポイントです。格子点上の正方形というと、辺がx軸・y軸に平行なものを思い浮かべがちですが、斜めに傾いた正方形も存在することに注意が必要です。

【(1)の解答】

A(a, 0)からB(0, b)へのベクトルは：

AB→ = (0-a, b-0) = (-a, b)

正方形ABCDにおいて、辺BCは辺ABを90°回転させたものです。ベクトル(x, y)を90°回転させると(-y, x)となるので：

BC→ = (-b, -a)　または　(b, a)

C, Dが第1象限にあるという条件から、BC→ = (b, a) を採用します。

よって：

• C = B + BC→ = (0, b) + (b, a) = (b, a+b)
• D = A + AD→ = (a, 0) + (b, a) = (a+b, a)

【(2)の解答】

正方形の分類を行います。正方形は、その「傾き」によって分類できます。

■ 辺が軸に平行な正方形（傾き0°）

• 1辺の長さがkの正方形：(n-k+1)² 個

■ 傾いた正方形

(1)の結果より、A(a, 0), B(0, b)の形で2点を取ると、1辺の長さが√(a²+b²)の傾いた正方形が作れます。

この正方形がR_n内に収まる条件は、4頂点すべてが0 ≤ x ≤ n かつ 0 ≤ y ≤ n を満たすことです。

q₁の計算：

R₁ = {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)} の4点から正方形を作る。

• 軸に平行な1辺1の正方形：1個
• 傾いた正方形：なし（はみ出す）

q₁ = 1

q₂の計算：

• 1辺1の軸平行正方形：(2-1+1)² = 4個
• 1辺2の軸平行正方形：(2-2+1)² = 1個
• 傾いた正方形（a=1, b=1のタイプ）：頂点(1,0), (0,1), (1,2), (2,1)で1個

q₂ = 4 + 1 + 1 = 6

q₃の計算：

• 1辺1の軸平行正方形：9個
• 1辺2の軸平行正方形：4個
• 1辺3の軸平行正方形：1個
• 傾いた正方形（a=1, b=1）：配置を考えると4個
• 傾いた正方形（a=2, b=1 または a=1, b=2）：2個

q₃ = 9 + 4 + 1 + 4 + 2 = 20

【(3)の解答】

正方形を系統的に数え上げます。

① 軸に平行な正方形の個数

Σ_k=1ⁿ (n-k+1)² = Σ_m=1ⁿ m² = n(n+1)(2n+1)/6

② 傾いた正方形の個数

傾いた正方形は、正の整数の組(a, b)で特徴づけられます。

(1)より、A(a, 0), B(0, b)を2頂点とする正方形の4頂点は：

A(a, 0), B(0, b), C(b, a+b), D(a+b, a)

この正方形をR_n内で平行移動させることを考えます。

x方向には 0 から n-(a+b) まで、y方向には 0 から n-(a+b) まで動かせるので、各(a, b)の組に対して正方形は (n-a-b+1)² 個存在します。

ただし、a + b ≤ n である必要があります。

傾いた正方形の総数は：

Σ_a=1^n-1 Σ_b=1^n-a (n-a-b+1)²

この二重和を計算すると（詳細は省略）：

= n(n-1)(n+1)(n+2)/12

①と②を合計して：

別解・発展

【別解：漸化式を用いるアプローチ】

q_n+1 - q_n（R_n+1でR_nより増える正方形の個数）を考える方法もあります。新たに追加される格子点は x = n+1 または y = n+1 の線上にあり、これらを頂点に含む新しい正方形を数え上げます。

【発展】

この問題は「ピック（Pick）の定理」と関連しています。格子点上の図形の面積と、内部・境界上の格子点数の関係を学ぶと、さらに深い理解が得られます。

大問2：漸化式と数列の極限

問題

解説・解法のポイント

この問題は非線形漸化式を扱う問題ですが、「等比数列になる条件」という誘導があるため、方針が立てやすくなっています。

【(1)の解答】

数列 {a_n} が公比 r の等比数列であるとすると、a_n = cr^n-1 と表せます。

これを漸化式に代入：

crⁿ = (1/2)cr^n-1 + (1/4)(cr^n-1)²

crⁿ = (1/2)cr^n-1 + (1/4)c²r^2n-2

両辺を cr^n-1（≠0と仮定）で割ると：

r = 1/2 + (1/4)cr^n-1

この式がすべての n で成り立つためには、cr^n-1 が n によらず一定でなければなりません。

Case 1: r = 1 の場合

cr^n-1 = c（一定）なので、1 = 1/2 + c/4 より c = 2

Case 2: c = 0 の場合

a_n = 0（すべて0の数列）となりますが、これは等比数列とは通常みなしません。

Case 3: r ≠ 1, c ≠ 0 の場合

cr^n-1 が一定となるには不可能です。

よって、漸化式の形から再検討します。

a_n+1 = (1/2)a_n(1 + (1/2)a_n) と変形できます。

等比数列になるには a_n+1/a_n = r（一定）が必要なので：

r = (1/2)(1 + (1/2)a_n)

これが n によらず一定となるには、a_n が一定である必要があります。

a_n = c（一定）のとき、漸化式より c = (1/2)c + (1/4)c²

(1/2)c = (1/4)c² → c(c - 2) = 0 → c = 0 または c = 2

【(2)の解答】

c = 2 の場合について、数列 {a_n} がすべての項が 2 である（公比1の）等比数列であることを数学的帰納法で示します。

[1] n = 1 のとき

a₁ = c = 2 より成立。

[2] n = k のとき a_k = 2 と仮定する

このとき：

a_k+1 = (1/2)a_k + (1/4)a_k² = (1/2)·2 + (1/4)·4 = 1 + 1 = 2

よって n = k+1 のときも成立。

[1], [2]より、すべての自然数 n に対して a_n = 2 が成り立つ。

【(3)の解答】

(1)より c = 0 または c = 2 です。

• c = 0 のとき：a_n = 0（すべて）なので、lim_n→∞ a_n = 0 ✓
• c = 2 のとき：a_n = 2（すべて）なので、lim_n→∞ a_n = 2 ✗

【(4)の解答】

c = 0 のとき、a_n = 0（すべての n で）なので：

別解・発展

【発展的考察】

この漸化式は、一般の初期値 c に対してどのような振る舞いをするでしょうか？

a_n+1 = (1/2)a_n(1 + (1/2)a_n) = (1/2)a_n + (1/4)a_n²

f(x) = (1/2)x + (1/4)x² として、y = f(x) と y = x の交点を求めると：

x = (1/2)x + (1/4)x² → (1/2)x = (1/4)x² → x(x-2) = 0

固定点は x = 0 と x = 2 です。

• 0 < c < 2 のとき：a_n は単調減少して 0 に収束
• c = 2 のとき：a_n = 2 で一定
• c > 2 のとき：a_n は単調増加して発散
• c < 0 のとき：振る舞いは複雑になる可能性がある

大問3：曲線と面積（微分積分）

問題

解説・解法のポイント

三次関数と直線の交点、および囲まれた面積を求める標準的な問題です。1/6公式（または1/12公式）を活用すると効率的に解けます。

【(1)の解答】

交点の x 座標は、x³ - 3x = ax を解くことで求まります：

x³ - 3x - ax = 0

x(x² - (3+a)) = 0

x(x² - 3 - a) = 0

異なる3点で交わる条件は：

• x = 0 は常に解
• x² = 3 + a が x = 0 以外の2つの実数解を持つ

すなわち、3 + a > 0 が必要です。

【(2)の解答】

3つの交点の x 座標は：

x = 0, x = √(3+a), x = -√(3+a)

ここで α = √(3+a) とおくと、交点は x = -α, 0, α です。

曲線と直線で囲まれた面積は：

S(a) = ∫_-α⁰ |(x³ - 3x) - ax| dx + ∫₀^α |(x³ - 3x) - ax| dx

被積分関数は：

x³ - 3x - ax = x³ - (3+a)x = x(x² - α²) = x(x-α)(x+α)

-α < x < 0 のとき：x < 0, x - α 0 より、x(x-α)(x+α) > 0

0 < x 0, x - α 0 より、x(x-α)(x+α) < 0

よって：

S(a) = ∫_-α⁰ x(x-α)(x+α) dx + ∫₀^α (-1)·x(x-α)(x+α) dx

1/6公式を使います。∫_a^b (x-a)(x-b) dx = -(1/6)(b-a)³ より：

まず、x(x² - α²) = x³ - α²x を直接積分すると：

∫ (x³ - α²x) dx = x⁴/4 - α²x²/2

∫_-α⁰ (x³ - α²x) dx = [x⁴/4 - α²x²/2]_-α⁰ = 0 - (α⁴/4 - α⁴/2) = α⁴/4

∫₀^α (x³ - α²x) dx = [x⁴/4 - α²x²/2]₀^α = α⁴/4 - α⁴/2 = -α⁴/4

<p

style="text-align: center;">S(a) = α⁴/4 + (-1)·(-α⁴/4) = α⁴/4 + α⁴/4 = α⁴/2

α² = 3 + a より α⁴ = (3+a)² なので：

【(3)の解答】

S(a) = (3+a)²/2 を最小化します。

(1)より a > -3 の範囲で考えます。

(3+a)² ≥ 0 であり、等号は a = -3 のとき成立しますが、a > -3 という条件があるため、a = -3 は含まれません。

a > -3 の範囲で S(a) = (3+a)²/2 は a = -3 に近づくほど小さくなりますが、最小値には到達しません。

しかし、問題の意図を考えると、S(a) は a → -3⁺ のとき S(a) → 0 に近づくことがわかります。

一方で、実際の問題では「異なる3点で交わる」という条件下での最小値を求めていますので、厳密には最小値は存在せず、下限が 0 となります。

ただし、問題の出題意図として、a > -3 の範囲で S(a) の挙動を調べると：

• a → -3⁺ のとき S(a) → 0
• a → +∞ のとき S(a) → +∞

別解・発展

【別解：対称性を利用】

関数 f(x) = x³ - 3x は奇関数（原点対称）であり、直線 y = ax も原点を通るので、囲まれた2つの領域は原点に関して対称です。したがって、片方の面積を2倍すれば全体の面積が求まります。

S(a) = 2∫₀^α |x³ - (3+a)x| dx = 2∫₀^α (3+a)x - x³ dx

= 2[(3+a)x²/2 - x⁴/4]₀^α = 2[(3+a)α²/2 - α⁴/4]

= (3+a)α² - α⁴/2 = (3+a)(3+a) - (3+a)²/2 = (3+a)²/2

【発展：1/12公式の活用】

三次関数 y = x³ + px + q と接線で囲まれた面積には「1/12公式」が使えます：

S = (1/12)|a|·(β - α)⁴

（α, β は三次関数と直線の2つの接点以外の交点、a は三次関数の最高次係数）

ただし、本問は接線ではないため直接は適用できませんが、類似の計算テクニックとして覚えておくと便利です。

大問4：置換積分の応用

問題

解説・解法のポイント

この問題は置換積分がポイントです。√(1+x) を含む積分では、√(1+x) = t と置換するのが定石です。

【(1)の解答】

√(1+x) = t とおくと：

• 1 + x = t² より x = t² - 1
• dx = 2t dt
• x: 0 → 1 のとき t: 1 → √2

I = ∫₁^√2 (t² - 1)/t · 2t dt = ∫₁^√2 2(t² - 1) dt

= 2[t³/3 - t]₁^√2

= 2{(2√2/3 - √2) - (1/3 - 1)}

= 2{2√2/3 - √2 - 1/3 + 1}

= 2{(2√2 - 3√2)/3 + 2/3}

= 2{-√2/3 + 2/3}

= 2(2 - √2)/3

【(2)の解答】

同様に √(1+x) = t とおくと：

J = ∫₁^√2 (t² - 1)²/t · 2t dt = ∫₁^√2 2(t² - 1)² dt

(t² - 1)² = t⁴ - 2t² + 1 より：

J = 2∫₁^√2 (t⁴ - 2t² + 1) dt

= 2[t⁵/5 - 2t³/3 + t]₁^√2

t = √2 のとき：

(√2)⁵/5 - 2(√2)³/3 + √2 = 4√2/5 - 4√2/3 + √2

= √2(4/5 - 4/3 + 1) = √2(12/15 - 20/15 + 15/15) = √2(7/15) = 7√2/15

t = 1 のとき：

1/5 - 2/3 + 1 = 3/15 - 10/15 + 15/15 = 8/15

J = 2(7√2/15 - 8/15) = 2(7√2 - 8)/15 = (14√2 - 16)/15

【(3)の解答】

K = ∫₀¹ √(1+x)/x² dx について、x = 0 付近での被積分関数の振る舞いを調べます。

x → 0⁺ のとき：

√(1+x)/x² ≈ 1/x²

∫₀¹ 1/x² dx は x = 0 で発散する（∫ x⁻² dx = -x⁻¹ → ∞）ため、この広義積分は発散します。

より厳密には、0 < ε < 1 に対して：

∫_ε¹ √(1+x)/x² dx ≥ ∫_ε¹ 1/x² dx = [-1/x]_ε¹ = -1 + 1/ε → ∞ (ε → 0⁺)

別解・発展

【(1)の別解：部分積分】

∫ x/√(1+x) dx を部分積分で解くこともできます：

u = x, dv = (1+x)^(-1/2) dx とおくと、

du = dx, v = 2√(1+x)

∫ x/√(1+x) dx = 2x√(1+x) - ∫ 2√(1+x) dx

= 2x√(1+x) - (4/3)(1+x)^(3/2) + C

定積分の計算：

[2x√(1+x) - (4/3)(1+x)^(3/2)]₀¹

= (2·1·√2 - (4/3)·2√2) - (0 - 4/3)

= 2√2 - 8√2/3 + 4/3 = -2√2/3 + 4/3 = (4 - 2√2)/3

【発展：漸化式を用いる方法】

I_n = ∫₀¹ xⁿ/√(1+x) dx とおくと、部分積分により I_n と I_n-1 の漸化式が得られます。これを利用すれば、任意の自然数 n に対する積分を計算できます。

この年度の重要テーマと対策

2015年度の出題傾向分析

2015年度の埼玉大学理系数学では、以下のテーマが出題されました：

大問	テーマ	難易度	重要度
第1問	格子点・図形の数え上げ	やや難	★★★☆☆
第2問	漸化式・数学的帰納法・極限	標準	★★★★★
第3問	微分積分・面積	標準	★★★★★
第4問	置換積分・広義積分	やや難	★★★★☆

重要ポイント①：漸化式と数学的帰納法

埼玉大学では数学的帰納法を用いた証明問題が頻出です。2015年度の第2問のように、「〇〇を数学的帰納法で示せ」という明示的な指示がある問題から、自分で帰納法を使うかどうか判断する問題まで、さまざまな形式で出題されます。

対策ポイント：

• 数学的帰納法の基本形（n=1の確認、n=kの仮定、n=k+1の証明）を確実に書けるようにする
• 漸化式の基本パターン（等差型、等比型、特性方程式型など）を整理しておく
• 極限との組み合わせ問題に慣れておく

重要ポイント②：積分計算の技術

第4問のような置換積分を複数回行う問題は、計算力と判断力が問われます。どのような置換をすべきか、その場で見極める力が必要です。

対策ポイント：

• √(ax+b) 型は t = √(ax+b) と置換
• √(a²-x²) 型は x = a sin θ と置換
• √(x²+a²) 型は x = a tan θ と置換
• 広義積分の収束・発散の判定法を学ぶ

重要ポイント③：図形的考察と数え上げ

第1問のような格子点を扱う問題は、図形的なイメージと組合せ的な考え方を融合させる必要があります。

対策ポイント：

• 格子点上の図形（特に正方形、三角形）の性質を理解する
• 「傾いた図形」も見落とさない
• 系統的な数え上げの方法を身につける

合格に向けた学習プラン

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：漸化式と極限

【解答】

(1) 漸化式の両辺の逆数を取ると：

1/a_n+1 = (1 + a_n)/(2a_n) = 1/(2a_n) + 1/2

b_n+1 = (1/2)b_n + 1/2

これは特性方程式 x = (1/2)x + 1/2 より x = 1 を持つ漸化式です。

b_n+1 - 1 = (1/2)(b_n - 1)

b₁ = 1/a₁ = 1 より b₁ - 1 = 0

よって b_n - 1 = 0、すなわち b_n = 1（すべての n で）

(2) a_n = 1/b_n = 1

(3) lim_n→∞ a_n = 1

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練習問題2：曲線と面積

【解答】

(1) 直線 ℓ: y = mx - 1

交点の x 座標：x² - 2x = mx - 1 → x² - (m+2)x + 1 = 0

異なる2点で交わる条件：判別式 > 0

D = (m+2)² - 4 > 0 → (m+2)² > 4 → |m+2| > 2

m 0

【答】m 0

(2) 2つの交点の x 座標を α, β（α < β）とすると、解と係数の関係より：

α + β = m + 2, αβ = 1

β - α = √{(α+β)² - 4αβ} = √{(m+2)² - 4}

1/6公式より：

S(m) = (1/6)|1|·(β - α)³ = (1/6){(m+2)² - 4}^(3/2)

【答】S(m) = (1/6){(m+2)² - 4}^(3/2)

(3) (m+2)² - 4 = t² とおくと（t > 0）、S = t³/6

t は m = 0 または m = -4 のとき最小値 t = 2 をとりますが、この値は条件を満たしません。

m > 0 の範囲では m → 0⁺ のとき t → 2⁺ なので、S → 8/6 = 4/3

m < -4 の範囲でも同様に、m → -4⁻ のとき S → 4/3

【答】最小値は存在しないが、下限は 4/3

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練習問題3：置換積分

【解答】

(1) √(x+1) = t とおくと、x = t² - 1, dx = 2t dt

x: 0 → 3 のとき t: 1 → 2

∫₀³ x/√(x+1) dx = ∫₁² (t² - 1)/t · 2t dt = 2∫₁² (t² - 1) dt

= 2[t³/3 - t]₁² = 2{(8/3 - 2) - (1/3 - 1)}

= 2{2/3 + 2/3} = 2 · 4/3 = 8/3

(2) 同様の置換で：

∫₀³ x²/√(x+1) dx = ∫₁² (t² - 1)²/t · 2t dt = 2∫₁² (t⁴ - 2t² + 1) dt

= 2[t⁵/5 - 2t³/3 + t]₁²

= 2{(32/5 - 16/3 + 2) - (1/5 - 2/3 + 1)}

= 2{31/5 - 14/3 + 1}

= 2{93/15 - 70/15 + 15/15} = 2 · 38/15 = 76/15

日本数学塾・数強塾で埼玉大学合格を目指そう

ここまで読んでいただき、ありがとうございました！

埼玉大学の数学は、基礎力と応用力のバランスが問われる良問が多いのが特徴です。2015年度の問題を見ても、一つひとつの大問は標準的な知識で解けるものの、それを組み合わせて正確に答えを導く力が必要でした。

藤原先生からのメッセージ

まとめ：2015年度 埼玉大学数学のポイント

最後に、この記事の内容をまとめておきます。

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この記事は、日本数学塾・数強塾の講師 藤原進之介が作成しました。
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