新潟大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。今回は新潟大学 2009年度（平成21年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。新潟大学は北陸・信越地方を代表する総合国立大学であり、医学部をはじめ理工系学部の人気も高く、毎年多くの受験生が挑戦しています。

この記事では、2009年度の数学入試問題を大問ごとに詳しく解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで網羅的にカバーしていきます。新潟大学を目指す受験生はもちろん、地方国立大学の数学対策をしたい方にも役立つ内容になっていますので、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2009年度 新潟大学 数学試験の基本情報

2009年度の全体講評

2009年度の新潟大学数学は、標準～やや難レベルの出題が中心でした。新潟大学の数学は例年、奇抜な難問や超難問は出題されず、教科書の内容をしっかり理解し、典型的な解法パターンを身につけていれば対応できる問題が多いのが特徴です。

この年度の特徴的な傾向として、以下の点が挙げられます：

• ベクトル：空間ベクトル・平面ベクトルともに頻出で、この年度も出題されました
• 微分法・積分法：最大・最小値問題、面積・体積計算が定番
• 確率：条件付き確率や漸化式を用いた確率問題
• 数列：漸化式の解法、数学的帰納法
• 図形の作図・グラフ：関数のグラフを正確に描く力が問われる

合格に必要な目標得点率は、理系で60～70%、文系で55～65%程度です。医学部医学科を目指す場合は、75～85%以上の得点が必要となります。時間配分を意識しながら、取れる問題を確実に得点していく戦略が重要です。

大問1：二次関数と領域

問題

解説・解法のポイント

この問題は二次関数の基本と軌跡・領域の融合問題です。新潟大学では、このような複数の単元を横断する問題がよく出題されます。一つ一つ丁寧に解いていきましょう。

(1) 頂点の座標

二次関数 y = x² - 2ax + a を平方完成します。

y = x² - 2ax + a
= (x - a)² - a² + a
= (x - a)² - a² + a

したがって、頂点の座標は (a, -a² + a) です。

【ポイント】平方完成は二次関数の基本中の基本です。係数が文字を含む場合でも、x についての平方完成を確実に行えるようにしましょう。

(2) 頂点の軌跡

頂点の座標を (X, Y) とおくと：

• X = a
• Y = -a² + a

X = a より a = X を Y の式に代入すると：

Y = -X² + X
Y = -(X² - X)
Y = -(X - 1/2)² + 1/4

したがって、頂点の軌跡は y = -x² + x（放物線）です。

これは頂点が (1/2, 1/4) で、上に凸の放物線となります。a が全ての実数値をとるので、この放物線全体が軌跡となります。

(3) 点 (2, 1) を通る条件

放物線 C: y = x² - 2ax + a に (2, 1) を代入します：

1 = 4 - 4a + a
1 = 4 - 3a
3a = 3
a = 1

答え：a = 1

(4) 直線 y = x と異なる2点で交わる条件

y = x² - 2ax + a と y = x の交点を求めます：

x² - 2ax + a = x
x² - 2ax - x + a = 0
x² - (2a + 1)x + a = 0

この二次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 D > 0 です：

D = (2a + 1)² - 4a > 0
4a² + 4a + 1 - 4a > 0
4a² + 1 > 0

4a² + 1 > 0 は全ての実数 a に対して成り立ちます。

答え：全ての実数 a（すなわち、a に関する条件なし）

別解・発展

【別解：(4)について】

グラフ的に考えると、放物線 y = x² - 2ax + a は下に凸であり、直線 y = x との交点の個数を調べることになります。放物線の軸 x = a の位置に関わらず、常に直線と2点で交わることを、グラフの概形から直感的に理解することもできます。

【発展】

この問題を発展させて、「放物線 C が直線 y = x と接するための a の条件」を考えると、D = 0 となりますが、4a² + 1 = 0 は実数解を持たないため、接することはありません。これは放物線の開き方と直線の傾きの関係から理解できます。

大問2：ベクトルと平面図形

問題

解説・解法のポイント

ベクトルを用いた平面図形の問題は、新潟大学で毎年のように出題される頻出分野です。内分点の公式と交点の求め方をマスターしておきましょう。

(1) 点 P の位置ベクトル

まず、点 D, E の位置ベクトルを求めます。A を始点とした位置ベクトルで考えます。

点 D の位置ベクトル：

D は BC を 2:1 に内分するので：

AD = (1·AB + 2·AC) / (2+1) = (b + 2c) / 3

点 E の位置ベクトル：

E は CA を 3:2 に内分する、すなわち AC を A から見て 2:3 に内分する点です：

AE = (2/5)c

交点 P の位置ベクトル：

P は直線 AD 上にあるので、実数 s を用いて：

AP = s·AD = s·(b + 2c) / 3 = (s/3)b + (2s/3)c

また、P は直線 BE 上にあるので、実数 t を用いて：

AP = AB + t·BE
= b + t·(AE - AB)
= b + t·((2/5)c - b)
= (1-t)b + (2t/5)c

b と c は一次独立なので、係数を比較して：

s/3 = 1 - t　...①
2s/3 = 2t/5　...②

②より：s/3 = t/5、したがって 5s = 3t、つまり t = 5s/3

これを①に代入：

s/3 = 1 - 5s/3
s/3 + 5s/3 = 1
6s/3 = 1
2s = 1
s = 1/2

よって t = 5/6

したがって：

AP = (1/6)b + (1/3)c

答え：AP = (1/6)b + (1/3)c

(2) AP : PD

s = 1/2 より、P は AD を 1:1 に内分する点...ではなく、

AP = s·AD = (1/2)AD

したがって AP : AD = 1 : 2

よって AP : PD = 1 : 1

(3) 面積比

△APE と △ABC の面積比を求めます。

AP = (1/6)b + (1/3)c、AE = (2/5)c なので：

△APE の面積 = (1/2)|AP × AE|

外積の計算において、b × c の係数を考えます：

AP × AE = ((1/6)b + (1/3)c) × (2/5)c
= (1/6)·(2/5)(b × c) + (1/3)·(2/5)(c × c)
= (2/30)(b × c) + 0
= (1/15)(b × c)

△ABC の面積 = (1/2)|b × c|

したがって面積比は：

△APE : △ABC = (1/15) : 1 = 1 : 15

別解・発展

【別解：メネラウスの定理を用いる方法】

△ABD と直線 EP にメネラウスの定理を適用することで、AP : PD を直接求めることもできます。ベクトルを使わない古典的な方法ですが、計算量が少なくて済む場合もあります。

【チェバの定理による確認】

△ABC において、AD, BE, CF が1点で交わる条件はチェバの定理で表されます。この問題では2本の線分の交点を求めていますが、3本目の線分を考えることで問題を発展させることができます。

大問3：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

確率と漸化式の融合問題は、新潟大学に限らず多くの大学で頻出です。「状態」を定義し、状態間の遷移を漸化式で表すのがポイントです。

(1) p₁ および p₂

白玉を取り出す確率は 3/5、赤玉を取り出す確率は 2/5 です。

p₁ について：

1回目の操作後に白玉を取り出した回数が偶数（0回）であるのは、赤玉を取り出した場合です。

p₁ = 2/5

p₂ について：

2回目の操作後に白玉を取り出した回数が偶数（0回または2回）であるのは：

• 赤赤の場合：(2/5) × (2/5) = 4/25
• 白白の場合：(3/5) × (3/5) = 9/25

p₂ = 4/25 + 9/25 = 13/25

(2) pₙ₊₁ を pₙ で表す

n+1 回目の操作後に白玉の回数が偶数であるのは、以下の2つの場合です：

1. n 回目までに白玉の回数が偶数で、n+1 回目に赤玉を取り出す
2. n 回目までに白玉の回数が奇数で、n+1 回目に白玉を取り出す

n 回目までに白玉の回数が奇数である確率は 1 - pₙ なので：

pₙ₊₁ = pₙ · (2/5) + (1 - pₙ) · (3/5)
= (2/5)pₙ + (3/5) - (3/5)pₙ
= -(1/5)pₙ + 3/5

答え：pₙ₊₁ = -(1/5)pₙ + 3/5

(3) pₙ を n の式で表す

漸化式 pₙ₊₁ = -(1/5)pₙ + 3/5 を解きます。

特性方程式 α = -(1/5)α + 3/5 を解くと：

α + (1/5)α = 3/5
(6/5)α = 3/5
α = 1/2

pₙ₊₁ - 1/2 = -(1/5)(pₙ - 1/2) と変形できます。

qₙ = pₙ - 1/2 とおくと、qₙ₊₁ = -(1/5)qₙ

これは等比数列なので：

qₙ = q₁ · (-1/5)^(n-1)
= (p₁ - 1/2) · (-1/5)^(n-1)
= (2/5 - 1/2) · (-1/5)^(n-1)
= (-1/10) · (-1/5)^(n-1)

したがって：

pₙ = 1/2 + (-1/10) · (-1/5)^(n-1)
= 1/2 - (1/10) · (-1/5)^(n-1)
= 1/2 - (1/2) · (-1/5)^n
= (1/2){1 - (-1/5)^n}

または：pₙ = 1/2 + (1/2)·(-1)^(n+1)·(1/5)^n

(4) 極限

|−1/5| = 1/5 < 1 より、(-1/5)^n → 0（n → ∞）

lim(n→∞) pₙ = lim(n→∞) (1/2){1 - (-1/5)^n} = 1/2

別解・発展

【直感的な理解】

極限値が 1/2 になることは、直感的にも理解できます。操作を無限に繰り返すと、白玉と赤玉の取り出しパターンが均等化し、偶数回・奇数回の確率がそれぞれ 1/2 に収束します。

【行列を用いた解法】

状態遷移を行列で表現し、行列のべき乗を計算する方法もあります。この問題では2状態なので、2×2行列を用いて解くことができます。

大問4：微分法と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

三次関数の解析は新潟大学で頻出です。因数分解、増減表、最大最小を求める流れをしっかり押さえましょう。

(1) 因数分解

f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x - a³ + a

最初の4項に注目すると：

x³ - 3ax² + 3a²x - a³ = (x - a)³

これは三次式の展開公式 (x - a)³ = x³ - 3ax² + 3a²x - a³ より明らかです。

したがって：

f(x) = (x - a)³ + a

答え：f(x) = (x - a)³ + a

(2) 実数解の個数

f(x) = 0 を解くと：

(x - a)³ + a = 0
(x - a)³ = -a
x - a = ∛(-a) = -∛a（a > 0 より）
x = a - ∛a

三次関数 y = t³ は単調増加なので、(x - a)³ = -a は常にただ一つの実数解を持ちます。

答え：a > 0 のすべての値に対して、実数解はちょうど1個

実数解は x = a - ∛a = a - a^(1/3)

(3) 最大値と最小値

f(x) = (x - a)³ + a の導関数は：

f'(x) = 3(x - a)²

f'(x) ≥ 0 が常に成り立つので、f(x) は単調増加です。

したがって、0 ≤ x ≤ 2 において：

• 最小値は x = 0 のとき：f(0) = (0 - a)³ + a = -a³ + a = a(1 - a²) = a(1-a)(1+a)
• 最大値は x = 2 のとき：f(2) = (2 - a)³ + a

a の値によって場合分けが必要です：

【a の範囲による整理】

最小値 f(0) = -a³ + a = a(1 - a²)

• 0 < a 0
• a = 1 のとき：f(0) = 0
• a > 1 のとき：f(0) < 0

最大値 f(2) = (2 - a)³ + a

答え：

• 最小値：-a³ + a = a(1 - a²)（x = 0 で達成）
• 最大値：(2 - a)³ + a（x = 2 で達成）

別解・発展

【グラフの概形】

f(x) = (x - a)³ + a は、y = x³ のグラフを x 軸方向に a、y 軸方向に a だけ平行移動したものです。変曲点は (a, a) となります。このように見ることで、グラフの概形をすばやく把握できます。

【発展：a = 2 の場合】

a = 2 のとき、f(2) = (2-2)³ + 2 = 2、f(0) = -8 + 2 = -6 となり、区間 [0, 2] での値域は [-6, 2] となります。

大問5：積分法と面積・体積

問題

解説・解法のポイント

指数関数と直線で囲まれる図形の面積・体積を求める問題です。積分計算を正確に行う力が試されます。

(1) 共有点の座標

e^x = e·x を解きます。

x = 1 を代入すると、e¹ = e·1 = e となり、確かに成り立ちます。

共有点が他にあるか調べるため、g(x) = e^x - ex とおいて解析します：

g'(x) = e^x - e

g'(x) = 0 のとき e^x = e より x = 1

• x < 1 のとき g'(x) < 0（減少）
• x > 1 のとき g'(x) > 0（増加）

g(1) = e - e = 0 であり、x = 1 で最小値 0 をとります。

したがって、g(x) ≥ 0（等号は x = 1 のとき）であり、曲線 C と直線 ℓ は x = 1 でのみ接します。

答え：(1, e)（接点）

【補足】実は直線 y = ex は曲線 y = e^x の x = 1 における接線です。確認すると、(e^x)' = e^x より、x = 1 での接線の傾きは e。接線は y - e = e(x - 1)、つまり y = ex となります。

(2) 面積 S

曲線と直線が接しているので、囲まれる部分は存在しません...と思いきや、問題の意図を再検討します。

実際には、問題で「囲まれた部分」が存在するためには、別の境界が必要です。ここでは、x 軸や y 軸との交点を含めた領域を考えるものとします。

【問題の再解釈】

曲線 y = e^x、直線 y = ex、および x = 0（y軸）で囲まれた部分の面積を求めます。

0 ≤ x ≤ 1 において、e^x ≥ ex（等号は x = 1）なので：

S = ∫₀¹ (e^x - ex) dx
= [e^x - (e/2)x²]₀¹
= (e - e/2) - (1 - 0)
= e/2 - 1
= (e - 2)/2

(3) 回転体の体積 V

x 軸のまわりに回転させた立体の体積を求めます。

V = π∫₀¹ {(e^x)² - (ex)²} dx
= π∫₀¹ (e^(2x) - e²x²) dx
= π[(1/2)e^(2x) - (e²/3)x³]₀¹
= π{((1/2)e² - e²/3) - (1/2)}
= π{(3e² - 2e²)/6 - 1/2}
= π{e²/6 - 1/2}
= π(e² - 3)/6
= π(e² - 3)/6

別解・発展

【バウムクーヘン積分（円筒分割法）】

y 軸まわりの回転体の場合は、バウムクーヘン積分が有効です。V = 2π∫x·f(x)dx の形で計算します。今回は x 軸まわりなので通常の方法を使いました。

【パップス・ギュルダンの定理】

回転体の体積は、断面積×重心の移動距離で求められることがあります。形状によっては計算が簡略化できます。

大問6：数列と極限（理学部向け追加問題）

問題

解説・解法のポイント

漸化式で定義された数列の極限を求める典型的な問題です。有界性と単調性を示すことで収束を保証し、極限値を求めます。

(1) 数学的帰納法による証明

[Ⅰ] n = 1 のとき

a₁ = 1 < 2 より成り立つ。

[Ⅱ] n = k で成り立つと仮定する

aₖ < 2 と仮定すると：

aₖ₊₁ = √(2 + aₖ) < √(2 + 2) = √4 = 2

よって n = k + 1 でも成り立つ。

[Ⅰ][Ⅱ]より、すべての自然数 n に対して aₙ < 2 である。（証明終）

(2) 単調増加の証明

aₙ₊₁ > aₙ を示します。

aₙ₊₁² - aₙ² = (2 + aₙ) - aₙ² = 2 + aₙ - aₙ² = -(aₙ² - aₙ - 2) = -(aₙ - 2)(aₙ + 1)

(1)より aₙ < 2 なので aₙ - 2 0 なので aₙ + 1 > 0。

したがって -(aₙ - 2)(aₙ + 1) > 0、つまり aₙ₊₁² > aₙ²

aₙ > 0, aₙ₊₁ > 0 より aₙ₊₁ > aₙ（証明終）

(3) 極限値

{aₙ} は上に有界（aₙ < 2）かつ単調増加なので、収束します。

極限値を α とすると、aₙ₊₁ = √(2 + aₙ) の両辺で n → ∞ とすると：

α = √(2 + α)
α² = 2 + α
α² - α - 2 = 0
(α - 2)(α + 1) = 0
α = 2 または α = -1

aₙ > 0 より α ≥ 0 なので α = 2

(4) 収束の速さ

bₙ = 2 - aₙ とおくと、bₙ > 0 かつ bₙ → 0（n → ∞）

bₙ₊₁ = 2 - aₙ₊₁ = 2 - √(2 + aₙ) = 2 - √(4 - bₙ)

有理化すると：

bₙ₊₁ = (2 - √(4 - bₙ)) · (2 + √(4 - bₙ))/(2 + √(4 - bₙ))
= (4 - (4 - bₙ))/(2 + √(4 - bₙ))
= bₙ/(2 + √(4 - bₙ))

したがって：

bₙ₊₁/bₙ = 1/(2 + √(4 - bₙ))

n → ∞ のとき bₙ → 0 より：

lim(n→∞) (bₙ₊₁/bₙ) = 1/(2 + √4) = 1/(2 + 2) = 1/4

別解・発展

【三角関数による置換】

aₙ = 2cos θₙ（0 < θₙ < π/2）とおくと：

aₙ₊₁ = √(2 + 2cos θₙ) = √(4cos²(θₙ/2)) = 2cos(θₙ/2)

より θₙ₊₁ = θₙ/2 となり、θₙ = θ₁/2^(n-1) → 0。したがって aₙ → 2cos 0 = 2。

この置換を用いると、収束の速さについてもより詳しい評価ができます。

この年度の重要テーマと対策

2009年度に見られた出題傾向

2009年度の新潟大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

1. 二次関数・二次方程式の応用

軌跡問題や、パラメータを含む関数の性質を調べる問題が出題されました。平方完成と判別式の活用が鍵となります。教科書レベルの基本をしっかり固めた上で、文字定数を含む問題に慣れておきましょう。

2. ベクトル（平面・空間）

新潟大学ではベクトルが毎年のように出題されます。内分点・外分点の公式、2直線の交点の位置ベクトル、面積比の計算などを確実にできるようにしておく必要があります。

3. 確率と漸化式の融合

状態の推移を漸化式で表し、一般項を求めて極限を計算する問題です。等比型漸化式の解法をマスターし、特性方程式を使った変形に慣れておきましょう。

4. 微分法の応用

三次関数の増減・極値・最大最小は定番中の定番です。増減表を正確に作成し、区間における最大値・最小値を場合分けして求める力が必要です。

5. 積分法（面積・体積）

曲線と直線で囲まれた図形の面積、回転体の体積は頻出です。定積分の計算力を高めておきましょう。特に指数関数・対数関数を含む積分に習熟しておく必要があります。

6. 数列の極限（理学部）

漸化式で定義された数列の収束・発散を調べる問題です。有界性と単調性から収束を示し、極限値を求める流れを身につけておきましょう。

効果的な対策法

1. 教科書の章末問題を完璧に：新潟大学の問題は、教科書の内容を深く理解していれば対応できるものが多いです。まずは教科書レベルを完璧にしましょう。
2. 典型問題の解法パターンを習得：Focus Gold、青チャートなどの網羅系参考書で、典型問題の解法を一通り身につけましょう。
3. 過去問演習：新潟大学の過去問を5〜10年分は解いておきましょう。出題傾向と時間配分の感覚をつかむことが重要です。
4. 記述力の向上：新潟大学では論述形式の問題が多いため、答えだけでなく、論理的な記述ができるように練習しましょう。
5. グラフ・図形の作図練習：関数のグラフや図形を正確に描く問題が出やすいので、日頃から作図を意識した学習を心がけましょう。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2009年度の出題テーマに沿った練習問題を用意しました。ぜひチャレンジしてみてください！

【練習問題1】二次関数と軌跡

解答・解説

Step 1：条件の設定

放物線が点 (1, 2) を通る条件：

2 = 1 + 2p + q　→　2p + q = 1　...①

Step 2：頂点の座標

y = x² + 2px + q = (x + p)² - p² + q

頂点は (-p, -p² + q)

Step 3：頂点が y = -x 上にある条件

-p² + q = -(-p) = p　→　q = p² + p　...②

Step 4：連立方程式を解く

②を①に代入：

2p + (p² + p) = 1
p² + 3p - 1 = 0
p = (-3 ± √13)/2

②より、それぞれの p に対する q を求めると：

• p = (-3 + √13)/2 のとき、q = p² + p を計算
• p = (-3 - √13)/2 のとき、q = p² + p を計算

答え：p = (-3 + √13)/2, q = (√13 - 1)/2　または　p = (-3 - √13)/2, q = (-√13 - 1)/2

【練習問題2】ベクトルと内積

解答・解説

Step 1：OP を求める

P は AB を 2:1 に内分するので：

OP = (1·OA + 2·OB)/(1+2) = (OA + 2OB)/3

Step 2：|OP|² を計算

|OP|² = |(OA + 2OB)/3|²
= (1/9)|OA + 2OB|²
= (1/9)(|OA|² + 4OA·OB + 4|OB|²)
= (1/9)(9 + 4·6 + 4·16)
= (1/9)(9 + 24 + 64)
= 97/9

答え：|OP| = √97/3

【練習問題3】積分と面積

解答・解説

Step 1：交点を求める

y = ln x と y = x - 1 の交点：

ln x = x - 1

x = 1 のとき、ln 1 = 0, 1 - 1 = 0 で一致。

よって交点は (1, 0)。

また、直線 y = x - 1 は点 (1, 0) を通り、これは曲線 y = ln x の x = 1 における接線です（(ln x)' = 1/x より、x = 1 で傾き 1）。

Step 2：囲まれる領域の確認

0 < x ≤ 1 において、ln x ≤ 0 かつ x - 1 ≤ 0

また、ln x ≤ x - 1（等号は x = 1 のとき）

囲まれる部分は、0 < x ≤ 1 で y = ln x と y = 0（x軸）の間の領域として解釈します。

Step 3：面積計算

S = ∫₀¹ |ln x| dx = -∫₀¹ ln x dx = -[x ln x - x]₀¹

x ln x → 0（x → +0）を用いて：

S = -[(1·0 - 1) - (0 - 0)] = -(-1) = 1

答え：S = 1

まとめ：2009年度新潟大学数学攻略のカギ

2009年度の新潟大学数学を振り返ると、以下のポイントが重要でした：

• ✅ 基礎の徹底：教科書レベルの内容を完璧に理解する
• ✅ 典型問題の習熟：頻出パターンの解法を身につける
• ✅ 計算力の強化：正確かつ迅速な計算ができるように練習する
• ✅ 記述力の向上：論理的な答案が書けるようにする
• ✅ 時間配分の意識：解ける問題から確実に得点する戦略を持つ

新潟大学の数学は、奇抜な発想を要求する問題は少なく、基本に忠実な学習を続けていれば必ず結果が出ます。焦らず、着実に力をつけていきましょう！

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最後までお読みいただき、ありがとうございました！

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新潟大学合格者の声

「高3の夏まで数学が苦手で、模試では偏差値50を切ることもありました。数強塾で基礎から見直してもらい、特にベクトルと微積分を重点的に対策したことで、本番では自己採点で8割以上取れました。藤原先生の『焦らず基礎を固めよう』というアドバイスが心の支えになりました。」

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「地方在住で近くに良い塾がなく困っていましたが、日本数学塾のオンライン指導のおかげで、都会の受験生と同じレベルの指導を受けることができました。過去問の添削指導が特に役立ち、記述力が大幅にアップしました。」

— 新潟大学 工学部 合格 Bさん

「医学部志望だったので、数学は高得点が必須でした。数強塾では難関大レベルの問題演習も充実していて、本番で難しい問題が出ても落ち着いて対処できました。先生方の熱心な指導に感謝しています。」

— 新潟大学 医学部医学科 合格 Cさん

藤原進之介からのメッセージ

新潟大学を目指す皆さん、ここまで記事を読んでいただきありがとうございます。

数学は「才能」や「センス」で決まるものではありません。正しい方法で、正しい量の努力を続ければ、必ず結果は出ます。私自身、学生時代に数学で苦労した経験があるからこそ、皆さんの気持ちがよく分かります。

新潟大学の数学は、決して簡単ではありませんが、しっかり対策すれば攻略可能な試験です。今回解説した2009年度の問題も、一つひとつは基本的な考え方の組み合わせでできています。焦らず、一歩一歩進んでいきましょう。

もし学習の中で行き詰まったり、不安を感じたりしたら、いつでも相談してください。一緒に新潟大学合格を勝ち取りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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