小樽商科大学 2010年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は、小樽商科大学 2010年度（平成22年度）前期日程 数学の過去問を徹底解説していきます。小樽商科大学は北海道唯一の国立商科系大学として、経済学・経営学・会計学を学びたい受験生から根強い人気を誇っています。数学の入試問題は、基本〜標準レベルの問題が中心ですが、確実に得点するためには各分野の基礎をしっかり固めておくことが重要です。

この記事では、2010年度の数学入試問題を大問ごとに詳しく解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での練習方法まで網羅的にお伝えします。小樽商科大学を志望する皆さん、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2010年度 小樽商科大学 数学試験の基本情報

全体講評

2010年度の小樽商科大学数学は、例年通り基本〜標準レベルの問題が中心でした。大問1は小問集合形式で、整数問題・不等式・場合の数（最短経路）などの複合問題が出題されました。特に注目すべきは、「2010!（2010の階乗）」を素因数分解する問題が出題されたことです。これは年号にちなんだ出題で、受験生にとって印象深い問題だったでしょう。

難易度としては、基本をしっかり押さえていれば7〜8割は十分に狙えるレベルです。ただし、計算ミスや問題の読み違いがあると大きく点数を落としてしまうため、丁寧な解答作成が求められます。時間配分としては、大問1つあたり25分程度を目安にし、見直しの時間も確保することが重要です。

2010年度の出題分野一覧

• 大問1：小問集合（整数の性質、不等式、最短経路の場合の数、階乗の素因数分解）
• 大問2：二次関数と最大・最小
• 大問3：図形と方程式（円と直線）
• 大問4：数列（漸化式）

では、各大問を詳しく見ていきましょう！

大問1：小問集合（整数・不等式・場合の数・階乗の素因数分解）

問題

次の空欄を適当に補って、それを答案用紙に書け。証明や説明は必要としない。

(1) 不等式 √(n+1) - √n < 1/10 を満たす最小の自然数nは（ア）である。

(2) 右図において、地点Aから地点Bへの最短経路の総数は（イ）である。

（※図は格子状の道路で、途中に通れない道がある設定）

(3) 2010! = 2ⁿ × m（mは奇数）と表すとき、自然数nの値は（ウ）である。

解説・解法のポイント

(1) 無理数を含む不等式

問題の本質：√(n+1) - √n の値がどのように変化するかを理解し、条件を満たす最小のnを求める問題です。

【解法ステップ】

Step 1：有理化を行う

√(n+1) - √n を有理化します。

√(n+1) - √n = {(√(n+1) - √n)(√(n+1) + √n)} / {√(n+1) + √n}

= {(n+1) - n} / {√(n+1) + √n} = 1 / {√(n+1) + √n}

Step 2：不等式に代入

元の不等式は次のようになります。

1 / {√(n+1) + √n} < 1/10

両辺の逆数を取ると（正の数なので不等号の向きが変わる）：

√(n+1) + √n > 10

Step 3：nの値を求める

ここで、nに具体的な値を代入して確認します。

• n = 24 のとき：√25 + √24 = 5 + 4.899... ≈ 9.899 < 10 ❌
• n = 25 のとき：√26 + √25 = 5.099... + 5 ≈ 10.099 > 10 ✓

したがって、条件を満たす最小の自然数nはn = 25です。

(2) 最短経路の場合の数

問題の本質：格子状の道路において、AからBへの最短経路を数える問題です。通れない道がある場合、その制約を考慮して計算します。

【基本的な考え方】

格子状の道路で右にa回、上にb回進むとき、最短経路の総数は組合せを用いて次のように計算できます。

_a+bC_a = _a+bC_b

【解法ステップ】

問題の図（仮に5×4の格子で、中央に通れない道があると仮定）に基づいて解説します。

Step 1：制約がない場合の計算

例えば、右に5回、上に4回進む場合：

₉C₄ = 126通り

Step 2：制約を考慮

通れない道を通る経路の数を引きます。これは「余事象」の考え方です。

通れない道を必ず通る経路数 = （Aからその道の手前までの経路数）×（その道の先からBまでの経路数）

Step 3：最終計算

全経路数 - 禁止経路数 = 最短経路の総数

（具体的な図形に応じて計算。例：126 - 30 = 96通り）

(3) 階乗の素因数分解（2010! に含まれる2の個数）

問題の本質：2010!（2010の階乗）を素因数分解したとき、素因数2が何個含まれるかを求める問題です。

【解法の核心】

n! に含まれる素数pの個数は、ルジャンドルの定理（Legendre's formula）を用いて計算します。

n! に含まれる素数pの個数 = Σ_k=1^∞ [n / p^k]

ここで、[ ] はガウス記号（床関数）で、その数を超えない最大の整数を表します。

【解法ステップ】

Step 1：各項を計算

p = 2、n = 2010 として計算します。

• [2010 / 2] = [1005] = 1005
• [2010 / 4] = [502.5] = 502
• [2010 / 8] = [251.25] = 251
• [2010 / 16] = [125.625] = 125
• [2010 / 32] = [62.8125] = 62
• [2010 / 64] = [31.40625] = 31
• [2010 / 128] = [15.703125] = 15
• [2010 / 256] = [7.8515625] = 7
• [2010 / 512] = [3.92578125] = 3
• [2010 / 1024] = [1.962890625] = 1
• [2010 / 2048] = [0.98...] = 0

Step 2：合計を求める

n = 1005 + 502 + 251 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 2002

したがって、n = 2002 が答えです。

別解・発展

(3)の別解：漸化式的アプローチ

f(n) を「n! に含まれる2の個数」とすると、次の関係が成り立ちます。

• nが奇数のとき：f(n) = f(n-1)
• nが偶数のとき：f(n) = f(n-1) + 1 + (n/2 に含まれる2の個数)

この考え方を使えば、小さい数から順に計算することもできます。ただし、ルジャンドルの定理の方が計算効率は良いです。

発展：末尾の0の個数

ちなみに、「2010! の末尾に0は何個並ぶか」という問題も頻出です。これは2010!に含まれる10（= 2×5）の個数を求める問題で、5の個数を数えればOKです（2の個数の方が多いため）。

[2010/5] + [2010/25] + [2010/125] + [2010/625] = 402 + 80 + 16 + 3 = 501個

大問2：二次関数と最大・最小

問題

関数 f(x) = x² - 2ax + a + 2 について、次の問いに答えよ。ただし、a は定数とする。

(1) f(x) の最小値を a を用いて表せ。

(2) f(x) の最小値が最大となるような a の値と、そのときの最小値を求めよ。

(3) 0 ≤ x ≤ 2 における f(x) の最大値 M(a) を a を用いて表せ。

解説・解法のポイント

(1) 二次関数の最小値

【解法ステップ】

Step 1：平方完成

f(x) = x² - 2ax + a + 2 を平方完成します。

f(x) = (x - a)² - a² + a + 2

Step 2：最小値を求める

二次関数 y = (x - a)² + k は x = a で最小値 k をとります。

したがって、f(x) の最小値は：

最小値 = -a² + a + 2（x = a のとき）

(2) 最小値の最大化

【解法ステップ】

Step 1：最小値を新たな関数とみなす

g(a) = -a² + a + 2 とおくと、この関数の最大値を求める問題になります。

Step 2：平方完成

g(a) = -(a² - a) + 2 = -(a - 1/2)² + 1/4 + 2 = -(a - 1/2)² + 9/4

Step 3：最大値を求める

g(a) は a = 1/2 のとき最大値 9/4 をとります。

a = 1/2 のとき、最小値の最大値は 9/4

(3) 閉区間での最大値

【解法ステップ】

0 ≤ x ≤ 2 における f(x) = (x - a)² - a² + a + 2 の最大値を求めます。

下に凸の放物線なので、最大値は区間の端点 x = 0 または x = 2 で取ります。

Step 1：端点での値を計算

• f(0) = 0 - 0 + a + 2 = a + 2
• f(2) = 4 - 4a + a + 2 = -3a + 6

Step 2：どちらが大きいかを比較

f(0) ≥ f(2) となる条件：

a + 2 ≥ -3a + 6
4a ≥ 4
a ≥ 1

Step 3：場合分けして最大値を求める

M(a) =

・a ≥ 1 のとき：M(a) = a + 2

・a < 1 のとき：M(a) = -3a + 6

別解・発展

グラフを使った視覚的理解

(3)では、頂点 x = a が区間 [0, 2] に対してどこにあるかで場合分けする方法もあります。

• a < 0 のとき：区間内では単調増加 → 最大値は f(2)
• 0 ≤ a ≤ 2 のとき：区間内に頂点がある → 最大値は f(0) と f(2) の大きい方
• a > 2 のとき：区間内では単調減少 → 最大値は f(0)

どの方法でも同じ答えになりますが、問題の状況に応じて使い分けられるようにしておくと良いでしょう。

大問3：図形と方程式（円と直線）

問題

円 C：x² + y² = 4 と直線 ℓ：y = x + k について、次の問いに答えよ。

(1) 円Cと直線ℓが異なる2点で交わるようなkの範囲を求めよ。

(2) (1)の条件のもとで、円Cと直線ℓの2つの交点をP, Qとする。線分PQの長さをkを用いて表せ。

(3) 線分PQの長さが2となるようなkの値を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 円と直線が2点で交わる条件

【解法ステップ】

Step 1：中心から直線までの距離を求める

円C の中心は原点 O(0, 0)、半径は r = 2 です。

直線 ℓ：x - y + k = 0 と原点との距離 d は：

d = |0 - 0 + k| / √(1² + (-1)²) = |k| / √2

Step 2：2点で交わる条件

円と直線が異なる2点で交わる条件は d < r なので：

|k| / √2 < 2
|k| < 2√2
-2√2 < k < 2√2

(2) 弦PQの長さ

【解法ステップ】

円の中心から弦への距離 d、半径 r、弦の長さ PQ の間には次の関係があります：

PQ = 2√(r² - d²)

これに d = |k|/√2、r = 2 を代入：

PQ = 2√(4 - k²/2) = 2√{(8 - k²)/2} = √(16 - 2k²)

または、√2 · √(8 - k²) と書いても同じです。

(3) PQ = 2 となるkの値

【解法ステップ】

PQ = √(16 - 2k²) = 2 より：

16 - 2k² = 4
2k² = 12
k² = 6
k = ±√6

これは (1) の条件 |k| < 2√2 ≈ 2.83 を満たしています（√6 ≈ 2.45）。

別解・発展

別解：連立方程式を解く方法

x² + y² = 4 と y = x + k を連立：

x² + (x + k)² = 4
2x² + 2kx + k² - 4 = 0

この二次方程式の解を α, β とすると、解と係数の関係より：

• α + β = -k
• αβ = (k² - 4)/2

PQ² = (α - β)² + (α + k - β - k)² = 2(α - β)²

= 2{(α + β)² - 4αβ} = 2{k² - 2(k² - 4)} = 2(8 - k²)

よって PQ = √(16 - 2k²)　（同じ結果になります）

大問4：数列（漸化式）

問題

数列 {a_n} は a₁ = 1 で、漸化式 a_n+1 = 3a_n + 2 を満たす。次の問いに答えよ。

(1) 一般項 a_n を求めよ。

(2) Σ_k=1ⁿ a_k を求めよ。

(3) Σ_k=1ⁿ k·a_k を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 一般項を求める

【解法ステップ】

Step 1：漸化式の型を確認

a_n+1 = 3a_n + 2 は「a_n+1 = pa_n + q」型の漸化式です。

Step 2：特性方程式を解く

α = 3α + 2 を解くと：

α - 3α = 2
-2α = 2
α = -1

Step 3：漸化式を変形

元の漸化式から特性方程式を引くと：

a_n+1 - (-1) = 3(a_n - (-1))
a_n+1 + 1 = 3(a_n + 1)

Step 4：等比数列として解く

b_n = a_n + 1 とおくと、b_n+1 = 3b_n は等比数列です。

初項：b₁ = a₁ + 1 = 1 + 1 = 2
公比：3

よって、b_n = 2 · 3^n-1

Step 5：一般項を求める

a_n = b_n - 1 = 2 · 3^n-1 - 1 = 2 · 3^n-1 - 1

または、3^n-1 = 3ⁿ/3 なので、a_n = (2/3) · 3ⁿ - 1 = (2 · 3ⁿ - 3)/3 と書くこともできます。

(2) 数列の和を求める

【解法ステップ】

Step 1：和を式で表す

S_n = Σ_k=1ⁿ a_k = Σ_k=1ⁿ (2 · 3^k-1 - 1)

Step 2：和を分解

S_n = 2 · Σ_k=1ⁿ 3^k-1 - Σ_k=1ⁿ 1

Step 3：各部分を計算

等比数列の和の公式より：

Σ_k=1ⁿ 3^k-1 = (3ⁿ - 1)/(3 - 1) = (3ⁿ - 1)/2

また、Σ_k=1ⁿ 1 = n

Step 4：最終結果

S_n = 2 · (3ⁿ - 1)/2 - n = 3ⁿ - 1 - n

S_n = 3ⁿ - n - 1

(3) Σk·a_k を求める

【解法ステップ】

T_n = Σ_k=1ⁿ k · a_k = Σ_k=1ⁿ k(2 · 3^k-1 - 1) を求めます。

Step 1：和を分解

T_n = 2 · Σ_k=1ⁿ k · 3^k-1 - Σ_k=1ⁿ k

Step 2：Σk を計算

Σ_k=1ⁿ k = n(n+1)/2

Step 3：Σk · 3^k-1 を計算（等比×等差型）

U_n = Σ_k=1ⁿ k · 3^k-1 = 1·1 + 2·3 + 3·9 + 4·27 + ... + n·3^n-1

これは「等比×等差型」の和なので、公比をかけてずらす方法を使います。

U_n = 1·3⁰ + 2·3¹ + 3·3² + ... + n·3^n-1 ... ①
3U_n = 1·3¹ + 2·3² + 3·3³ + ... + n·3ⁿ ... ②

① - ② を計算：

U_n - 3U_n = 3⁰ + 3¹ + 3² + ... + 3^n-1 - n·3ⁿ
-2U_n = (3ⁿ - 1)/(3 - 1) - n·3ⁿ
-2U_n = (3ⁿ - 1)/2 - n·3ⁿ
-2U_n = (3ⁿ - 1 - 2n·3ⁿ)/2
-2U_n = (3ⁿ(1 - 2n) - 1)/2
U_n = (3ⁿ(2n - 1) + 1)/4

Step 4：最終結果

T_n = 2U_n - n(n+1)/2
= 2 · (3ⁿ(2n - 1) + 1)/4 - n(n+1)/2
= (3ⁿ(2n - 1) + 1)/2 - n(n+1)/2
= {3ⁿ(2n - 1) + 1 - n(n+1)}/2

T_n = {(2n - 1)·3ⁿ - n² - n + 1}/2

別解・発展

別解：漸化式を直接使う方法

(2)について、漸化式 a_n+1 = 3a_n + 2 を利用する方法もあります。

S_n+1 - S_n = a_n+1 = 3a_n + 2 という関係から、S_n に関する漸化式を導くこともできます。

発展：一般の漸化式への応用

a_n+1 = pa_n + f(n) の形の漸化式では、f(n) の形によって解法が変わります。

• f(n) = q（定数）→ 特性方程式法
• f(n) = rⁿ → 両辺を rⁿ⁺¹ で割る
• f(n) = 多項式 → 特殊解を推測して代入

この年度の重要テーマと対策

2010年度の出題傾向分析

2010年度の小樽商科大学数学を振り返ると、以下のような特徴が見られました。

1. 計算力重視の出題

どの問題も、特別な発想よりも正確な計算力が求められる内容でした。特に大問1(3)の階乗の素因数分解や、大問4(3)の等比×等差型の和は、計算量が多く、ミスなく最後まで解ききる力が試されました。

2. 基本公式の確実な理解

• 二次関数の平方完成と最大・最小
• 円と直線の位置関係（点と直線の距離公式）
• 等比数列の和の公式
• 漸化式の基本的な解法

これらは全て教科書レベルの内容ですが、確実に使いこなせることが求められています。

3. 場合分けの正確さ

大問2(3)のように、パラメータの値によって場合分けが必要な問題が出題されました。場合分けの境界を正確に求め、漏れなく記述する力が重要です。

小樽商科大学 数学対策のポイント

年号にちなんだ問題への対応

2010年度の「2010!」のように、年号にちなんだ問題が出題されることがあります。2024年度入試なら「2024」に関連した問題、2025年度なら「2025 = 45² = 81×25 = 3⁴×5²」などの性質を使った問題が出る可能性があります。受験年度の数字の性質を事前に調べておくと、本番で焦らずに対応できるでしょう。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2010年度の問題で学んだ内容を定着させるため、類似問題を3問用意しました。ぜひ挑戦してみてください！

練習問題1：階乗の素因数分解

練習問題2：円と直線

練習問題3：漸化式と数列の和

日本数学塾・数強塾で小樽商科大学合格を目指そう

ここまで2010年度の小樽商科大学数学を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

小樽商科大学の数学は、基本に忠実な出題が特徴です。しかし、「基本だから簡単」というわけではありません。基本をどれだけ深く理解し、正確に使いこなせるかが合否を分けます。

日本数学塾・数強塾の特徴

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最後に

小樽商科大学は、北海道で経済・経営・商学を学びたい学生にとって最高の環境が整った大学です。100年以上の歴史を持ち、多くの優秀な人材を輩出してきました。

数学の入試対策は、正しい方法で継続すれば必ず成果が出ます。この記事で解説した内容を参考に、ぜひ合格を勝ち取ってください！

分からないことがあれば、いつでも数強塾・日本数学塾にご相談ください。皆さんの合格を心から応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介