埼玉大学 2014年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は埼玉大学 2014年度（平成26年度）前期日程の数学について、徹底解説していきます！埼玉大学は首都圏にある国立大学として人気が高く、理学部・工学部・教育学部など多くの学部で数学が必要となります。過去問をしっかり分析して、効率的な対策を立てていきましょう！

試験概要・難易度

2014年度 埼玉大学 前期日程 数学試験の基本情報

2014年度の全体講評

2014年度の埼玉大学数学は、例年通りの標準〜やや難レベルで出題されました。特徴的だったのは以下の点です：

• 整数論（素数に関する証明問題）が出題され、フェルマーの小定理に関連する内容が問われた
• 数学的帰納法を用いた証明問題が複数出題された
• 微分積分では定積分の計算と面積・体積の求積が中心
• ベクトルは空間図形との融合問題として出題
• 全体的に論理的な記述力が求められる内容

難易度としては、基礎〜標準レベルの問題が6割、やや難〜難レベルが4割という構成でした。時間配分を意識して、取れる問題を確実に得点することが合格への鍵となります。

合格に必要な得点目安

2014年度の合格者平均点から推測すると：

• 理学部数学科：65〜70%程度
• 工学部：55〜65%程度
• 教育学部：55〜60%程度

まずは基礎問題を確実に解き、その上で応用問題にチャレンジするという戦略が有効です。

大問1：整数論・素数の性質と数学的帰納法

問題

解説・解法のポイント

この問題はフェルマーの小定理を数学的帰納法で証明させる、非常に教育的で美しい問題です。各小問が次の小問のヒントになっている構造になっています。

【(1) の解説】二項係数が素数で割り切れることの証明

ポイント：$_pC_n$ の分子に $p!$ が含まれ、分母に $p$ が含まれないことを利用します。

解答：

$_pC_n = dfrac{p!}{n!(p-n)!}$ において、

分子 $p! = p cdot (p-1) cdot (p-2) cdots 2 cdot 1$ は素数 $p$ を因数に持ちます。

一方、$1 leq n leq p-1$ のとき、分母 $n!(p-n)!$ に含まれる因数はすべて $1$ から $p-1$ までの自然数の積であり、$p$ は含まれません。

$p$ は素数なので、$1$ から $p-1$ までのどの自然数とも互いに素です。したがって、分母 $n!(p-n)!$ は $p$ で割り切れません。

$_pC_n$ は自然数であり、分子が $p$ で割り切れ、分母が $p$ で割り切れないので、$_pC_n$ は $p$ で割り切れます。 ∎

【(2) の解説】$2^p - 2$ が $p$ で割り切れることの証明

ポイント：二項定理と (1) の結果を組み合わせます。

解答：

二項定理より：

$(1+1)^p = sum_{k=0}^{p} {}_pC_k cdot 1^{p-k} cdot 1^k = sum_{k=0}^{p} {}_pC_k$

$= {}_pC_0 + {}_pC_1 + {}_pC_2 + cdots + {}_pC_{p-1} + {}_pC_p$

$= 1 + {}_pC_1 + {}_pC_2 + cdots + {}_pC_{p-1} + 1$

よって：

$2^p = 2 + ({}_pC_1 + {}_pC_2 + cdots + {}_pC_{p-1})$

$2^p - 2 = {}_pC_1 + {}_pC_2 + cdots + {}_pC_{p-1}$

(1) より、$1 leq k leq p-1$ のとき $_pC_k$ は $p$ で割り切れるので、その和 $2^p - 2$ も $p$ で割り切れます。 ∎

【(3) の解説】$(m + n)^p - (m^p + n^p)$ が $p$ で割り切れることの証明

ポイント：二項定理を $(m+n)^p$ に適用し、(1) を利用します。

解答：

二項定理より：

$(m+n)^p = sum_{k=0}^{p} {}_pC_k cdot m^{p-k} cdot n^k$

$= m^p + {}_pC_1 m^{p-1}n + {}_pC_2 m^{p-2}n^2 + cdots + {}_pC_{p-1} mn^{p-1} + n^p$

したがって：

$(m+n)^p - (m^p + n^p) = {}_pC_1 m^{p-1}n + {}_pC_2 m^{p-2}n^2 + cdots + {}_pC_{p-1} mn^{p-1}$

$= sum_{k=1}^{p-1} {}_pC_k cdot m^{p-k} cdot n^k$

(1) より各 $_pC_k$（$1 leq k leq p-1$）は $p$ で割り切れるので、この和全体も $p$ で割り切れます。 ∎

【(4) の解説】数学的帰納法によるフェルマーの小定理の証明

ポイント：(3) の結果を巧みに利用して帰納法を回します。

解答：

$n^p - n$ が $p$ で割り切れることを、$n$ に関する数学的帰納法で示す。

[I] $n = 1$ のとき

$1^p - 1 = 0$ であり、$0$ は $p$ で割り切れる。よって成り立つ。

[II] $n = k$（$k$ は自然数）のとき成り立つと仮定する

すなわち、$k^p - k$ が $p$ で割り切れると仮定する。

[III] $n = k + 1$ のとき

$(k+1)^p - (k+1)$ を考える。

(3) の結果（$m = k, n = 1$ として）より：

$(k+1)^p - (k^p + 1^p) = (k+1)^p - k^p - 1$ は $p$ で割り切れる。

したがって：

$(k+1)^p - (k+1) = {(k+1)^p - k^p - 1} + {k^p - k}$

右辺の第1項は (3) より $p$ で割り切れ、第2項は帰納法の仮定より $p$ で割り切れる。

よって、$(k+1)^p - (k+1)$ は $p$ で割り切れる。

[I], [II], [III] より、すべての自然数 $n$ に対して $n^p - n$ は $p$ で割り切れる。 ∎

別解・発展

【発展】フェルマーの小定理について

この問題で証明した内容は、フェルマーの小定理として知られています：

この定理は暗号理論（RSA暗号など）の基礎となる重要な定理です。大学入試では、このような誘導形式で証明させる問題がしばしば出題されます。

大問2：微分法と関数の最大最小

問題

解説・解法のポイント

閉区間における3次関数の最大値・最小値問題です。極値の位置が区間内にあるかどうかで場合分けが必要になります。

【(1) の解説】極値を求める

解答：

$f(x) = x^3 - 3ax$ を微分すると：

$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$

$a > 0$ より、$f'(x) = 0$ となるのは $x = pmsqrt{a}$ のとき。

$f'(x)$ の符号を調べると：

• $x 0$（単調増加）
• $-sqrt{a} < x < sqrt{a}$ のとき $f'(x) < 0$（単調減少）
• $x > sqrt{a}$ のとき $f'(x) > 0$（単調増加）

したがって：

• $x = -sqrt{a}$ で極大値 $f(-sqrt{a}) = -asqrt{a} + 3asqrt{a} = 2asqrt{a} = 2a^{3/2}$
• $x = sqrt{a}$ で極小値 $f(sqrt{a}) = asqrt{a} - 3asqrt{a} = -2asqrt{a} = -2a^{3/2}$

【(2) の解説】場合分けによる最大値・最小値

ポイント：極値をとる点 $x = pmsqrt{a}$ が区間 $[-2, 2]$ 内にあるかどうかで場合分けします。

解答：

端点での値は：

• $f(-2) = -8 + 6a = 6a - 8$
• $f(2) = 8 - 6a$

また、$f(x)$ は奇関数的な対称性があり、$f(-x) = -f(x) + (text{定数項なし})$ となっています。

【場合1】$sqrt{a} geq 2$、すなわち $a geq 4$ のとき

極値をとる点が区間外なので、$f(x)$ は $[-2, 2]$ で単調減少。

• 最大値：$f(-2) = 6a - 8$
• 最小値：$f(2) = 8 - 6a$

【場合2】$sqrt{a} < 2$、すなわち $0 < a < 4$ のとき

極値をとる点 $x = pmsqrt{a}$ が区間内にある。

最大値の候補：$f(-sqrt{a}) = 2a^{3/2}$ と $f(-2) = 6a - 8$

最小値の候補：$f(sqrt{a}) = -2a^{3/2}$ と $f(2) = 8 - 6a$

$f(-sqrt{a})$ と $f(-2)$ の大小を比較：

$2a^{3/2} geq 6a - 8$

$a^{3/2} geq 3a - 4$

$t = sqrt{a}$（$0 < t < 2$）とおくと：

$t^3 geq 3t^2 - 4$

$t^3 - 3t^2 + 4 geq 0$

$(t+1)(t-2)^2 geq 0$

$t > 0$ より $(t+1) > 0$ で、$(t-2)^2 geq 0$ なので常に成立。

等号は $t = 2$（$a = 4$）のときのみ。

よって $0 < a f(-2)$ となり：

• 最大値：$2a^{3/2}$（$x = -sqrt{a}$ のとき）
• 最小値：$-2a^{3/2}$（$x = sqrt{a}$ のとき）

【まとめ】

【(3) の解説】$M(a) - m(a)$ の最小値

解答：

$0 < a < 4$ のとき：

$M(a) - m(a) = 2a^{3/2} - (-2a^{3/2}) = 4a^{3/2}$

これは $a$ について単調増加で、$a to 0$ で $0$ に近づき、$a to 4$ で $4 cdot 8 = 32$ に近づく。

$a geq 4$ のとき：

$M(a) - m(a) = (6a - 8) - (8 - 6a) = 12a - 16$

これは $a$ について単調増加で、$a = 4$ で $48 - 16 = 32$。

したがって、$M(a) - m(a)$ は $a to 0$ で最小値 $0$ に近づきますが、$a > 0$ の範囲では最小値を持ちません。

ただし、問題の意図として $a = 4$ での接続を考えると、$a = 4$ のとき $M(a) - m(a) = 32$ が境界値となります。

別解・発展

【別解】対称性を利用する方法

$f(x) = x^3 - 3ax$ は原点に関して点対称（奇関数）なので、$f(-x) = -f(x)$ が成り立ちます。

したがって、区間が $[-2, 2]$ と原点対称なとき、最大値と最小値は絶対値が等しく符号が逆になります。これを利用すると計算が簡略化できます。

大問3：空間ベクトルと平面の方程式

問題

解説・解法のポイント

空間ベクトルの基本問題です。平面の方程式、点と平面の距離、三角形の面積、四面体の体積という典型的なテーマが網羅されています。

【(1) の解説】平面の方程式

方法1：切片形を利用

平面が $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸とそれぞれ $(1, 0, 0)$、$(0, 2, 0)$、$(0, 0, 3)$ で交わるので、切片形の公式より：

$$frac{x}{1} + frac{y}{2} + frac{z}{3} = 1$$

両辺を6倍して整理すると：

$$6x + 3y + 2z = 6$$

方法2：法線ベクトルを求める

$vec{AB} = (-1, 2, 0)$、$vec{AC} = (-1, 0, 3)$ とすると、法線ベクトル $vec{n}$ は：

$$vec{n} = vec{AB} times vec{AC} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ -1 & 2 & 0 \ -1 & 0 & 3 end{vmatrix}$$

$= (2 cdot 3 - 0 cdot 0, 0 cdot (-1) - (-1) cdot 3, (-1) cdot 0 - 2 cdot (-1))$

$= (6, 3, 2)$

点 $A(1, 0, 0)$ を通り、法線ベクトル $(6, 3, 2)$ を持つ平面は：

$$6(x-1) + 3(y-0) + 2(z-0) = 0$$

$$6x + 3y + 2z = 6$$

【(2) の解説】垂線の足の座標

解答：

原点 $O(0, 0, 0)$ から平面 $6x + 3y + 2z = 6$ に下ろした垂線は、法線ベクトル $(6, 3, 2)$ の方向を持ちます。

垂線の媒介変数表示は：

$(x, y, z) = t(6, 3, 2) = (6t, 3t, 2t)$

これが平面上にあるとき：

$6 cdot 6t + 3 cdot 3t + 2 cdot 2t = 6$

$36t + 9t + 4t = 6$

$49t = 6$

$t = dfrac{6}{49}$

よって垂線の足

よって垂線の足 $H$ の座標は：

$$H = left(frac{36}{49}, frac{18}{49}, frac{12}{49}right)$$

【(3) の解説】三角形 $ABC$ の面積

解答：

三角形の面積は、2つのベクトルの外積の大きさの半分で求められます。

$vec{AB} = (-1, 2, 0)$、$vec{AC} = (-1, 0, 3)$ より：

$$vec{AB} times vec{AC} = (6, 3, 2)$$（(1)で計算済み）

外積の大きさは：

$$|vec{AB} times vec{AC}| = sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = sqrt{36 + 9 + 4} = sqrt{49} = 7$$

したがって、三角形 $ABC$ の面積 $S$ は：

$$S = frac{1}{2}|vec{AB} times vec{AC}| = frac{7}{2}$$

【(4) の解説】四面体 $OABC$ の体積

方法1：「底面積 × 高さ ÷ 3」を利用

底面を三角形 $ABC$（面積 $dfrac{7}{2}$）とすると、高さは原点 $O$ から平面 $ABC$ までの距離 $OH$ です。

点と平面の距離の公式より：

$$OH = frac{|6 cdot 0 + 3 cdot 0 + 2 cdot 0 - 6|}{sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2}} = frac{6}{7}$$

よって体積 $V$ は：

$$V = frac{1}{3} times frac{7}{2} times frac{6}{7} = frac{1}{3} times frac{42}{14} = frac{1}{3} times 3 = 1$$

方法2：スカラー三重積を利用

$vec{OA} = (1, 0, 0)$、$vec{OB} = (0, 2, 0)$、$vec{OC} = (0, 0, 3)$ として：

$$V = frac{1}{6}|vec{OA} cdot (vec{OB} times vec{OC})|$$

$$vec{OB} times vec{OC} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{vmatrix} = (6, 0, 0)$$

$$vec{OA} cdot (6, 0, 0) = 1 times 6 + 0 + 0 = 6$$

$$V = frac{1}{6} times 6 = 1$$

別解・発展

【別解】直接計算による体積

四面体の頂点が $O(0,0,0)$、$A(a,0,0)$、$B(0,b,0)$、$C(0,0,c)$ のとき、体積は：

$$V = frac{1}{6}|abc|$$

本問では $a=1$、$b=2$、$c=3$ なので：

$$V = frac{1}{6} times 1 times 2 times 3 = 1$$

この公式を知っていれば一瞬で答えが出ます！

大問4：積分法と面積・回転体の体積

問題

解説・解法のポイント

指数関数と直線の交点、面積、回転体の体積という積分の典型問題です。

【(1) の解説】交点の座標

解答：

$e^x = ex$ を解きます。

$x = 0$ のとき：$e^0 = 1$、$e cdot 0 = 0$ で一致しない。

$x = 1$ のとき：$e^1 = e$、$e cdot 1 = e$ で一致する。

また、$f(x) = e^x - ex$ とおくと：

$f'(x) = e^x - e$

$f'(x) = 0$ のとき $x = 1$

$x < 1$ で $f'(x) 1$ で $f'(x) > 0$（単調増加）

$f(1) = e - e = 0$ より、$x = 1$ は $f(x) = 0$ の唯一の解。

よって交点は $(1, e)$

【(2) の解説】面積を求める

解答：

$0 leq x leq 1$ の範囲で、$e^x$ と $ex$ の大小を調べます。

$f(x) = e^x - ex$ は $x = 1$ で最小値 $0$ をとり、$f(0) = 1 - 0 = 1 > 0$ です。

したがって、$0 leq x ex$（曲線が上）

面積 $S$ は：

$$S = int_0^1 (e^x - ex) , dx$$

$$= left[e^x - frac{e}{2}x^2right]_0^1$$

$$= left(e - frac{e}{2}right) - (1 - 0)$$

$$= e - frac{e}{2} - 1$$

$$= frac{e}{2} - 1$$

$$= frac{e - 2}{2}$$

【(3) の解説】回転体の体積

解答：

$x$ 軸のまわりの回転体の体積は：

$$V = pi int_0^1 {(e^x)^2 - (ex)^2} , dx$$

$$= pi int_0^1 (e^{2x} - e^2x^2) , dx$$

$$= pi left[frac{1}{2}e^{2x} - frac{e^2}{3}x^3right]_0^1$$

$$= pi left{left(frac{1}{2}e^2 - frac{e^2}{3}right) - left(frac{1}{2} - 0right)right}$$

$$= pi left(frac{3e^2 - 2e^2}{6} - frac{1}{2}right)$$

$$= pi left(frac{e^2}{6} - frac{1}{2}right)$$

$$= pi cdot frac{e^2 - 3}{6}$$

$$= frac{pi(e^2 - 3)}{6}$$

別解・発展

【発展】$y$ 軸まわりの回転体積

もし $y$ 軸まわりに回転させる場合は、バウムクーヘン積分（円筒殻法）を使います：

$$V_y = 2pi int_0^1 x(e^x - ex) , dx$$

この積分は部分積分を使って計算できます。入試では $x$ 軸まわりと $y$ 軸まわりの両方が問われることがあるので、両方の公式を確実に使えるようにしておきましょう。

大問5：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

「特性方程式が使えない漸化式」の典型例です。置き換えによって等比数列に帰着させます。

【(1) の解説】$b_n$ の漸化式

解答：

$b_n = dfrac{a_n}{3^n}$ より、$a_n = 3^n b_n$

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ に代入：

$$3^{n+1} b_{n+1} = 2 cdot 3^n b_n + 3^n$$

両辺を $3^n$ で割ると：

$$3b_{n+1} = 2b_n + 1$$

よって：

$$b_{n+1} = frac{2}{3}b_n + frac{1}{3}$$

【(2) の解説】一般項を求める

解答：

漸化式 $b_{n+1} = dfrac{2}{3}b_n + dfrac{1}{3}$ を解きます。

特性方程式：$alpha = dfrac{2}{3}alpha + dfrac{1}{3}$ を解くと $alpha = 1$

$b_{n+1} - 1 = dfrac{2}{3}(b_n - 1)$

$c_n = b_n - 1$ とおくと、$c_{n+1} = dfrac{2}{3}c_n$

これは公比 $dfrac{2}{3}$ の等比数列で：

$c_1 = b_1 - 1 = dfrac{a_1}{3} - 1 = dfrac{1}{3} - 1 = -dfrac{2}{3}$

$$c_n = -frac{2}{3} cdot left(frac{2}{3}right)^{n-1} = -frac{2}{3} cdot frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} = -frac{2^n}{3^n}$$

したがって：

$$b_n = c_n + 1 = 1 - frac{2^n}{3^n}$$

$$a_n = 3^n b_n = 3^n - 2^n$$

検算：$a_1 = 3 - 2 = 1$ ✓

$a_2 = 2 cdot 1 + 3 = 5$、また $3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$ ✓

【(3) の解説】和を求める

解答：

$$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3^k - 2^k)$$

$$= sum_{k=1}^{n} 3^k - sum_{k=1}^{n} 2^k$$

等比数列の和の公式より：

$$sum_{k=1}^{n} 3^k = frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = frac{3^{n+1} - 3}{2}$$

$$sum_{k=1}^{n} 2^k = frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 2$$

よって：

$$sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 3}{2} - (2^{n+1} - 2)$$

$$= frac{3^{n+1} - 3 - 2 cdot 2^{n+1} + 4}{2}$$

$$= frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$$

別解・発展

この年度の重要テーマと対策

2014年度の出題テーマまとめ

埼玉大学数学の傾向と対策

1. 証明問題への対策が必須

2014年度の第1問のように、数学的帰納法を用いた証明が頻出です。特に整数の性質（割り切れること、素数の性質など）と組み合わせた問題が多いです。

対策：

• 数学的帰納法の基本形を完璧にマスターする
• 「$n = k$ で成り立つ」という仮定をどう使うか、パターンを覚える
• 二項定理と整数論の融合問題を多く解く

2. 微積分は計算力と場合分けがカギ

3次関数の最大最小、定積分の計算、回転体の体積など、計算量の多い問題が出題されます。

対策：

• 場合分けの基準（極値の位置、グラフの形状）を素早く判断する練習
• 積分計算のスピードアップ（特に $e^x$ や三角関数）
• 回転体積の公式（$x$ 軸まわり、$y$ 軸まわり）を両方使えるように

3. 空間ベクトルは公式を武器に

平面の方程式、点と平面の距離、外積、スカラー三重積など、公式を知っていれば一気に解ける問題が多いです。

対策：

• 外積の計算を確実に（行列式の展開）
• 点と平面の距離公式を暗記
• 四面体の体積 $V = dfrac{1}{6}|vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})|$ を使いこなす

4. 漸化式は「型」を見抜く

$a_{n+1} = pa_n + f(n)$ 型の漸化式が頻出です。置き換えの方法を誘導に従って実行できるようにしましょう。

対策：

• 特性方程式の使い方をマスター
• 両辺を何かで割る置き換えテクニック
• 等比数列への帰着パターンを身につける

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：整数論と数学的帰納法

練習問題2：空間ベクトルと体積

練習問題3：漸化式と一般項

埼玉大学数学攻略のための学習アドバイス

時期別学習計画

【高3春〜夏（4月〜8月）】基礎固め期

• 教科書レベルの問題を完璧にする
• チャート式（青or黄）の例題をすべて解けるようにする
• 数学Ⅲの微積分計算を徹底的に練習
• ベクトル、数列の基本公式を完全暗記

【高3秋（9月〜11月）】応用力養成期

• 過去問演習を開始（10年分以上）
• 苦手分野の重点強化
• 時間を計って実戦形式で解く練習
• 記述の書き方を意識した答案作成

【高3冬（12月〜2月）】直前仕上げ期

• 過去問の2周目（間違えた問題を中心に）
• 類似問題での弱点補強
• 本番を想定した時間配分の練習
• 計算ミス対策（検算の習慣化）

おすすめ参考書・問題集

日本数学塾・数強塾で埼玉大学合格を目指そう

まとめ

2014年度の埼玉大学数学は、整数論・微積分・ベクトル・数列という王道の分野から出題されました。特に第1問のフェルマーの小定理の証明は、誘導に従って丁寧に解けば完答可能な良問でした。

埼玉大学数学攻略のポイントをまとめると：

1. 数学的帰納法を使った証明問題に慣れる
2. 場合分けを含む最大最小問題を確実に解く
3. 空間ベクトルの公式（外積・体積）を使いこなす
4. 積分計算のスピードと正確性を上げる
5. 漸化式の典型パターンをマスターする

過去問を繰り返し解いて、埼玉大学の出題傾向に慣れることが合格への近道です。わからない問題があれば、ぜひ日本数学塾や数強塾の講師に質問してください！

一緒に埼玉大学合格を勝ち取りましょう！💪

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介