新潟大学 2002年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

別解・発展

【別解：グラフを用いた視覚的理解】

（3）の解法として、M(a) のグラフを描く方法も有効です。

【発展】

この問題は「最大値の最小化」という、ミニマックス問題の一種です。工学や経済学でも重要な概念で、ゲーム理論などにも応用されます。

大問2：空間ベクトルと内積

問題

解説・解法のポイント

この問題は新潟大学の定番である空間ベクトルの問題です。直交する3辺を持つ四面体は、直方体の一部として捉えると理解しやすくなります。

（1）の解説

内積の定義より、→a · →b = |→a||→b|cos∠AOB です。

∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90° より、cos 90° = 0 なので：

→a · →b = 3 × 4 × 0 = 0

→b · →c = 4 × 5 × 0 = 0

→c · →a = 5 × 3 × 0 = 0

つまり、→a、→b、→c は互いに直交しています。これは座標系の基本ベクトルと同じ関係です。

（2）の解説

辺AB上の点Pは、→OP = (1-s)→a + s→b（0 ≤ s ≤ 1）と表せます。

辺OC上の点Qは、→OQ = t→c（0 ≤ t ≤ 1）と表せます。

→PQ = →OQ - →OP = t→c - (1-s)→a - s→b

|→PQ|² を計算します：

|→PQ|² = |t→c - (1-s)→a - s→b|²

= t²|→c|² + (1-s)²|→a|² + s²|→b|² - 2t(1-s)(→c · →a) - 2ts(→b · →c) + 2s(1-s)(→a · →b)

（1）より内積は全て0なので：

|→PQ|² = 25t² + 9(1-s)² + 16s²

これを最小化します。

まず t について：25t² は t = 0 で最小値 0

次に s について：9(1-s)² + 16s² を展開して微分

= 9 - 18s + 9s² + 16s²

= 25s² - 18s + 9

s で微分して 0 とおくと：50s - 18 = 0、s = 9/25

このとき：

25 × (9/25)² - 18 × (9/25) + 9 = 81/25 - 162/25 + 225/25 = 144/25

したがって、|→PQ|²の最小値 = 0 + 144/25 = 144/25

|→PQ|の最小値 = 12/5

（3）の解説

三角形ABCの面積を求めます。

→AB = →b - →a、→AC = →c - →a

面積 S = (1/2)|→AB × →AC|（外積を使用）

または、面積の公式 S = (1/2)√(|→AB|²|→AC|² - (→AB · →AC)²) を使います。

|→AB|² = |→b - →a|² = |→b|² - 2→a · →b + |→a|² = 16 + 9 = 25

|→AC|² = |→c - →a|² = |→c|² - 2→c · →a + |→a|² = 25 + 9 = 34

→AB · →AC = (→b - →a) · (→c - →a)

= →b · →c - →b · →a - →a · →c + |→a|²

= 0 - 0 - 0 + 9 = 9

S = (1/2)√(25 × 34 - 81) = (1/2)√(850 - 81) = (1/2)√769

面積 = √769/2

別解・発展

【別解：座標を設定する方法】

O を原点とし、A(3, 0, 0)、B(0, 4, 0)、C(0, 0, 5) と座標設定すると計算が見通しやすくなります。この四面体は直方体の切り取りであることがわかり、各頂点の座標から直接計算できます。

【発展：三角形ABCは直角三角形か？】

AB² = 25、BC² = 41、CA² = 34 より、AB² + CA² ≠ BC² などなので、直角三角形ではありません。

大問3：微分法と関数の増減

問題

解説・解法のポイント

三次関数の極値と方程式の解の個数は、グラフの形状を理解することが鍵です。

（1）の解説

f'(x) = 3x² - 6x - 9 = 3(x² - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)

f'(x) = 0 のとき、x = -1, 3

増減表を作成します：

極大値：f(-1) = -1 - 3 + 9 + k = k + 5

極小値：f(3) = 27 - 27 - 27 + k = k - 27

（2）の解説

方程式 f(x) = 0 が異なる3つの実数解を持つ条件は、極大値 > 0 かつ 極小値 < 0 です。

極大値 > 0 ⟹ k + 5 > 0 ⟹ k > -5

極小値 < 0 ⟹ k - 27 < 0 ⟹ k < 27

したがって：-5 < k < 27

（3）の解説

k = 11 のとき、f(x) = x³ - 3x² - 9x + 11

極大値 = 11 + 5 = 16 > 0

極小値 = 11 - 27 = -16 < 0

したがって、曲線は x 軸と3点で交わります。

f(x) = 0 の解を求めます。f(1) = 1 - 3 - 9 + 11 = 0 より、x = 1 は解。

f(x) = (x - 1)(x² - 2x - 11)

x² - 2x - 11 = 0 より、x = 1 ± 2√3

3つの解は：α = 1 - 2√3、β = 1、γ = 1 + 2√3

面積は：

S = ∫_α^β f(x) dx - ∫_β^γ f(x) dx

= ∫_α^β (x - 1)(x² - 2x - 11) dx - ∫_β^γ (x - 1)(x² - 2x - 11) dx

x - 1 = t と置換すると、x² - 2x - 11 = t² - 12

∫ t(t² - 12) dt = t⁴/4 - 6t²

計算を進めると（1/6公式も活用可能）：

面積 S = 64√3

別解・発展

【別解：1/6公式の活用】

三次関数と接線で囲まれる面積には 1/6 公式が使えますが、本問のようにx軸と囲む場合は、因数分解した形を利用した積分が有効です。

∫_α^β (x - α)(x - β) dx = -(β - α)³/6

この公式を2回適用することで計算量を減らせます。

大問4：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

この漸化式は aₙ₊₁ = paₙ + f(n) の形で、f(n) = 2ⁿ という指数関数が含まれています。このタイプは適切な変換で等比数列に帰着させます。

（1）の解説

bₙ = aₙ/2ⁿ より aₙ = bₙ · 2ⁿ

漸化式に代入：

bₙ₊₁ · 2ⁿ⁺¹ = 3 · bₙ · 2ⁿ + 2ⁿ

両辺を 2ⁿ⁺¹ で割ると：

bₙ₊₁ = (3bₙ + 1)/2 = (3/2)bₙ + 1/2

（2）の解説

bₙ₊₁ = (3/2)bₙ + 1/2

この漸化式の特性方程式は x = (3/2)x + 1/2

解くと：-x/2 = 1/2、x = -1

したがって、cₙ = bₙ - (-1) = bₙ + 1 とおくと：

cₙ₊₁ = bₙ₊₁ + 1 = (3/2)bₙ + 1/2 + 1 = (3/2)bₙ + 3/2 = (3/2)(bₙ + 1) = (3/2)cₙ

よって {cₙ} は公比 3/2 の等比数列。

c₁ = b₁ + 1 = a₁/2 + 1 = 1/2 + 1 = 3/2

cₙ = (3/2) · (3/2)ⁿ⁻¹ = (3/2)ⁿ

bₙ = cₙ - 1 = (3/2)ⁿ - 1 = (3ⁿ - 2ⁿ)/2ⁿ

（3）の解説

aₙ = bₙ · 2ⁿ = ((3ⁿ - 2ⁿ)/2ⁿ) · 2ⁿ = 3ⁿ - 2ⁿ

検算：a₁ = 3 - 2 = 1 ✓

a₂ = 3a₁ + 2¹ = 3 + 2 = 5、3² - 2² = 9 - 4 = 5 ✓

（4）の解説

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ (3ᵏ - 2ᵏ)

= Σₖ₌₁ⁿ 3ᵏ - Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ

= (3(3ⁿ - 1))/(3 - 1) - (2(2ⁿ - 1))/(2 - 1)

= (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - (2

= (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - (2ⁿ⁺¹ - 2)

= (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - 2ⁿ⁺¹ + 2

= (3ⁿ⁺¹ - 3 - 2ⁿ⁺² + 4)/2

= (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺² + 1)/2

別解・発展

【別解：特殊解を直接求める方法】

漸化式 aₙ₊₁ = 3aₙ + 2ⁿ において、特殊解として aₙ = α · 2ⁿ の形を仮定します。

α · 2ⁿ⁺¹ = 3α · 2ⁿ + 2ⁿ

2α = 3α + 1

α = -1

よって特殊解は aₙ = -2ⁿ

一般解は aₙ = 3ⁿ · C - 2ⁿ（C は定数）

初期条件 a₁ = 1 より：3C - 2 = 1、C = 1

したがって aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

【発展：階差数列との関係】

aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ の階差を取ると：

aₙ₊₁ - aₙ = (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹) - (3ⁿ - 2ⁿ) = 2 · 3ⁿ - 2ⁿ

これは指数関数の線形結合で表される数列となり、様々な応用問題に発展させることができます。

大問5：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

この問題は反復試行の確率と負の二項分布（パスカル分布）に関する問題です。

（1）の解説

1回の操作で赤玉が出る確率 p = 3/5、白玉が出る確率 q = 2/5

3回中2回赤玉が出る確率は、二項分布より：

P = ₃C₂ × (3/5)² × (2/5)¹

= 3 × 9/25 × 2/5

= 3 × 18/125

= 54/125

（2）の解説

n回の操作でちょうどk回赤玉が出る確率は：

P(n, k) = ₙCₖ × (3/5)ᵏ × (2/5)ⁿ⁻ᵏ

= ₙCₖ × 3ᵏ × 2ⁿ⁻ᵏ / 5ⁿ

（3）の解説

赤玉が出る回数を確率変数 X とすると、X は二項分布 B(4, 3/5) に従います。

二項分布の期待値の公式より：

E[X] = np = 4 × 3/5 = 12/5

【検算：直接計算】

E[X] = Σₖ₌₀⁴ k · P(4, k)

= 0·P(4,0) + 1·P(4,1) + 2·P(4,2) + 3·P(4,3) + 4·P(4,4)

= 1 × 4 × (3/5)(2/5)³ + 2 × 6 × (3/5)²(2/5)² + 3 × 4 × (3/5)³(2/5) + 4 × 1 × (3/5)⁴

= (4×3×8 + 12×9×4 + 12×27×2 + 4×81)/625

= (96 + 432 + 648 + 324)/625

= 1500/625 = 12/5 ✓

（4）の解説

これは負の二項分布（r回成功するまでの試行回数）の期待値を求める問題です。

赤玉が3回出るまでの操作回数を Y とします。

Y = 3 + W と表せます。ここで W は「3回目の赤玉が出るまでに出た白玉の回数」です。

W は負の二項分布 NB(3, 3/5) に従い、その期待値は：

E[W] = r(1-p)/p = 3 × (2/5)/(3/5) = 3 × 2/3 = 2

したがって：

E[Y] = 3 + E[W] = 3 + 2 = 5

【別の導出法】

成功確率 p = 3/5 で r = 3 回成功するまでの試行回数の期待値は：

E[Y] = r/p = 3/(3/5) = 5

別解・発展

【別解：（4）を漸化式で解く】

Eₖ を「あと k 回赤玉を出すために必要な操作回数の期待値」とします。

E₀ = 0（すでに目標達成）

Eₖ = 1 + (3/5)Eₖ₋₁ + (2/5)Eₖ

整理すると：(3/5)Eₖ = 1 + (3/5)Eₖ₋₁

Eₖ = 5/3 + Eₖ₋₁

E₁ = 5/3、E₂ = 10/3、E₃ = 15/3 = 5

【発展：幾何分布との関係】

1回の成功に必要な試行回数の期待値は 1/p = 5/3 です。3回の成功に必要な期待値は単純にその3倍の 5 となります。これは試行が独立であることから導かれます。

大問6：図形と方程式（円と直線）

問題

解説・解法のポイント

円と直線の位置関係は、中心から直線までの距離と半径の比較で判定します。

（1）の解説

円の中心 O(0, 0)、半径 r = 2

直線 l: x - y + k = 0 と原点との距離 d は：

d = |0 - 0 + k|/√(1² + (-1)²) = |k|/√2

円と直線が2点で交わる条件は d < r、すなわち：

|k|/√2 < 2

|k| < 2√2

-2√2 < k < 2√2

（2）の解説

弦の長さを求める公式を使います。

AB = 2√(r² - d²) = 2√(4 - k²/2) = 2√((8 - k²)/2) = √(2(8 - k²)) = √(16 - 2k²)

【検算：連立方程式による方法】

x² + (x + k)² = 4

2x² + 2kx + k² - 4 = 0

解を α, β とすると、解と係数の関係より：

α + β = -k、αβ = (k² - 4)/2

AB² = (α - β)² + (α + k - (β + k))² = 2(α - β)²

= 2{(α + β)² - 4αβ}

= 2{k² - 4 × (k² - 4)/2}

= 2{k² - 2k² + 8}

= 2(8 - k²) = 16 - 2k²

AB = √(16 - 2k²) ✓

（3）の解説

三角形 OAB の面積 S は、底辺を AB、高さを原点から直線 l までの距離 d とすると：

S = (1/2) × AB × d

= (1/2) × √(16 - 2k²) × |k|/√2

= |k|√(16 - 2k²)/(2√2)

= |k|√(8 - k²)/2

S² = k²(8 - k²)/4 を最大化します。

t = k² とおくと（0 < t < 8）：

S² = t(8 - t)/4 = (8t - t²)/4

f(t) = 8t - t² を微分：f'(t) = 8 - 2t = 0 のとき t = 4

t = 4、すなわち k² = 4、k = ±2 のとき：

S² = 4 × 4/4 = 4

S = 2

面積の最大値は 2、k = ±2 のとき

別解・発展

【別解：相加相乗平均の利用】

S² = k²(8 - k²)/4 において、k² と 8 - k² の積を考えます。

相加相乗平均より、k² + (8 - k²) = 8 ≥ 2√(k² × (8 - k²))

k²(8 - k²) ≤ 16

等号成立は k² = 8 - k² すなわち k² = 4 のとき。

したがって S²の最大値 = 16/4 = 4、S = 2

【発展：k の幾何学的意味】

k = ±2 のとき、直線 y = x ± 2 は円に対してどのような位置関係にあるでしょうか。d = 2/√2 = √2 であり、これは半径2の約0.707倍です。面積が最大となるのは、弦と高さのバランスが最適な位置となります。

この年度の重要テーマと対策

2002年度に見られた出題傾向

2002年度の新潟大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

1. 二次関数の最大・最小（場合分けを含む）

閉区間における最大・最小問題は、軸の位置による場合分けが必須です。グラフを描いて視覚的に理解することが重要です。

対策：

• 定義域と軸の位置関係を常に意識する
• 増減表とグラフを必ず描く習慣をつける
• 「最大値の最小化」などの応用問題にも慣れておく

2. 空間ベクトル

新潟大学では毎年のようにベクトルが出題されます。特に空間図形を扱う問題では、座標設定の工夫が解答のスピードに直結します。

対策：

• 内積の計算を確実にする
• 空間座標の設定パターンを身につける
• 直交するベクトルの性質を活用する

3. 微分法の応用

三次関数の極値、方程式の解の個数、面積計算は定番です。

対策：

• 増減表を素早く正確に書けるようにする
• 極値と解の個数の関係を図で理解する
• 1/6公式などの面積公式を使いこなす

4. 漸化式と数列

標準的な漸化式の解法パターンをマスターすることが必須です。

対策：

• 特性方程式を使った解法を理解する
• 置き換えによる等比数列への帰着
• Σ計算の公式を確実に使えるようにする

5. 確率と期待値

反復試行、条件付き確率、期待値の計算が頻出です。

対策：

• 二項分布の公式と期待値を正確に覚える
• 場合の数を漏れなく数える訓練
• 期待値の加法性を活用した効率的な計算

6. 円と直線の関係

図形と方程式分野の基本です。

対策：

• 点と直線の距離公式を即座に使えるようにする
• 弦の長さの公式を導出できるようにする
• パラメータを含む最大・最小問題への応用

合格に向けた学習アドバイス

1. 教科書レベルの完全習得：新潟大学の問題は、教科書の例題・練習問題を完璧にすれば解ける問題が多いです。まずは基礎を固めましょう。
2. 計算力の強化：時間内に解き切るためには、計算のスピードと正確性が必要です。毎日の計算練習を欠かさないようにしましょう。
3. 過去問演習：新潟大学の過去問を最低10年分は解いて、出題傾向と時間配分を体得してください。
4. 記述力の向上：論理的な答案を書く練習も重要です。「なぜその式変形をしたのか」を言葉で説明できるようにしましょう。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

以下の練習問題で、2002年度の出題傾向に沿った演習をしましょう。

練習問題1：二次関数の最大・最小

解答・解説

f(x) = -(x - 2)² + 4 - a

上に凸の放物線で、頂点は (2, 4 - a)、軸は x = 2 です。

1 ≤ x ≤ 4 において、軸 x = 2 は区間内にあります。

上に凸なので、区間の端点で最小値を取ります。

f(1) = -1 + 4 - a = 3 - a

f(4) = -16 + 16 - a = -a

3 - a と -a を比較：3 - a > -a（常に成立）

よって、x = 4 で最小値 m(a) = -a

a > 0 より m(a) = -a < 0 であり、a → 0 のとき m(a) → 0

しかし a > 0 なので、m(a) の最大値は存在せず、上限は 0（達しない）

※問題設定によっては、a の範囲を限定して最大値を求める形式もあります。

練習問題2：漸化式と一般項

解答・解説

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3ⁿ は、aₙ₊₁ = paₙ + qⁿ 型です。

特殊解として aₙ = α · 3ⁿ を仮定します。

α · 3ⁿ⁺¹ = 2α · 3ⁿ + 3ⁿ

3α = 2α + 1

α = 1

特殊解は aₙ = 3ⁿ

bₙ = aₙ - 3ⁿ とおくと：

bₙ₊₁ = aₙ₊₁ - 3ⁿ⁺¹ = 2aₙ + 3ⁿ - 3ⁿ⁺¹ = 2aₙ - 2 · 3ⁿ = 2(aₙ - 3ⁿ) = 2bₙ

{bₙ} は公比2の等比数列

b₁ = a₁ - 3 = 2 - 3 = -1

bₙ = -1 · 2ⁿ⁻¹ = -2ⁿ⁻¹

したがって：

aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ⁻¹

検算：a₁ = 3 - 1 = 2 ✓

a₂ = 2 × 2 + 3 = 7、3² - 2 = 7 ✓

練習問題3：円と直線、面積の最大

解答・解説

円の中心 O(0, 0)、半径 r = 3

直線 mx - y + 3 = 0 と原点との距離：

d = |3|/√(m² + 1) = 3/√(m² + 1)

2点で交わる条件：d < 3

3/√(m² + 1) < 3

√(m² + 1) > 1

m² + 1 > 1（常に成立、m は任意の実数）

弦 PQ の長さ：

PQ = 2√(r² - d²) = 2√(9 - 9/(m² + 1)) = 2√(9m²/(m² + 1)) = 6|m|/√(m² + 1)

三角形 OPQ の面積：

S = (1/2) × PQ × d = (1/2) × 6|m|/√(m² + 1) × 3/√(m² + 1)

= 9|m|/(m² + 1)

t = |m| とおくと（t ≥ 0）：

S = 9t/(t² + 1)

S を t で微分：

dS/dt = 9(t² + 1 - t · 2t)/(t² + 1)² = 9(1 - t²)/(t² + 1)²

dS/dt = 0 のとき t = 1

t = 1（すなわち m = ±1）のとき：

S = 9 × 1/2 = 9/2

面積の最大値は 9/2

日本数学塾・数強塾で新潟大学合格を目指そう

いかがでしたでしょうか？2002年度の新潟大学数学は、基礎力と応用力のバランスが問われる良問揃いでした。このような問題に対応するためには、基礎の徹底と効率的な演習が不可欠です。

新潟大学合格のために必要なこと

新潟大学の数学で合格点を取るためには、以下の3つのポイントが重要です：

1. 典型問題の完全習得：教科書レベルの問題を確実に解けるようにする
2. 時間配分の練習：90分（理学部は120分）で全問に手をつけられるようにする
3. 記述力の向上：部分点を確実に取れる答案作成能力を身につける

しかし、独学でこれらを身につけるのは簡単ではありません。「どこから手をつければいいかわからない」「解説を読んでも理解できない」「時間内に解き終わらない」といった悩みを抱える受験生は多いです。

数強塾・日本数学塾の特徴