奈良女子大学 2007年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

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こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、奈良女子大学 2007年度 前期日程の数学入試問題を徹底解説していきます。奈良女子大学は、お茶の水女子大学と並ぶ国立女子大学の最高峰であり、数学の入試問題は「基礎力の確認」と「論理的思考力」を問う良問が多いことで知られています。

この記事では、2007年度に出題された各大問について、問題の意図から解法のポイント、別解まで詳しく解説します。受験生の皆さんが「なるほど！」と納得できる解説を心がけていますので、ぜひ最後まで読んでくださいね。

試験概要・難易度

2007年度 奈良女子大学 数学入試の概要

項目	理学部	生活環境学部
試験時間	120分	90分
配点	300点	200点
大問数	6問	4問
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C	数学Ⅰ・Ⅱ・A・B
解答形式	記述式	記述式

全体講評

2007年度の奈良女子大学数学は、全体的に標準レベルの出題でした。奇をてらった難問は見られず、教科書の内容をしっかり理解していれば十分に対応できる問題構成となっています。

特に注目すべきは以下の3点です：

1. 2次方程式の解の条件に関する問題が複数出題された
2. 整数問題が理学部で出題され、論理的思考力が問われた
3. 微分積分の計算力を確認する問題が中心的な位置を占めた

難易度の分布としては、【易】が約30%、【並】が約50%、【難】が約20%といった印象です。時間配分を意識し、取れる問題を確実に得点することが合格への鍵となりました。

大問1：2次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

この問題は、2次関数の最大・最小に関する典型的な問題です。定義域が固定されている場合の最大値を求める問題は、軸の位置による場合分けが必要になります。

【(1) の解説】

まず、f(x) を平方完成します。

f(x) = x² - 2ax + a
= (x - a)² - a² + a
= (x - a)² - a² + a

この2次関数は下に凸の放物線であり、頂点は (a, -a² + a) です。

したがって、最小値は -a² + a = -a(a - 1) = a - a² です。

【(2) の解説】

定義域 0 ≤ x ≤ 2 における最大値を求めます。下に凸の放物線の最大値は、定義域の端点のいずれかで取ります。

軸 x = a と定義域の中点 x = 1 の位置関係で場合分けします。

【場合分け】

（ⅰ）a ≤ 1 のとき

軸が定義域の中点より左側にあるので、最大値は x = 2 で取る。

f(2) = 4 - 4a + a = 4 - 3a

よって、M(a) = 4 - 3a

（ⅱ）a > 1 のとき

軸が定義域の中点より右側にあるので、最大値は x = 0 で取る。

f(0) = 0 - 0 + a = a

よって、M(a) = a

【(3) の解説】

M(a) の最小値を求めます。

• a ≤ 1 のとき：M(a) = 4 - 3a は a について減少関数なので、a = 1 で最小値 4 - 3 = 1
• a > 1 のとき：M(a) = a は a について増加関数なので、a = 1 に近づくと M(a) → 1

両方の場合を合わせて考えると、a = 1 のとき M(a) は最小値 1 をとることがわかります。

別解・発展

【グラフを用いた視覚的理解】

この問題は、放物線のグラフを描きながら考えると理解しやすくなります。軸の位置が動くにつれて、最大値を取る点が x = 2 から x = 0 に切り替わる様子をイメージしましょう。

【発展：パラメータが複数ある場合】

より発展的な問題では、定義域自体がパラメータを含む場合も出題されます。例えば「a ≤ x ≤ a + 2 における最大値」のような問題では、軸と定義域の両方が動くため、より複雑な場合分けが必要になります。

大問2：2次方程式と整数解

問題

解説・解法のポイント

この問題は、2次方程式の解と係数の関係と整数の性質を組み合わせた良問です。整数問題の典型的なアプローチを学ぶことができます。

【(1) の解説】

2次方程式 x² - 13x + 2ⁿ - 1 = 0 の2つの解を α, β とすると、解と係数の関係より：

α + β = 13
αβ = 2ⁿ - 1

方程式が整数解をもつとき、判別式 D ≥ 0 であり、かつ解の公式で得られる値が整数となる必要があります。

D = 13² - 4(2ⁿ - 1) = 169 - 4 · 2ⁿ + 4 = 173 - 2^(n+2)

D ≥ 0 より：

173 ≥ 2^(n+2)
2^(n+2) ≤ 173

2⁷ = 128, 2⁸ = 256 より、n + 2 ≤ 7、すなわち n ≤ 5

さらに、整数解をもつためには √D が整数である必要があります。各 n について D を計算すると：

• n = 1：D = 173 - 8 = 165 = 3 × 5 × 11（√165 は無理数）
• n = 2：D = 173 - 16 = 157（素数、√157 は無理数）
• n = 3：D = 173 - 32 = 141 = 3 × 47（√141 は無理数）
• n = 4：D = 173 - 64 = 109（素数、√109 は無理数）
• n = 5：D = 173 - 128 = 45 = 9 × 5（√45 = 3√5 は無理数）

ここで、別のアプローチを考えます。整数解 α, β が存在するとき、α + β = 13（奇数）なので、α と β の一方は偶数、他方は奇数です。

よって αβ = 2ⁿ - 1 は奇数となります。これは n に関係なく 2ⁿ - 1 が常に奇数であることと整合します。

α, β を正の整数として、α + β = 13, αβ = 2ⁿ - 1 を満たす組を探します：

• (α, β) = (1, 12)：αβ = 12 = 2ⁿ - 1 → 2ⁿ = 13（不適）
• (α, β) = (2, 11)：αβ = 22 = 2ⁿ - 1 → 2ⁿ = 23（不適）
• (α, β) = (3, 10)：αβ = 30 = 2ⁿ - 1 → 2ⁿ = 31（不適）
• (α, β) = (4, 9)：αβ = 36 = 2ⁿ - 1 → 2ⁿ = 37（不適）
• (α, β) = (5, 8)：αβ = 40 = 2ⁿ - 1 → 2ⁿ = 41（不適）
• (α, β) = (6, 7)：αβ = 42 = 2ⁿ - 1 → 2ⁿ = 43（不適）

残念ながら、正の整数解をもつ n は存在しないことがわかります。

負の整数も含めて考えると、少なくとも一方が負の場合：

• αβ = 2ⁿ - 1 > 0（n ≥ 1 のとき）なので、両方正または両方負
• α + β = 13 > 0 なので、両方負はありえない

【(2) の解説】

(1) の考察より、2つの正の整数解をもつような自然数 n は存在しない。

別解・発展

【因数分解からのアプローチ】

x² - 13x + 2ⁿ - 1 = (x - α)(x - β) と因数分解できるとき、α, β が整数ならば 2ⁿ - 1 = αβ です。

2ⁿ - 1 はメルセンヌ数と呼ばれ、n = 2, 3, 5, 7, 13, ... のとき素数（メルセンヌ素数）になることがあります。しかし、α + β = 13 という制約があるため、適切な因数分解が困難です。

【発展：2ⁿ - 1 の因数分解】

2ⁿ - 1 の因数分解は整数論の重要なテーマです。例えば：

• 2³ - 1 = 7（素数）
• 2⁴ - 1 = 15 = 3 × 5
• 2⁵ - 1 = 31（素数）
• 2⁶ - 1 = 63 = 7 × 9 = 7 × 3²

大問3：三角関数と方程式

問題

解説・解法のポイント

この問題は、三角関数の2次方程式を解く問題です。sinθ と cosθ の両方を含む方程式では、因数分解または tanθ への置き換えが有効です。

【解法1：因数分解】

与えられた方程式を因数分解します：

sin²θ + sinθcosθ - 2cos²θ = 0

これは sinθ についての2次式と見なせます。sinθ = s, cosθ = c として：

s² + sc - 2c² = 0
(s + 2c)(s - c) = 0

よって：

• sinθ + 2cosθ = 0、または
• sinθ - cosθ = 0

【sinθ + 2cosθ = 0 の場合】

cosθ ≠ 0 のとき、両辺を cosθ で割ると：

tanθ = -2

θ = π - arctan(2), 2π - arctan(2)

より正確には、θ = π - tan⁻¹(2) ≈ 2.034 rad と θ = 2π - tan⁻¹(2) ≈ 5.176 rad

【sinθ - cosθ = 0 の場合】

sinθ = cosθ

tanθ = 1

0 ≤ θ < 2π で tanθ = 1 となるのは：

θ = π/4, 5π/4

【解法2：tanθ への統一】

cosθ ≠ 0 の場合、両辺を cos²θ で割ります：

tan²θ + tanθ - 2 = 0
(tanθ + 2)(tanθ - 1) = 0

よって tanθ = -2 または tanθ = 1

cosθ = 0 の場合（θ = π/2, 3π/2）を元の方程式に代入すると、sin²θ = 1 ≠ 0 なので解ではありません。

別解・発展

【三角関数の合成を用いる方法】

sinθ - cosθ = 0 の部分は、√2 sin(θ - π/4) = 0 と変形することもできます。

【発展：一般解】

周期性を考慮した一般解は：

• θ = π/4 + nπ（n は整数）
• θ = π - tan⁻¹(2) + nπ（n は整数）

大問4：2次方程式の解の条件

問題

解説・解法のポイント

この問題は、2次方程式の解の存在条件に関する典型問題です。判別式、解と係数の関係、2次関数のグラフを組み合わせて考えます。

【(1) の解説】

実数解をもつ条件は、判別式 D ≥ 0 です。

D = (m - 1)² - 4(m² + m - 2)
= m² - 2m + 1 - 4m² - 4m + 8
= -3m² - 6m + 9
= -3(m² + 2m - 3)
= -3(m + 3)(m - 1)

D ≥ 0 より：

-3(m + 3)(m - 1) ≥ 0
(m + 3)(m - 1) ≤ 0

【(2) の解説】

異なる2つの正の解をもつ条件は、f(x) = x² + (m-1)x + m² + m - 2 とおくと：

1. 判別式 D > 0（異なる2つの実数解）
2. 軸の位置 > 0（軸が正の領域）
3. f(0) > 0（x = 0 で y > 0）

条件①：D > 0

(m + 3)(m - 1) < 0 より -3 < m < 1

条件②：軸 > 0

軸は x = -(m-1)/2 = (1-m)/2

(1-m)/2 > 0 より m < 1

条件③：f(0) > 0

f(0) = m² + m - 2 = (m + 2)(m - 1) > 0

m 1

条件①②と合わせて m < -2

しかし、条件①より -3 < m < 1 なので、条件①②③をすべて満たすのは：

-3 < m < -2

【(3) の解説】

2つの解がともに -1 より大きい条件は：

1. D ≥ 0（実数解が存在）
2. 軸 > -1
3. f(-1) > 0

条件①：D ≥ 0

-3 ≤ m ≤ 1

条件②：軸 > -1

(1-m)/2 > -1

1 - m > -2

m < 3

条件③：f(-1) > 0

f(-1) = 1 - (m-1) + m² + m - 2
= 1 - m```html
= 1 - m + 1 + m² + m - 2
= m²

f(-1) = m² > 0 より m ≠ 0

条件①②③をすべて満たす m の範囲は：

-3 ≤ m ≤ 1 かつ m < 3 かつ m ≠ 0

別解・発展

【グラフによる視覚的理解】

2次方程式の解の配置問題は、放物線 y = f(x) のグラフを描いて考えると理解しやすくなります。

• 「2つの正の解」→ 放物線が x 軸の正の部分で2点と交わる
• 「解がともに -1 より大きい」→ 放物線と x 軸の交点がともに x = -1 より右側

【発展：解の存在範囲の一般論】

2次方程式 ax² + bx + c = 0（a > 0）の2つの解 α, β について：

条件	必要十分条件
α < k < β	f(k) < 0
k < α < β	D ≥ 0, 軸 > k, f(k) > 0
α < β < k	D ≥ 0, 軸 0
k < α < β < l	D ≥ 0, k < 軸 0, f(l) > 0

大問5：ベクトルと平面図形

問題

解説・解法のポイント

この問題は、ベクトルによる内分点・交点の表現と面積比に関する問題です。チェバの定理やメネラウスの定理を用いる方法もありますが、ここではベクトルを用いた解法を紹介します。

【(1) の解説】

AB = b、AC = c とおきます。

点 D の位置ベクトル：

D は BC を 2:1 に内分するので：

AD = AB + BD = b + (2/3)BC = b + (2/3)(c - b) = (1/3)b + (2/3)c

点 E の位置ベクトル：

E は AC を 1:2 に内分するので：

AE = (1/3)c

点 P の位置ベクトル：

P は線分 AD 上にあるので、実数 s を用いて：

AP = s · AD = s{(1/3)b + (2/3)c} = (s/3)b + (2s/3)c

また、P は線分 BE 上にあるので、実数 t を用いて：

AP = AB + t · BE = b + t(AE - AB) = b + t{(1/3)c - b}
= (1 - t)b + (t/3)c

b と c は一次独立なので、係数を比較して：

s/3 = 1 - t ... ①
2s/3 = t/3 ... ②

②より t = 2s

これを①に代入：s/3 = 1 - 2s

s/3 + 2s = 1

s/3 + 6s/3 = 1

7s/3 = 1

s = 3/7

よって：

AP = (s/3)b + (2s/3)c = (1/7)b + (2/7)c

【(2) の解説】

△ABP と △ABC の面積比を求めます。

AP = (1/7)AB + (2/7)AC より、P は AD を 3:4 に内分する点です（s = 3/7 より）。

△ABP の面積を S₁、△ABC の面積を S とすると：

まず、△ABD の面積について考えます。D は BC を 2:1 に内分するので：

△ABD : △ADC = BD : DC = 2 : 1

よって △ABD = (2/3)S

次に、P は AD を 3:4 に内分する（AP : PD = 3 : 4）ので：

△ABP : △ABD = AP : AD = 3 : 7

よって △ABP = (3/7) × △ABD = (3/7) × (2/3)S = (2/7)S

別解・発展

【チェバの定理による確認】

AD と BE が点 P で交わるとき、チェバの定理より：

(AF/FB) · (BD/DC) · (CE/EA) = 1

（F は直線 CP と辺 AB の交点）

この関係式を用いて、面積比を別の方法で求めることもできます。

【発展：重心座標】

点 P の重心座標を用いると、面積比の計算がより簡潔になることがあります。AP = (1/7)AB + (2/7)AC を原点 A からの位置ベクトルで表すと、P の重心座標は (4:1:2) となります。

大問6：微分積分と面積

問題

解説・解法のポイント

この問題は、3次関数の微分と面積計算を組み合わせた総合問題です。理学部らしい計算量のある問題ですが、一つ一つ丁寧に解いていきましょう。

【(1) の解説】

f(x) = x³ - 3x を微分します：

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x + 1)(x - 1)

f'(x) = 0 となるのは x = -1, 1

増減表を作成します：

x	...	-1	...	1	...
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

極値を計算：

• f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2（極大値）
• f(1) = 1³ - 3(1) = 1 - 3 = -2（極小値）

【(2) の解説】

曲線 y = x³ - 3x と直線 y = k が異なる3点で交わる条件を求めます。

これは方程式 x³ - 3x = k、すなわち x³ - 3x - k = 0 が異なる3つの実数解をもつ条件と同じです。

(1) のグラフより、直線 y = k が曲線と3点で交わるのは、k が極小値より大きく極大値より小さいときです。

【(3) の解説】

-2 < k < 2 のとき、x³ - 3x - k = 0 の3つの解を α < β < γ とします。

曲線と直線で囲まれた2つの部分の面積の和 S(k) は：

S(k) = ∫<sub>α</sub><sup>β</sup> |f(x) - k| dx + ∫<sub>β</sub><sup>γ</sup> |f(x) - k| dx

α < x k、β < x < γ では f(x) < k なので：

S(k) = ∫<sub>α</sub><sup>β</sup> (f(x) - k) dx + ∫<sub>β</sub><sup>γ</sup> (k - f(x)) dx
= ∫<sub>α</sub><sup>β</sup> (x³ - 3x - k) dx - ∫<sub>β</sub><sup>γ</sup> (x³ - 3x - k) dx

ここで、f(x) - k = x³ - 3x - k = (x - α)(x - β)(x - γ) と因数分解できます。

3次関数と直線で囲まれた面積の公式を用います。3次関数 y = a(x - α)(x - β)(x - γ) と x 軸で囲まれた面積について：

∫<sub>α</sub><sup>β</sup> |a(x - α)(x - β)(x - γ)| dx = (|a|/12)(β - α)³ · |γ - α + γ - β| / |γ - α| × ...

計算を簡略化するため、対称性を利用します。

f(x) = x³ - 3x は奇関数（原点対称）なので、k = 0 のとき最も対称的な配置になります。

k = 0 の場合：

x³ - 3x = 0 より x(x² - 3) = 0

x = -√3, 0, √3

S(0) = 2∫<sub>0</sub><sup>√3</sup> |x³ - 3x| dx = 2∫<sub>0</sub><sup>√3</sup> (3x - x³) dx
= 2[3x²/2 - x⁴/4]<sub>0</sub><sup>√3</sup>
= 2{(3 · 3/2) - (9/4)}
= 2{9/2 - 9/4}
= 2 · 9/4
= 9/2

対称性から、k = 0 のとき S(k) は最小値をとります。

別解・発展

【1/12 公式の利用】

3次関数 y = f(x) と接線で囲まれた面積には「1/12 公式」が使えます：

S = (|a|/12)(β - α)⁴

（a は3次の係数、α, β は接点と交点の x 座標）

【発展：4次関数の場合】

同様の問題が4次関数で出題されることもあります。その場合は「1/30 公式」や対称性を利用します。

この年度の重要テーマと対策

2007年度に見られた重要テーマ

2007年度の奈良女子大学数学入試を振り返ると、以下のテーマが重点的に出題されていたことがわかります。

1. 2次方程式・2次関数（最頻出）

この年度では、2次方程式の解の条件に関する問題が複数出題されました。具体的には：

• 判別式による実数解の存在条件
• 解と係数の関係を用いた整数解の探索
• 解の配置（正の解、特定の値より大きい解など）
• 2次関数の最大・最小（定義域に制限がある場合）

【対策】教科書レベルの問題を確実に解けるようにした上で、パラメータを含む場合の場合分けに習熟しましょう。特に「2次関数の最大・最小で軸が動く場合」「解の存在範囲を求める問題」は繰り返し練習してください。

2. 微分積分（計算力重視）

理学部では、3次関数の微分積分に関する問題が出題されました。

• 極値の計算とグラフの概形
• 曲線と直線の交点の個数
• 囲まれた部分の面積計算

【対策】増減表を素早く正確に書く練習をしましょう。また、面積計算では「1/6 公式」「1/12 公式」などの公式を使いこなせるようにしておくと、計算時間を大幅に短縮できます。

3. ベクトル（平面図形への応用）

内分点・外分点の位置ベクトル、直線の交点の求め方、面積比の計算が出題されました。

【対策】「係数比較法」を確実にマスターしましょう。2つの表現方法で点の位置ベクトルを表し、一次独立性から係数を比較する手法は必須です。

4. 三角関数（方程式・不等式）

三角関数を含む方程式の解法が問われました。

【対策】sin, cos の2次式は「因数分解」または「tan への統一」で解くのが基本です。三角関数の合成も含め、様々な変形パターンに慣れておきましょう。

奈良女子大学数学の特徴と攻略法

奈良女子大学 数学入試の特徴
難易度	標準〜やや易。教科書の例題・章末問題レベルが中心
出題傾向	基礎的な理解を問う良問が多い。奇問・難問は少ない
計算量	適度。ただし、ミスなく最後まで解ききる力が必要
記述量	論理的な記述が求められる。途中計算・理由を明記
頻出分野	微分積分、2次関数、ベクトル、確率、数列

攻略のための5つのポイント

1. 基礎を固める：教科書の例題・練習問題を完璧にする
2. 計算力を鍛える：ミスなく素早く計算できるよう反復練習
3. 記述力を磨く：「なぜそうなるか」を言葉で説明する練習
4. 時間配分を意識：過去問演習で本番を想定した練習を
5. 苦手分野をなくす：特定の分野に穴があると致命的

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2007年度の問題で学んだ内容を定着させるため、類似の練習問題に挑戦してみましょう。

【練習問題1】2次方程式の解の条件

【解答・解説】

f(x) = x² - 2ax + a + 2 とおきます。

(1) 異なる2つの正の解をもつ条件

必要な条件は：

• 判別式 D > 0
• 軸 > 0
• f(0) > 0

D > 0：

D/4 = a² - (a + 2) = a² - a - 2 = (a - 2)(a + 1) > 0

a 2

軸 > 0：

軸は x = a なので、a > 0

f(0) > 0：

f(0) = a + 2 > 0 より a > -2

これらの共通範囲は a > 2

(2) 異符号の解をもつ条件

f(0) < 0 であればよい。

f(0) = a + 2 < 0 より a < -2

(3) 2つの解がともに 1 より大きい条件

• D ≥ 0：a ≤ -1 または a ≥ 2
• 軸 > 1：a > 1
• f(1) > 0：1 - 2a + a + 2 > 0 → 3 - a > 0 → a < 3

これらの共通範囲は 2 ≤ a < 3

【練習問題2】ベクトルと面積比

【解答・解説】

OA = a、OB = b とおきます。

(1) の解答

P は OA を 1:2 に内分するので、OP = (1/3)a

Q は OB を 3:1 に内分するので、OQ = (3/4)b

R は線分 AQ 上にあるので、実数 s を用いて：

OR = (1-s)OA + sOQ = (1-s)a + (3s/4)b

```html

R は線分 BP 上にあるので、実数 t を用いて：

OR = (1-t)OB + tOP = (t/3)a + (1-t)b

a と b は一次独立なので、係数を比較して：

1 - s = t/3 ... ①
3s/4 = 1 - t ... ②

①より t = 3(1 - s) = 3 - 3s

これを②に代入：

3s/4 = 1 - (3 - 3s) = 1 - 3 + 3s = -2 + 3s
3s/4 - 3s = -2
3s/4 - 12s/4 = -2
-9s/4 = -2
s = 8/9

よって t = 3 - 3 × (8/9) = 3 - 8/3 = 1/3

OR = (1 - 8/9)a + (3 × 8/9 × 1/4)b = (1/9)a + (2/3)b

(2) の解答

△OAB の面積を S とします。

まず、△OPB の面積を求めます。P は OA を 1:2 に内分するので：

△OPB : △OAB = OP : OA = 1 : 3

よって △OPB = (1/3)S

次に、R は BP を t : (1-t) = (1/3) : (2/3) = 1 : 2 に内分するので：

△OPR : △OPB = PR : PB = 2 : 3

よって △OPR = (2/3) × △OPB = (2/3) × (1/3)S = (2/9)S

【練習問題3】微分積分と面積

【解答・解説】

(1) の解答

f(x) = x³ - 6x² + 9x を微分します：

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

f'(x) = 0 となるのは x = 1, 3

増減表：

x	...	1	...	3	...
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

極値を計算：

• f(1) = 1 - 6 + 9 = 4（極大値）
• f(3) = 27 - 54 + 27 = 0（極小値）

また、f(x) = x(x² - 6x + 9) = x(x - 3)² より、x = 0, 3 で x 軸と交わる。

(2) の解答

曲線と x 軸で囲まれた部分は 0 ≤ x ≤ 3 の範囲にあり、この範囲で f(x) ≥ 0 です。

S = ∫<sub>0</sub><sup>3</sup> f(x) dx = ∫<sub>0</sub><sup>3</sup> (x³ - 6x² + 9x) dx
= [x⁴/4 - 2x³ + 9x²/2]<sub>0</sub><sup>3</sup>
= 81/4 - 54 + 81/2
= 81/4 - 216/4 + 162/4
= (81 - 216 + 162)/4
= 27/4

(3) の解答

点 (0, 0) における接線の傾きは f'(0) = 9

接線の方程式：y = 9x

曲線と接線の交点を求めます：

x³ - 6x² + 9x = 9x
x³ - 6x² = 0
x²(x - 6) = 0
x = 0, 6

0 ≤ x ≤ 6 の範囲で、接線 y = 9x が曲線より上にあるので：

S = ∫<sub>0</sub><sup>6</sup> {9x - (x³ - 6x² + 9x)} dx
= ∫<sub>0</sub><sup>6</sup> (-x³ + 6x²) dx
= ∫<sub>0</sub><sup>6</sup> x²(6 - x) dx
= [-x⁴/4 + 2x³]<sub>0</sub><sup>6</sup>
= -1296/4 + 432
= -324 + 432
= 108

【別解：1/12 公式の利用】

3次曲線 y = f(x) とその接線で囲まれた面積には、次の公式が使えます：

S = (|a|/12)|β - α|⁴

ここで a は3次の係数、α は接点の x 座標、β はもう一つの交点の x 座標。

本問では a = 1, α = 0, β = 6 なので：

S = (1/12) × 6⁴ = 1296/12 = 108 ✓

奈良女子大学 数学入試の年度別難易度推移

参考までに、2007年度前後の奈良女子大学数学入試の難易度推移を示します。

年度	難易度	特徴的な出題	合格目標点
2005年度	標準	確率漸化式、ベクトル	65%
2006年度	やや易	微分積分、数列	70%
2007年度	標準	2次方程式、整数問題	65%
2008年度	標準	図形と方程式、極限	65%
2009年度	やや難	空間ベクトル、複素数	60%

2007年度は例年並みの標準的な難易度でした。基礎をしっかり固めていれば、十分に高得点が狙える年度だったと言えます。

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いかがでしたか？2007年度の奈良女子大学数学入試問題を詳しく解説してきました。

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最後に

奈良女子大学は、歴史と伝統のある国立女子大学です。落ち着いた環境で充実した大学生活を送りたい方にとって、最高の選択肢の一つと言えるでしょう。

数学は「正しい方法で」「継続的に」学習すれば、必ず伸びる科目です。今回の過去問解説が、皆さんの学習の一助となれば幸いです。

私、藤原進之介は、皆さんの奈良女子大学合格を心から応援しています！

一緒に頑張りましょう！💪

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日本数学塾・数強塾
講師：藤原進之介

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