新潟大学 2014年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

【(1) の答え】$overrightarrow{OM} = dfrac{vec{a} + vec{b}}{2}$

■ (2) $|overrightarrow{CM}|$ を求める

$overrightarrow{CM} = overrightarrow{OM} - overrightarrow{OC} = frac{vec{a} + vec{b}}{2} - vec{c}$

$|overrightarrow{CM}|^2$ を計算します：

$|overrightarrow{CM}|^2 = left|frac{vec{a} + vec{b}}{2} - vec{c}right|^2$

$= frac{1}{4}|vec{a} + vec{b}|^2 - (vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} + |vec{c}|^2$

$= frac{1}{4}(|vec{a}|^2 + 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{b}|^2) - vec{a} cdot vec{c} - vec{b} cdot vec{c} + |vec{c}|^2$

各値を代入：

• $|vec{a}|^2 = 4$
• $|vec{b}|^2 = 9$
• $|vec{c}|^2 = 16$
• $vec{a} cdot vec{b} = 3$
• $vec{a} cdot vec{c} = 4$
• $vec{b} cdot vec{c} = 6$

$|overrightarrow{CM}|^2 = frac{1}{4}(4 + 6 + 9) - 4 - 6 + 16$

$= frac{19}{4} - 10 + 16 = frac{19}{4} + 6 = frac{19 + 24}{4} = frac{43}{4}$

【(2) の答え】$|overrightarrow{CM}| = dfrac{sqrt{43}}{2}$

■ (3) 三角形 $ABC$ の面積

$overrightarrow{AB} = vec{b} - vec{a}$、$overrightarrow{AC} = vec{c} - vec{a}$ として、面積公式を使います。

三角形の面積 $= frac{1}{2}sqrt{|overrightarrow{AB}|^2 |overrightarrow{AC}|^2 - (overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC})^2}$

まず各値を計算：

$|overrightarrow{AB}|^2 = |vec{b} - vec{a}|^2 = |vec{b}|^2 - 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{a}|^2 = 9 - 6 + 4 = 7$

$|overrightarrow{AC}|^2 = |vec{c} - vec{a}|^2 = |vec{c}|^2 - 2vec{a} cdot vec{c} + |vec{a}|^2 = 16 - 8 + 4 = 12$

$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = (vec{b} - vec{a}) cdot (vec{c} - vec{a})$

$= vec{b} cdot vec{c} - vec{b} cdot vec{a} - vec{a} cdot vec{c} + |vec{a}|^2$

$= 6 - 3 - 4 + 4 = 3$

よって：

$S_{triangle ABC} = frac{1}{2}sqrt{7 times 12 - 9} = frac{1}{2}sqrt{84 - 9} = frac{1}{2}sqrt{75} = frac{5sqrt{3}}{2}$

【(3) の答え】$S_{triangle ABC} = dfrac{5sqrt{3}}{2}$

■ (4) 四面体 $OABC$ の体積

四面体の体積はスカラー三重積を用いて：

$V = frac{1}{6}|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}|$

スカラー三重積の2乗は行列式を用いて計算できます：

$|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}|^2 = begin{vmatrix} vec{a} cdot vec{a} & vec{a} cdot vec{b} & vec{a} cdot vec{c} \ vec{b} cdot vec{a} & vec{b} cdot vec{b} & vec{b} cdot vec{c} \ vec{c} cdot vec{a} & vec{c} cdot vec{b} & vec{c} cdot vec{c} end{vmatrix}$

$= begin{vmatrix} 4 & 3 & 4 \ 3 & 9 & 6 \ 4 & 6 & 16 end{vmatrix}$

行列式を展開：

$= 4(9 times 16 - 6 times 6) - 3(3 times 16 - 6 times 4) + 4(3 times 6 - 9 times 4)$

$= 4(144 - 36) - 3(48 - 24) + 4(18 - 36)$

$= 4 times 108 - 3 times 24 + 4 times (-18)$

$= 432 - 72 - 72$

$= 288$

$|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}| = sqrt{288} = 12sqrt{2}$

$V = frac{1}{6} times 12sqrt{2} = 2sqrt{2}$

【(4) の答え】$V = 2sqrt{2}$

別解・発展

【別解：体積を底面積×高さで求める】

三角形 $ABC$ を底面として、頂点 $O$ から底面への垂線の長さ $h$ を求める方法もあります。

$V = frac{1}{3} times S_{triangle ABC} times h$

$2sqrt{2} = frac{1}{3} times frac{5sqrt{3}}{2} times h$

$h = frac{12sqrt{2}}{5sqrt{3}} = frac{12sqrt{6}}{15} = frac{4sqrt{6}}{5}$

【発展】

この問題では、グラム行列式（Gram determinant）を用いています。3つのベクトルの内積行列の行列式の平方根が平行六面体の体積に対応し、その $frac{1}{6}$ が四面体の体積となります。

大問4：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

この問題は「状態遷移と漸化式」の典型問題です。$S_n$ を3で割った余りで状態を分類するのがポイントです。

■ (1) $p_1$、$p_2$ を求める

$p_1$ の計算：

$S_1 = X_1$ が3の倍数となるのは、$X_1 = 3$ または $X_1 = 6$ のとき。

$p_1 = frac{2}{6} = frac{1}{3}$

$p_2$ の計算：

$S_2 = X_1 + X_2$ が3の倍数となる場合を数えます。

$X_1$ を3で割った余りで分類：

• 余り0（$X_1 = 3, 6$）：確率 $frac{2}{6} = frac{1}{3}$
• 余り1（$X_1 = 1, 4$）：確率 $frac{2}{6} = frac{1}{3}$
• 余り2（$X_1 = 2, 5$）：確率 $frac{2}{6} = frac{1}{3}$

$S_2$ が3の倍数となるのは：

• $X_1 equiv 0$、$X_2 equiv 0 pmod{3}$
• $X_1 equiv 1$、$X_2 equiv 2 pmod{3}$
• $X_1 equiv 2$、$X_2 equiv 1 pmod{3}$

$p_2 = frac{1}{3} times frac{1}{3} + frac{1}{3} times frac{1}{3} + frac{1}{3} times frac{1}{3} = frac{1}{9} + frac{1}{9} + frac{1}{9} = frac{3}{9} = frac{1}{3}$

【(1) の答え】$p_1 = dfrac{1}{3}$、$p_2 = dfrac{1}{3}$

■ (2) 漸化式を立てる

$S_n$ を3で割った余りで状態を分類します。

• $q_n$：$S_n equiv 1 pmod{3}$ である確率
• $r_n$：$S_n equiv 2 pmod{3}$ である確率

$p_n + q_n + r_n = 1$ です。

対称性より $q_n = r_n$ が成り立ちます（証明：$X_i$ を $7 - X_i$ に置き換えると、余り1と余り2が入れ替わるが、分布は同じ）。

よって $q_n = r_n = frac{1 - p_n}{2}$

$S_{n+1} equiv 0 pmod{3}$ となるのは：

• $S_n equiv 0$ かつ $X_{n+1} equiv 0$：確率 $p_n times frac{1}{3}$
• $S_n equiv 1$ かつ $X_{n+1} equiv 2$：確率 $q_n times frac{1}{3}$
• $S_n equiv 2$ かつ $X_{n+1} equiv 1$：確率 $r_n times frac{1}{3}$

$p_{n+1} = frac{1}{3}p_n + frac{1}{3}q_n + frac{1}{3}r_n = frac{1}{3}(p_n + q_n + r_n) = frac{1}{3}$

あれ？これだと $p_{n+1} = frac{1}{3}$ で一定になってしまいます。

実際、各余りに対応する目の数が等しい（余り0：3,6、余り1：1,4、余り2：2,5でそれぞれ2個ずつ）ため、どの状態からも次に各余りになる確率が等しく $frac{1}{3}$ です。

したがって、任意の $n$ に対して $p_n = frac{1}{3}$ となります。

しかし、問題の趣旨を考えると、もう少し複雑な漸化式を期待しているかもしれません。問題文を再解釈して、別の設定を考えます。

【補足説明】一般的な確率漸化式の問題では、遷移確率が状態によって異なる場合に興味深い結果が得られます。この問題では対称性が高いため、$p_n = frac{1}{3}$（定数）となります。

【(2) の答え】$p_{n+1} = dfrac{1}{3}p_n + dfrac{1}{3}(1 - p_n) = dfrac{1}{3}$
（または単に $p_{n+1} = dfrac{1}{3}$）

■ (3) $p_n$ を求める

【(3) の答え】$p_n = dfrac{1}{3}$（すべての $n geq 1$ に対して）

■ (4) 極限を求める

【(4) の答え】$displaystylelim_{n to infty} p_n = dfrac{1}{3}$

別解・発展

【発展：非対称な場合】

もし「1〜5の目が出るさいころ」など、各余りの目の数が異なる場合は、非自明な漸化式が得られます。例えば1〜5の目の場合：

• 余り0：3のみ（確率 $frac{1}{5}$）
• 余り1：1, 4（確率 $frac{2}{5}$）
• 余り2：2, 5（確率 $frac{2}{5}$）

このとき $p_{n+1} = frac{1}{5}p_n + frac{2}{5}q_n + frac{2}{5}r_n$ となり、興味深い漸化式が得られます。

大問5：数列の和と極限

問題

解説・解法のポイント

■ (1) 部分分数分解

$dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = dfrac{A}{n} + dfrac{B}{n+1} + dfrac{C}{n+2}$ とおきます。

両辺に $n(n+1)(n+2)$ をかけて：

$1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)$

$n = 0$ を代入：$1 = A cdot 1 cdot 2 = 2A$ より $A = frac{1}{2}$

$n = -1$ を代入：$1 = B cdot (-1) cdot 1 = -B$ より $B = -1$

$n = -2$ を代入：$1 = C cdot (-2) cdot (-1) = 2C$ より $C = frac{1}{2}$

【(1) の答え】$dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = dfrac{1}{2n} - dfrac{1}{n+1} + dfrac{1}{2(n+2)}$

別の形で書くと：

$= dfrac{1}{2}left(dfrac{1}{n} - dfrac{2}{n+1} + dfrac{1}{n+2}right)$

$= dfrac{1}{2}left(dfrac{1}{n} - dfrac{1}{n+1}right) - dfrac{1}{2}left(dfrac{1}{n+1} - dfrac{1}{n+2}right)$

■ (2) $S_n$ を求める

$S_n = sum_{k=1}^{n} frac{1}{k(k+1)(k+2)}$

$= frac{1}{2}sum_{k=1}^{n}left(frac{1}{k} - frac{1}{k+1}right) - frac{1}{2}sum_{k=1}^{n}left(frac{1}{k+1} - frac{1}{k+2}right)$

各和は望遠鏡和（テレスコーピング）になります：

$sum_{k=1}^{n}left(frac{1}{k} - frac{1}{k+1}right) = 1 - frac{1}{n+1}$

$sum_{k=1}^{n}left(frac{1}{k+1} - frac{1}{k+2}right) = frac{1}{2} - frac{1}{n+2}$

よって：

$S_n = frac{1}{2}left(1 - frac{1}{n+1}right) - frac{1}{2}left(frac{1}{2} - frac{1}{n+2}right)$

$= frac{1}{2} - frac{1}{2(n+1)} - frac{1}{4} + frac{1}{2(n+2)}$

$= frac{1}{4} - frac{1}{2(n+1)} + frac{1}{2(n+2)}$

$= frac{1}{4} + frac{1}{2}left(frac{1}{n+2} - frac{1}{n+1}right)$

$= frac{1}{4} + frac{1}{2} cdot frac{-1}{(n+1)(n+2)}$

$= frac{1}{4} - frac{1}{2(n+1)(n+2)}$

【(2) の答え】$S_n = dfrac{1}{4} - dfrac{1}{2(n+1)(n+2)}$

■ (3) 極限を求める

$lim_{n to infty} S_n = lim_{n to infty}left(frac{1}{4} - frac{1}{2(n+1)(n+2)}right) = frac{1}{4} - 0 = frac{1}{4}$

【(3) の答え】$displaystylelim_{n to infty} S_n = dfrac{1}{4}$

■ (4) 別の無限級数を求める

$sum_{k=1}^{infty} frac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)}$ を求めます。

まず $frac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)}$ を部分分数分解します。

$frac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)} = frac{A}{k+1} + frac{B}{k+2} + frac{C}{k+3}$ とおきます。

$k = A(k+2)(k+3) + B(k+1)(k+3) + C(k+1)(k+2)$

$k = -1$：$-1 = A cdot 1 cdot 2 = 2A$ より $A = -frac{1}{2}$

$k = -2$：$-2 = B cdot (-1) cdot 1 = -B$ より $B = 2$

$k = -3$：$-3 = C cdot (-2) cdot (-1) = 2C$ より $C = -frac{3}{2}$

よって：

$frac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)} = -frac{1}{2(k+1)} + frac{2}{k+2} - frac{3}{2(k+3)}$

$sum_{k=1}^{n}$ を計算すると、各項は望遠鏡和の形に整理できます。

$sum_{k=1}^{n} frac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)}$

$= -frac{1}{2}sum_{k=1}^{n}frac{1}{k+1} + 2sum_{k=1}^{n}frac{1}{k+2} - frac{3}{2}sum_{k=1}^{n}frac{1}{k+3}$

$= -frac{1}{2}left(frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots + frac{1}{n+1}right)$

$+ 2left(frac{1}{3} + frac{1}{4} + cdots + frac{1}{n+2}right)$

$- frac{3}{2}left(frac{1}{4} + frac{1}{5} + cdots + frac{1}{n+3}right)$

これを整理すると、発散する調和級数の部分はキャンセルし、有限の値が残ります。

詳細な計算により：

【(4) の答え】$displaystylesum_{k=1}^{infty} dfrac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)} = dfrac{1}{4}$

別解・発展

【別解：階差の公式を利用】

$frac{1}{n(n+1)(n+2)} = frac{1}{2}left{frac{1}{n(n+1)} - frac{1}{(n+1)(n+2)}right}$ という関係を使うと、より直接的に望遠鏡和にできます。

この年度の重要テーマと対策

2014年度に見られた重要テーマ

1. 二次関数の最大・最小（場合分け）

   軸と定義域の位置関係による場合分けは、新潟大学に限らず多くの大学で出題される重要テーマです。グラフを描きながら丁寧に場合分けする習慣をつけましょう。

2. 微分法の応用（接線、増減、面積）

   関数の増減表を正確に書けること、接線の方程式を素早く求められることが重要です。面積計算では、積分公式（1/6公式、1/12公式など）を活用できると計算時間を短続きを書きます。

   面積計算では、積分公式（1/6公式、1/12公式など）を活用できると計算時間を短縮できます。

3. 空間ベクトルと内積計算

   内積の定義と計算、ベクトルの大きさの計算は確実にできるようにしましょう。四面体の体積を求める際のスカラー三重積（グラム行列式）は、公式として覚えておくと便利です。

4. 確率と漸化式の融合

   状態を定義し、遷移確率を考えて漸化式を立てる問題は頻出です。対称性に気づくことで計算が大幅に簡略化されることもあります。

5. 数列の和と部分分数分解

   部分分数分解は望遠鏡和（テレスコーピング）に持ち込むための基本技術です。計算ミスを防ぐため、係数の決定は代入法で確実に行いましょう。

新潟大学数学攻略のための具体的対策

【基礎力の徹底】

新潟大学の数学は、奇をてらった問題よりも基礎的な計算力と論理的思考力を問う問題が中心です。教科書の例題・章末問題を完璧にマスターすることが最優先です。

• 教科書の例題を3周以上解く
• 公式は導出過程も含めて理解する
• 計算ミスを減らすための検算習慣をつける

【頻出分野の重点対策】

【時間配分の戦略】

120分で4〜5題という構成を考えると、1題あたり25〜30分が目安です。ただし、問題の難易度に応じて柔軟に時間配分を調整しましょう。

• 最初の5分：全問を見渡し、解きやすい問題を把握
• 得意分野から着手し、確実に得点を積み上げる
• 難問に時間をかけすぎない（部分点狙いに切り替える勇気も大切）
• 最後の10分：見直しと計算ミスのチェック

【記述答案の書き方】

新潟大学の数学は記述式です。論理的で読みやすい答案を書くことが重要です。

• 場合分けは明確に：「(i) ○○のとき」「(ii) △△のとき」と番号をつける
• 計算過程を省略しすぎない：採点者が追えるレベルで記述
• 図やグラフを活用：視覚的に分かりやすい答案を心がける
• 最終的な答えは囲むなどして強調：採点者が見落とさないように

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここでは、2014年度新潟大学の問題と類似したテーマの練習問題を3問用意しました。解答・解説付きですので、力試しに挑戦してみてください。

【練習問題1】二次関数の最大・最小

【解答・解説】

$f(x) = -x^2 + 4x + a = -(x-2)^2 + 4 + a$

この放物線は上に凸で、軸は $x = 2$ です。

定義域 $-1 leq x leq 3$ において、軸 $x = 2$ は定義域内にあります。

上に凸の放物線なので、軸が定義域内にあるとき、最大値は頂点で取ります。

最大値 $= f(2) = 4 + a = 7$

よって $a = 3$

次に最小値を求めます。上に凸なので、定義域の端点のうち軸から遠い方で最小値を取ります。

$|(-1) - 2| = 3$、$|3 - 2| = 1$ より、$x = -1$ が軸から遠いです。

最小値 $= f(-1) = -1 - 4 + 3 = -2$

【答え】$a = 3$、最小値 $= -2$

【練習問題2】空間ベクトルと内積

【解答・解説】

(1) の解答

$|vec{a} + vec{b} + vec{c}|^2 = |vec{a}|^2 + |vec{b}|^2 + |vec{c}|^2 + 2vec{a} cdot vec{b} + 2vec{b} cdot vec{c} + 2vec{c} cdot vec{a}$

$= 1 + 4 + 9 + 2 cdot 1 + 2 cdot 3 + 2 cdot 0$

$= 14 + 2 + 6 + 0 = 22$

$|vec{a} + vec{b} + vec{c}| = sqrt{22}$

【(1) の答え】$sqrt{22}$

(2) の解答

$costheta = dfrac{(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c}}{|vec{a} + vec{b}||vec{c}|}$

$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c} = 0 + 3 = 3$

$|vec{a} + vec{b}|^2 = |vec{a}|^2 + 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{b}|^2 = 1 + 2 + 4 = 7$

$|vec{a} + vec{b}| = sqrt{7}$

$costheta = dfrac{3}{sqrt{7} cdot 3} = dfrac{1}{sqrt{7}} = dfrac{sqrt{7}}{7}$

【(2) の答え】$theta = arccosdfrac{sqrt{7}}{7}$（または $costheta = dfrac{sqrt{7}}{7}$）

【練習問題3】数列の和と極限

【解答・解説】

(1) の解答

$dfrac{1}{n(n+2)} = dfrac{A}{n} + dfrac{B}{n+2}$ とおきます。

$1 = A(n+2) + Bn$

$n = 0$：$1 = 2A$ より $A = frac{1}{2}$

$n = -2$：$1 = -2B$ より $B = -frac{1}{2}$

【(1) の答え】$dfrac{1}{n(n+2)} = dfrac{1}{2}left(dfrac{1}{n} - dfrac{1}{n+2}right)$

(2) の解答

$S_n = sum_{k=1}^{n} frac{1}{2}left(frac{1}{k} - frac{1}{k+2}right)$

$= frac{1}{2}left[left(frac{1}{1} - frac{1}{3}right) + left(frac{1}{2} - frac{1}{4}right) + left(frac{1}{3} - frac{1}{5}right) + left(frac{1}{4} - frac{1}{6}right) + cdots + left(frac{1}{n} - frac{1}{n+2}right)right]$

これは2項ずつずれた望遠鏡和です。残るのは最初の2項と最後の2項です。

$S_n = frac{1}{2}left(1 + frac{1}{2} - frac{1}{n+1} - frac{1}{n+2}right)$

$= frac{1}{2}left(frac{3}{2} - frac{1}{n+1} - frac{1}{n+2}right)$

$= frac{3}{4} - frac{1}{2(n+1)} - frac{1}{2(n+2)}$

【(2) の答え】$S_n = dfrac{3}{4} - dfrac{1}{2(n+1)} - dfrac{1}{2(n+2)}$

(3) の解答

$lim_{n to infty} S_n = frac{3}{4} - 0 - 0 = frac{3}{4}$

【(3) の答え】$displaystylelim_{n to infty} S_n = dfrac{3}{4}$

まとめ：2014年度新潟大学数学のポイント

2014年度の新潟大学数学は、以下のような特徴がありました：

新潟大学の数学で高得点を取るためには、基礎を徹底的に固め、典型問題を繰り返し練習することが最も効果的です。奇をてらった対策よりも、王道の勉強法を継続することが合格への近道です。

日本数学塾・数強塾で新潟大学合格を目指そう

最後までお読みいただき、ありがとうございました！

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日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介