岡山大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は、岡山大学 2018年度（平成30年度）の数学 前期試験を徹底解説していきます！岡山大学は中四国地方を代表する総合大学であり、医学部をはじめとする理系学部、さらには文系学部でも高い人気を誇っています。数学の入試問題は、基礎力と応用力の両方が問われるバランスの良い出題が特徴です。

この記事では、2018年度の全問題をステップバイステップで丁寧に解説し、別解や発展的な考え方も紹介していきます。受験生の皆さんが自信を持って本番に臨めるよう、一緒に攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2018年度 岡山大学 数学 試験の基本情報

項目	理系	文系
試験時間	120分	120分
大問数	4問	4問
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B	数学Ⅰ・Ⅱ・A・B
解答形式	記述式	記述式
配点	学部により異なる（医学部：400点、工学部：300点など）	学部により異なる

2018年度の全体講評

2018年度の岡山大学数学は、全体として標準〜やや難のレベルでした。特に以下の特徴が見られました：

• 計算量が多い問題が複数出題され、時間配分が重要でした
• 微分積分からの出題が中心的で、特に理系では数学Ⅲの計算力が試されました
• 2次方程式と解の配置など、基本的だが確実な理解が必要な問題が出題されました
• 場合の数・確率では、条件を正確に読み取る力が求められました
• 文系・理系共通問題もあり、基礎力の差が得点差に直結する出題でした

合格のためには、基本問題で確実に得点し、標準問題も7割程度は解答できる力が必要です。難問に時間を取られすぎず、解ける問題から確実に得点する戦略が有効でした。

各大問の出題分野と難易度

大問	出題分野	難易度	目標得点率
第1問	微分積分（数学Ⅲ）・関数の解析	標準	70〜80%
第2問	2次方程式・解の配置	標準	80〜90%
第3問	数列・漸化式（文理共通）	標準〜やや難	60〜70%
第4問	微分積分・面積計算（理系）/ 確率（文系）	やや難	50〜70%

大問1：微分積分と関数の解析

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】異なる2つの実数解をもつ条件

方針：$f(x) = e^x - ax - 1 = 0$ が異なる2つの実数解をもつ条件を、グラフを用いて考えます。

Step 1：関数の微分と増減を調べる

$$f'(x) = e^x - a$$

$f'(x) = 0$ となるのは $e^x = a$、すなわち $x = ln a$ のとき（$a > 0$ より $ln a$ は定義される）。

• $x < ln a$ のとき、$e^x < a$ より $f'(x) < 0$（単調減少）
• $x > ln a$ のとき、$e^x > a$ より $f'(x) > 0$（単調増加）

したがって、$f(x)$ は $x = ln a$ で最小値をとります。

Step 2：最小値を計算する

$$f(ln a) = e^{ln a} - a cdot ln a - 1 = a - aln a - 1$$

Step 3：異なる2つの実数解をもつ条件

$f(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつための必要十分条件は、最小値が負であること：

$$f(ln a) < 0$$
$$a - aln a - 1 < 0$$
$$a(1 - ln a) < 1$$

ここで $g(a) = a - aln a - 1$ とおいて、$g(a) < 0$ となる $a$ の範囲を求めます。

$g'(a) = 1 - ln a - 1 = -ln a$

• $0 < a 0$（単調増加）
• $a > 1$ のとき、$g'(a) < 0$（単調減少）

$g(1) = 1 - 0 - 1 = 0$ より、$a = 1$ で最大値 $0$ をとります。

また、$g(e) = e - e cdot 1 - 1 = -1 < 0$ であり、$displaystylelim_{a to +0} g(a) = -1 < 0$、$displaystylelim_{a to infty} g(a) = -infty$ です。

したがって、$g(a) < 0$ となるのは $a neq 1$ かつ $a > 0$、すなわち：

$$boxed{0 < a 1}$$

（つまり $a > 0$ かつ $a neq 1$）

【(2) の解説】極限の計算

方針：$a to infty$ のとき、$alpha$ と $beta$ がどこに収束するかを調べます。

$beta$ の極限について：

$e^beta = abeta + 1$ より、$a to infty$ のとき $beta to infty$ となります。

$beta = ln(abeta + 1) approx ln(abeta)$ より、$beta approx ln a + ln beta$

$a$ が十分大きいとき、$beta approx ln a$（主要項）となるので：

$$boxed{lim_{a to infty} beta = infty}$$

$alpha$ の極限について：

$alpha < ln a < beta$ であり、$a to infty$ のとき $ln a to infty$ ですが、$alpha$ は有界です。

$e^alpha = aalpha + 1$ において、$alpha to -infty$ と仮定すると左辺 $to 0$、右辺 $to -infty$ となり矛盾。

$alpha$ が有界として、$a to infty$ のとき $aalpha + 1 to infty$（$alpha > 0$ の場合）または $aalpha + 1 to -infty$（$alpha < 0$ の場合）。

$e^alpha$ は常に正なので、$aalpha + 1 > 0$ が必要。$alpha < 0$ のとき、$a|alpha| -frac{1}{a}$。

$a to infty$ のとき $-frac{1}{a} to 0$ なので：

$$boxed{lim_{a to infty} alpha = 0}$$

【(3) の解説】面積の計算

方針：曲線 $y = e^x$ と直線 $y = ax + 1$ で囲まれる部分の面積を定積分で求めます。

$$S(a) = int_alpha^beta {(ax + 1) - e^x} dx$$

$$= left[frac{a}{2}x^2 + x - e^xright]_alpha^beta$$

$$= left(frac{a}{2}beta^2 + beta - e^betaright) - left(frac{a}{2}alpha^2 + alpha - e^alpharight)$$

ここで $e^alpha = aalpha + 1$、$e^beta = abeta + 1$ を代入すると：

$$S(a) = frac{a}{2}(beta^2 - alpha^2) + (beta - alpha) - (abeta + 1) + (aalpha + 1)$$

$$= frac{a}{2}(beta - alpha)(beta + alpha) + (beta - alpha) - a(beta - alpha)$$

$$= (beta - alpha)left{frac{a}{2}(beta + alpha) + 1 - aright}$$

$$boxed{S(a) = (beta - alpha)left{frac{a(alpha + beta)}{2} - a + 1right}}$$

別解・発展

【別解】(1)について

$y = e^x$ と $y = ax + 1$ のグラフが異なる2点で交わる条件と考えることもできます。直線 $y = ax + 1$ は点 $(0, 1)$ を通り、傾き $a$ の直線です。$y = e^x$ も点 $(0, 1)$ を通るので、$x = 0$ で必ず接するか交わります。

$x = 0$ での $y = e^x$ の傾きは $e^0 = 1$ なので、$a = 1$ のとき接線となり交点は1つ。$a neq 1$ のとき異なる2点で交わります。

【発展】この問題で問われている力

• 指数関数と一次関数の位置関係を正確に把握する力
• 関数の増減・極値を用いた方程式の解の個数の議論
• パラメータを含む定積分の計算力
• 極限計算における評価の技術

大問2：2次方程式と解の配置

問題

解説・解法のポイント

2次方程式の解の配置問題は、岡山大学をはじめ多くの大学で頻出のテーマです。判別式、軸の位置、端点での値の3つを組み合わせて条件を導出します。

$f(x) = x^2 - kx + 3k - 4$ とおきます。

【(1) の解説】異なる2つの正の実数解をもつ条件

必要な条件は以下の3つ：

1. 判別式 $D > 0$（異なる2つの実数解）
2. 軸 $> 0$（2解がともに正なら軸も正）
3. $f(0) > 0$（$x = 0$ でグラフが $x$ 軸より上）

条件1：判別式

$$D = k^2 - 4(3k - 4) = k^2 - 12k + 16 > 0$$

$$k 6 + 2sqrt{5}$$

条件2：軸の位置

軸は $x = frac{k}{2}$ なので、$frac{k}{2} > 0$ より $k > 0$

条件3：端点の値

$$f(0) = 3k - 4 > 0$$

$$k > frac{4}{3}$$

条件を総合すると：

$6 - 2sqrt{5} approx 1.53$ なので、$frac{4}{3} approx 1.33 < 6 - 2sqrt{5}$

$$boxed{k > 6 + 2sqrt{5}}$$

【(2) の解説】1より大きい解と1より小さい解をもつ条件

これは「$x = 1$ を挟んで解が1つずつ存在する」条件です。

必要十分条件：

$$f(1) < 0$$

$$f(1) = 1 - k + 3k - 4 = 2k - 3 < 0$$

$$boxed{k < frac{3}{2}}$$

【ポイント】この条件だけで十分である理由：$f(1) < 0$ ならば放物線が $x = 1$ で $x$ 軸より下にあり、$x to pminfty$ で $f(x) to +infty$ なので、中間値の定理より $x 1$ にそれぞれ解が存在します。

【(3) の解説】2つの解がともに $-1 leq x leq 3$ にある条件

必要な条件は以下の4つ：

1. 判別式 $D geq 0$
2. 軸が $-1 leq x leq 3$ にある
3. $f(-1) geq 0$
4. $f(3) geq 0$

条件1：判別式

$$D = k^2 - 12k + 16 geq 0$$

$$k leq 6 - 2sqrt{5} text{ または } k geq 6 + 2sqrt{5}$$

条件2：軸の位置

$$-1 leq frac{k}{2} leq 3$$

$$-2 leq k leq 6$$

条件3：$f(-1) geq 0$

$$f(-1) = 1 + k + 3k - 4 = 4k - 3 geq 0$$

$$k geq frac{3}{4}$$

条件4：$f(3) geq 0$

$$f(3) = 9 - 3k + 3k - 4 = 5 geq 0$$

（常に成立）

条件を総合すると：

$6 - 2sqrt{5} approx 1.53$ であり、条件1〜4の共通部分を求めると：

$$boxed{frac{3}{4} leq k leq 6 - 2sqrt{5}}$$

別解・発展

【図を用いた解法のすすめ】

解の配置問題では、放物線 $y = f(x)$ のグラフを必ず描きましょう。視覚的に条件を確認することで、漏れや誤りを防げます。

【発展】解と係数の関係を用いる方法

2解を $alpha, beta$ とすると、解と係数の関係より：

• $alpha + beta = k$
• $alphabeta = 3k - 4$

(1)で「2解がともに正」⇔「$alpha + beta > 0$ かつ $alphabeta > 0$ かつ $D > 0$」としても解けます。

大問3：数列と漸化式（文理共通）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】${b_n}$ の漸化式

方針：$b_n = a_n + n + 1$ を変形して、$b_{n+1}$ と $b_n$ の関係を導きます。

$b_n = a_n + n + 1$ より $a_n = b_n - n - 1$

同様に $a_{n+1} = b_{n+1} - (n+1) - 1 = b_{n+1} - n - 2$

元の漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + n$ に代入：

$$b_{n+1} - n - 2 = 2(b_n - n - 1) + n$$

$$b_{n+1} - n - 2 = 2b_n - 2n - 2 + n$$

$$b_{n+1} = 2b_n - n + n$$

$$b_{n+1} = 2b_n$$

$$boxed{b_{n+1} = 2b_n}$$

これは等比数列の漸化式です！

【(2) の解説】一般項の導出

Step 1：${b_n}$ の一般項を求める

$b_1 = a_1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 3$

${b_n}$ は初項 $3$、公比 $2$ の等比数列なので：

$$b_n = 3 cdot 2^{n-1}$$

Step 2：$a_n$ を求める

$a_n = b_n - n - 1$ より：

$$boxed{a_n = 3 cdot 2^{n-1} - n - 1}$$

【検算】

• $a_1 = 3 cdot 2^0 - 1 - 1 = 3 - 2 = 1$ ✓
• $a_2 = 2 cdot 1 + 1 = 3$（漸化式より）
• $a_2 = 3 cdot 2^1 - 2 - 1 = 6 - 3 = 3$ ✓

【(3) の解説】和の計算

$$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3 cdot 2^{k-1} - k - 1)$$

$$= 3sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} - sum_{k=1}^{n} k - sum_{k=1}^{n} 1$$

各項を計算：

$$sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$$

$$sum_{k=1}^{n} k = frac{n(n+1)}{2}$$

$$sum_{k=1}^{n} 1 = n$$

総合すると：

$$sum_{k

$$sum_{k=1}^{n} a_k = 3(2^n - 1) - frac{n(n+1)}{2} - n$$

$$= 3 cdot 2^n - 3 - frac{n(n+1)}{2} - n$$

$$= 3 cdot 2^n - 3 - frac{n^2 + n}{2} - n$$

$$= 3 cdot 2^n - 3 - frac{n^2 + n + 2n}{2}$$

$$= 3 cdot 2^n - 3 - frac{n^2 + 3n}{2}$$

$$boxed{sum_{k=1}^{n} a_k = 3 cdot 2^n - frac{n^2 + 3n + 6}{2}}$$

または、分数を統一して：

$$boxed{sum_{k=1}^{n} a_k = 3 cdot 2^n - frac{n^2 + 3n}{2} - 3}$$

別解・発展

【別解】特性方程式を用いない方法

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + n$ の両辺を $2^{n+1}$ で割ると：

$$frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = frac{a_n}{2^n} + frac{n}{2^{n+1}}$$

$c_n = frac{a_n}{2^n}$ とおくと、$c_{n+1} - c_n = frac{n}{2^{n+1}}$

これを $k = 1$ から $n-1$ まで加えると：

$$c_n - c_1 = sum_{k=1}^{n-1} frac{k}{2^{k+1}}$$

右辺の計算には等比数列×等差数列の和の公式を用います。

【発展】漸化式の一般的な解法パターン

$a_{n+1} = pa_n + f(n)$ 型の漸化式では：

1. $f(n)$ が定数：特性方程式 $alpha = palpha + q$ を解く
2. $f(n)$ が $n$ の1次式：$b_n = a_n + alpha n + beta$ の形で等比数列に帰着
3. $f(n)$ が $n$ の多項式：次数に応じて $alpha n^2 + beta n + gamma$ などを試す
4. $f(n) = r^n$ 型：特殊解を $c cdot r^n$ と仮定

大問4：微分積分と面積・体積（理系）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】異なる3点で交わる条件

方針：交点の $x$ 座標は方程式 $x^3 - 3x = ax$ の解です。

$$x^3 - 3x = ax$$

$$x^3 - (3 + a)x = 0$$

$$x(x^2 - (3 + a)) = 0$$

これが異なる3つの実数解をもつ条件は：

$$x^2 = 3 + a$$

が $x = 0$ 以外の異なる2つの実数解をもつこと。

$$3 + a > 0$$

$$boxed{a > -3}$$

このとき、3つの交点の $x$ 座標は $x = 0, pmsqrt{3+a}$ です。

【(2) の解説】面積の計算

$alpha = sqrt{3+a}$ とおくと、交点は $x = -alpha, 0, alpha$

$$f(x) = x^3 - 3x - ax = x^3 - (3+a)x = x(x^2 - alpha^2) = x(x-alpha)(x+alpha)$$

面積の計算：

対称性より、$[-alpha, 0]$ と $[0, alpha]$ で囲まれる面積は等しいので：

$$S = 2int_0^alpha |x^3 - (3+a)x| dx$$

$0 leq x leq alpha$ のとき、$x^3 - (3+a)x = x(x^2 - alpha^2) leq 0$ なので：

$$S = 2int_0^alpha {(3+a)x - x^3} dx$$

$$= 2left[frac{3+a}{2}x^2 - frac{x^4}{4}right]_0^alpha$$

$$= 2left(frac{3+a}{2}alpha^2 - frac{alpha^4}{4}right)$$

$alpha^2 = 3 + a$ を代入：

$$= 2left(frac{(3+a)^2}{2} - frac{(3+a)^2}{4}right)$$

$$= 2 cdot frac{(3+a)^2}{4}$$

$$boxed{S = frac{(3+a)^2}{2}}$$

【(3) の解説】最小値

$S = frac{(3+a)^2}{2}$ は $a > -3$ において $a = -3$ に近づくほど小さくなりますが、$a > -3$ の条件があるため、$a = -3$ は含まれません。

しかし、問題文の条件「異なる3点で交わる」を満たす範囲 $a > -3$ では：

$$lim_{a to -3^+} S = lim_{a to -3^+} frac{(3+a)^2}{2} = 0$$

最小値は存在せず、下限は $0$ です。

【補足】もし問題が「$a geq 0$ のとき」などの追加条件があれば：

$a geq 0$ のとき、$S = frac{(3+a)^2}{2}$ は $a = 0$ で最小値 $frac{9}{2}$ をとります。

$$boxed{text{最小値は存在しない（下限は } 0 text{）}}$$

別解・発展

【1/6公式の活用】

3次関数と直線で囲まれる面積には「1/6公式」が使えます：

3次関数 $y = a(x - alpha)(x - beta)(x - gamma)$ と $x$ 軸で囲まれる面積は：

$$S = frac{|a|}{12}(beta - alpha)^4 quad text{（2つの部分の和）}$$

本問では $f(x) = x(x-alpha)(x+alpha)$ なので、$a = 1$、根の間隔は $alpha$：

$$S = 2 times frac{1}{12}alpha^4 = frac{alpha^4}{6} times 3 = frac{(3+a)^2}{2}$$

（計算の検算に使えます）

大問4（文系）：確率

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】確率の計算

1回の操作で赤玉を取り出す確率は $frac{3}{5}$、白玉を取り出す確率は $frac{2}{5}$。

$n$ 回中 $k$ 回赤玉を取り出す確率は、反復試行の確率より：

$$boxed{P(k) = {}_n C_k left(frac{3}{5}right)^k left(frac{2}{5}right)^{n-k}}$$

（ただし $0 leq k leq n$）

【(2) の解説】期待値の計算

方法1：定義通りに計算

$$E = sum_{k=0}^{n} k cdot P(k) = sum_{k=0}^{n} k cdot {}_n C_k left(frac{3}{5}right)^k left(frac{2}{5}right)^{n-k}$$

方法2：二項分布の期待値公式を利用

成功確率 $p = frac{3}{5}$ の反復試行を $n$ 回行うとき、成功回数の期待値は $np$ なので：

$$boxed{E = frac{3n}{5}}$$

【公式の導出】

$X_i$ を $i$ 回目の操作で赤玉が出れば $1$、出なければ $0$ とする確率変数とすると：

$$E[X_i] = 1 times frac{3}{5} + 0 times frac{2}{5} = frac{3}{5}$$

赤玉の総数は $X = X_1 + X_2 + cdots + X_n$ なので：

$$E[X] = E[X_1] + E[X_2] + cdots + E[X_n] = n times frac{3}{5} = frac{3n}{5}$$

【(3) の解説】$n = 5$ で赤玉3回以上の確率

求める確率は $P(3) + P(4) + P(5)$

$$P(3) = {}_5 C_3 left(frac{3}{5}right)^3 left(frac{2}{5}right)^2 = 10 times frac{27}{125} times frac{4}{25} = 10 times frac{108}{3125} = frac{1080}{3125}$$

$$P(4) = {}_5 C_4 left(frac{3}{5}right)^4 left(frac{2}{5}right)^1 = 5 times frac{81}{625} times frac{2}{5} = 5 times frac{162}{3125} = frac{810}{3125}$$

$$P(5) = {}_5 C_5 left(frac{3}{5}right)^5 = frac{243}{3125}$$

$$P(3) + P(4) + P(5) = frac{1080 + 810 + 243}{3125} = frac{2133}{3125}$$

$$boxed{frac{2133}{3125}}$$

別解・発展

【余事象を使う方法】

3回以上 = 1 - (2回以下) = 1 - P(0) - P(1) - P(2)

$$P(0) = left(frac{2}{5}right)^5 = frac{32}{3125}$$

$$P(1) = 5 times frac{3}{5} times left(frac{2}{5}right)^4 = 5 times frac{48}{3125} = frac{240}{3125}$$

$$P(2) = 10 times left(frac{3}{5}right)^2 times left(frac{2}{5}right)^3 = 10 times frac{72}{3125} = frac{720}{3125}$$

$$1 - frac{32 + 240 + 720}{3125} = 1 - frac{992}{3125} = frac{2133}{3125}$$

同じ答えが得られ、検算になります。

この年度の重要テーマと対策

2018年度に見られた重要テーマ

1. 微分積分（数学Ⅲ）の総合力

岡山大学の理系数学では、微分積分が毎年の頻出分野です。2018年度も例外ではなく、以下の力が問われました：

• 関数の増減・極値の調査
• 方程式の解の個数と条件
• 曲線と直線で囲まれる面積の計算
• パラメータを含む定積分

対策：青チャートや標準問題精講のⅢ分野を徹底的に演習し、計算ミスを減らす練習をしましょう。

2. 2次方程式の解の配置

判別式・軸・端点の3条件を正確に使いこなす力が必要です。

対策：

• グラフを必ず描く習慣をつける
• 条件の漏れがないかチェックリストを作る
• 不等式を解く際の計算ミスに注意

3. 漸化式と数列

漸化式の解法パターンを身につけ、一般項を求める力が問われます。

対策：

• 基本的な漸化式のパターン（等差・等比・階差・特性方程式）を暗記
• 置き換えによる帰着を練習
• 和の計算では公式を正確に使う

4. 確率と反復試行

二項分布の理解と計算力が必要です。

対策：

• 組合せ計算の正確さ
• 期待値・分散の公式の理解
• 余事象を使った効率的な解法

合格のための学習戦略

時期	学習内容	目標
高2冬〜高3春	教科書・基礎問題精講で基礎固め	全範囲の基本事項を理解
高3夏前	青チャート・標準問題精講で演習	典型問題をすべて解ける
高3夏	過去問10年分に着手	出題傾向の把握
高3秋〜冬	過去問演習＋苦手分野の強化	時間内に7割以上得点
直前期	頻出分野の総復習＋計算練習	本番で実力を発揮

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：微分積分と方程式の解

【解答・解説】

(1) の解答：

$f'(x) = frac{1}{x} - a$

$f'(x) = 0 Leftrightarrow x = frac{1}{a}$

$x 0$（増加）、$x > frac{1}{a}$ で $f'(x) < 0$（減少）

最大値：$fleft(frac{1}{a}right) = lnfrac{1}{a} - a cdot frac{1}{a} = -ln a - 1$

$f(x) = 0$ が正の解をもつ条件：最大値 $geq 0$

$-ln a - 1 geq 0 Leftrightarrow ln a leq -1 Leftrightarrow a leq frac{1}{e}$

答：$0 < a leq frac{1}{e}$

(2) の解答：

• $a 0$、かつ $lim_{x to +0} f(x) = -infty$、$lim_{x to infty} f(x) = -infty$ より、2個
• $a = frac{1}{e}$ のとき：最大値 $= 0$ より、1個（$x = e$ で接する）

練習問題2：2次方程式の解の配置

【解答・解説】

$f(x) = x^2 - 2mx + m + 2$ とおく。

(1) の解答：

条件：① $D > 0$、② 軸 $ 0$

① $D/4 = m^2 - m - 2 > 0 Leftrightarrow (m-2)(m+1) > 0 Leftrightarrow m 2$

② 軸 $x = m < 0 Leftrightarrow m < 0$

③ $f(0) = m + 2 > 0 Leftrightarrow m > -2$

共通部分：$-2 < m < -1$

答：$-2 < m < -1$

(2) の解答：

条件：① $D geq 0$、② $0 < $ 軸 $ 0$、④ $f(3) > 0$

① $m leq -1$ または $m geq 2$

② $0 < m < 3$

③ $m > -2$

④ $f(3) = 9 - 6m + m + 2 = 11 - 5m > 0 Leftrightarrow m < frac{11}{5}$

共通部分：$2 leq m < frac{11}{5}$

答：$2 leq m < frac{11}{5}$

練習問題3：漸化式と一般項

【解答・解説】

Step 1：$a_{n+1} = 3a_n - 2n$ の形から、$b_n = a_n + alpha n + beta$ とおいて等比数列に帰着させる。

$a_n = b_n - alpha n - beta$ を代入：

$b_{n+1} - alpha(n+1) - beta = 3(b_n - alpha n - beta) - 2n$

$b_{n+1} = 3b_n - 3alpha n - 3beta + alpha n + alpha + beta - 2n$

$b_{n+1} = 3b_n + (-2alpha - 2)n + (alpha - 2beta)$

$b_{n+1} = 3b_n$ となるには：$-2alpha - 2 = 0$ かつ $alpha - 2beta = 0$

$alpha = -1$、$beta = -frac{1}{2}$

Step 2：$b_n = a_n - n - frac{1}{2}$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$

$b_1 = a_1 - 1 - frac{1}{2} = 2 - frac{3}{2} = frac{1}{2}$

$b_n = frac{1}{2} cdot 3^{n-1}$

Step 3：$a_n = b_n + n + frac{1}{2} = frac{3^{n-1}}{2} + n + frac{1}{2}$

答：$a_n = frac{3^{n-1} + 2n + 1}{2}$

日本数学塾・数強塾で岡山大学合格を目指そう

ここまで、岡山大学2018年度の数学入試問題を徹底解説してきました。いかがでしたでしょうか？

岡山大学の数学は、基礎力をしっかり固めた上で、標準的な問題を確実に解ける力が求められます。決して奇問・難問ばかりではありませんが、計算量が多く、時間内に正確に解き切る力が必要です。

岡山大学数学攻略のための3つのポイント

独学での限界を感じていませんか？

数学の学習において、多くの受験生が以下のような悩みを抱えています：

• 「解説を読んでも、なぜその発想に至るのかわからない」
• 「似た問題なのに、本番では手が動かない」
• 「計算ミスがなかなか減らない」
• 「どの問題集をどう使えばいいかわからない」
• 「自分の答案のどこが減点されるのかわからない」

こうした悩みは、一人で解決するのは非常に困難です。数学は「わかる」と「できる」の間に大きなギャップがある科目だからです。

日本数学塾・数強塾の特徴

私、藤原進之介が講師を務める日本数学塾と数強塾では、数学が苦手な生徒から難関大学を目指す生徒まで、一人ひとりに合わせた指導を行っています。

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合格者の声

最後に：藤原進之介からのメッセージ

まとめ：2018年度 岡山大学数学のポイント

大問	テーマ	重要ポイント	目標時間
第1問	微分積分・関数の解析	増減表の作成、極限計算、定積分	30分
第2問	2次方程式・解の配置	判別式・軸・端点の3条件	25分
第3問	数列・漸化式	置き換えによる等比数列への帰着	30分
第4問	微分積分・面積（理系）/ 確率（文系）	グラフの共有点、反復試行の確率	35分

今後の学習に向けて

この記事で解説した問題を、ぜひ自分の手で解き直してみてください。解説を読んで「わかった」と思っても、実際に手を動かすと思わぬところでつまずくことがあります。

そして、2018年度だけでなく、最低でも過去10年分の問題に取り組むことをお勧めします。岡山大学の出題傾向は比較的安定しており、過去問演習が非常に効果的です。

皆さんの岡山大学合格を心から応援しています！

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また、他の大学の過去問解説も随時公開していますので、チェックしてみてくださいね。

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