名古屋大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は名古屋大学 2017年度（平成29年度）前期日程 理系数学の過去問を徹底解説していきます。名古屋大学は旧帝国大学の一つとして、毎年多くの受験生が挑戦する難関国立大学です。特に数学は計算量が多く、正確な処理能力と深い理解が求められます。

この記事では、2017年度の全4問について、問題の背景から解法のポイント、別解まで丁寧に解説していきます。名大志望の皆さん、ぜひ最後まで読んで、一緒に攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2017年度 名古屋大学 前期日程 理系数学の基本情報

2017年度の全体講評

2017年度の名古屋大学理系数学は、例年通り計算量が非常に多いセットとなりました。各大問がそれぞれ複数の小問で構成されており、すべての問題で相当な計算力が要求されます。

【難易度の総評】

• 第1問（微積分・回転体）：標準〜やや難。曲線の接線と回転体体積の典型問題だが、計算量が多い。
• 第2問（確率・漸化式）：やや難。名大らしい確率漸化式の問題。偶奇による場合分けがポイント。
• 第3問（空間図形）：標準。直線と球面の交点に関する問題。数学I、B、IIIの融合問題。
• 第4問（複素数）：やや難〜難。複素数の集合に関する創作的な問題。論証力が問われる。

標準解答時間の目安は約160分と、試験時間150分をやや超える計算になります。これは「すべてを完璧に解く」のではなく、「解ける問題を確実に得点する」戦略が重要であることを示しています。

特に第4問は論証問題で差がつきやすく、他の3問で確実に得点を重ねつつ、第4問の(1)(2)は確保したいところです。

大問1：2つの曲線で囲まれた領域の回転体の体積

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】接点の条件を立式する

2つの曲線が「接する」とは、①その点を共有することと、②その点で接線の傾きが等しいことを意味します。

接点を P(t, log t)（t > 0）とおきます。

条件①：曲線の共有点

log t = at² ... (＊)

条件②：接線の傾きが等しい

C₁: y = log x より y' = 1/x、よって x = t で傾きは 1/t

C₂: y = ax² より y' = 2ax、よって x = t で傾きは 2at

したがって：

1/t = 2at

1 = 2at²

t² = 1/(2a) ... (＊＊)

(＊)に代入すると：

log t = a · (1/(2a)) = 1/2

t = e^(1/2) = √e

(＊＊)より：

e = 1/(2a)

a = 1/(2e)

したがって、P の y 座標は log(√e) = 1/2

【(2) の解法】回転体の体積を計算する

(1)の結果より、C₂: y = x²/(2e) となります。

回転体の体積は、x 軸回転なので次の式で求められます：

V = π ∫[x₁ to x₂] {(log x)² - (x²/(2e))²} dx

ここで、2つの曲線の交点を求めます。

log x = x²/(2e) の解は x = √e（接点）と x = 1（log 1 = 0, 1²/(2e) = 1/(2e) ≠ 0...）

実際には、x = 1 では log 1 = 0、1/(2e) ≠ 0 なので交点ではありません。曲線の形状から、0 < x < √e の範囲で C₁ が C₂ より上にあり、x = √e で接します。

積分区間を適切に設定し、回転体の体積公式を適用します：

V = π ∫[1 to √e] {(log x)² - x⁴/(4e²)} dx

∫(log x)² dx の計算：

部分積分を2回適用します。

∫(log x)² dx = x(log x)² - 2∫log x dx

= x(log x)² - 2(x log x - x) + C

= x(log x)² - 2x log x + 2x + C

∫x⁴ dx の計算：

∫x⁴ dx = x⁵/5 + C

これらを組み合わせて定積分を計算すると：

別解・発展

【別解：y 軸回転との比較】

もし y 軸のまわりに回転させる場合は、バウムクーヘン積分（殻積分法）を用いることもできます：

V = 2π ∫ x · f(x) dx

【発展：パラメータを含む場合】

このような「2曲線の接触条件」を求める問題は、様々な大学で出題されています。東大、京大でも類似の出題があり、接触条件の立式は確実にマスターしておきましょう。

【藤原先生のワンポイント】

回転体の体積計算では、どちらの曲線が外側か（大きいか）を必ず確認することが大切です。グラフの概形をスケッチして、積分範囲と被積分関数の正負を確認する習慣をつけましょう。

大問2：確率漸化式（正方形上の点の移動）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】具体的に確率を計算

まず、点の状態を分類します：

• 状態α：A にいる
• 状態β：C にいる
• 状態γ：B または D にいる
• 状態δ：E にいる

p₁ の計算：

A から1回で A に戻ることはできません（A から移動できるのは B, D, E のみ）

p₁ = 0

p₂ の計算：

A → B → A の確率：1/3 × 1/3 = 1/9

A → D → A の確率：1/3 × 1/3 = 1/9

A → E → A の確率：1/3 × 1/4 = 1/12

p₂ = 1/9 + 1/9 + 1/12 = 4/36 + 4/36 + 3/36 = 11/36

p₃ の計算：

2回目の操作後に B, D, E にいて、3回目で A に戻るパターンを考えます。

対称性を利用して計算すると：

p₃ = 11/108

【(2) の解法】漸化式を立てる

対称性から、B にいる確率と D にいる確率は常に等しいです。

n 回後の各状態の確率を次のように定義：

• aₙ：A にいる確率（= pₙ）
• bₙ：B または D にいる確率
• cₙ：C にいる確率
• eₙ：E にいる確率

推移関係：

aₙ₊₁ = (1/3)bₙ + (1/4)eₙ

bₙ₊₁ = (2/3)aₙ + (2/3)cₙ + (1/2)eₙ

cₙ₊₁ = (1/3)bₙ + (1/4)eₙ

eₙ₊₁ = (1/3)aₙ + (1/3)bₙ + (1/3)cₙ

【重要な観察】偶奇による場合分け

この問題の特徴は、n の偶奇によって挙動が変わることです。

A から出発すると：

• 奇数回後：A または C には絶対にいない（p₁ = p₃ = ... = 0 ではないが、パターンが変わる）
• 偶数回後：A または C に戻りうる

連立漸化式を解くと、特性方程式を用いて一般項が求まります。

【(3) の解法】初めて A に戻る確率

「n 回目に初めて A に戻る」確率 sₙ は、

sₙ = pₙ - Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ sₖ · pₙ₋ₖ

という関係式で表されます。

また、A に戻る直前は B, D, E のいずれかにいる必要があるので：

s₂ₘ = (1/3) × (2m-1回目に B にいる確率) × 2 + (1/4) × (2m-1回目に E にいる確率)

対称性と漸化式の結果を用いて計算します。

別解・発展

【行列を用いた解法】

状態の推移を行列で表現し、固有値・固有ベクトルを求めて一般項を導出する方法もあります。これは大学1年生で学ぶ線形代数の知識を先取りした解法です。

【藤原先生のワンポイント】

名古屋大学は確率漸化式が頻出です。状態の分類→推移の確率→漸化式の立式→特性方程式で解くという流れを完璧にマスターしておきましょう。特に「対称性の利用」は計算を大幅に簡略化するテクニックです。

大問3：空間図形（直線と球面の交点）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】直線のパラメータ表示

点 A(2, 0, 0) を通り、方向ベクトルが (a, b, c) の直線上の点は：

これを球面の方程式 x² + y² + z² = 1 に代入：

(2 + at)² + (bt)² + (ct)² = 1

4 + 4at + a²t² + b²t² + c²t² = 1

(a² + b² + c²)t² + 4at + 3 = 0

a² + b² + c² = 1 より：

t² + 4at + 3 = 0

この方程式の2つの解を t₁, t₂ とすると：

• t₁ + t₂ = -4a（解と係数の関係）
• t₁t₂ = 3（解と係数の関係）

【(2) の解法】判別式の条件

t² + 4at + 3 = 0 が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 D > 0：

D/4 = 4a² - 3 > 0

a² > 3/4

|a| > √3/2

また、a² + b² + c² = 1 より、b² + c² = 1 - a² < 1 - 3/4 = 1/4

【(3) の解法】線分 PQ の長さの最大値

|PQ|² = |t₁ - t₂|² · (a² + b² + c²) = |t₁ - t₂|² · 1 = |t₁ - t₂|²

解と係数の関係より：

|t₁ - t₂|² = (t₁ + t₂)² - 4t₁t₂ = 16a² - 12

a² の最大値は、a² + b² + c² = 1 かつ a² > 3/4 の条件下で a² = 1（b = c = 0 のとき）

このとき |PQ|² = 16 - 12 = 4

|PQ| = 2

別解・発展

【幾何的な解釈】

点 A(2, 0, 0) から球面（原点中心、半径1）への直線を引くとき、|PQ| が最大になるのは、直線が球の中心（原点）を通るときです。このとき PQ は球の直径となり、|PQ| = 2 です。

実際、A から原点を通る直線の方向ベクトルは (-2, 0, 0)、正規化すると (-1, 0, 0) となり、a = -1 のケースに対応します。

【藤原先生のワンポイント】

空間図形の問題では、「計算で解く」アプローチと「幾何的に考える」アプローチの両方を持っておくと強いです。この問題では、(3)を幾何的に考えれば一瞬で答えが出ますが、計算でも確認できるようにしておきましょう。

大問4：複素数の集合（論証問題）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解法】1 と -1 が M に含まれることの証明

Step 1：1 ∈ M を示す

M の任意の要素を z とする。

条件(ii)より、1/z ∈ M

条件(iii)より、z · (1/z) = 1 ∈ M

よって、1 は M の要素である。

Step 2：-1 ∈ M を示す

1 ∈ M が示されたので、条件(iii)より 1 · 1 = 1 ∈ M（これは既知）

ここで、M の任意の要素 z に対して、z² ∈ M（条件(iii)で z = w とする）

また、(1/z)² = 1/z² ∈ M

さらに、z · z · z = z³ ∈ M、と続けていくと...

M は有限集合なので、ある自然数 k, l (k < l) に対して z^k = z^l

よって z^(l-k) = 1

すなわち、M の各要素は 1 の冪根です。

n ≥ 2 より、M には 1 以外の要素 w が存在します。

w ≠ 1 かつ w^m = 1 となる最小の正整数 m を考えます。

条件(ii)(iii)を繰り返し適用すると、1, w, w², ..., w^(m-1) はすべて M に含まれます。

m が偶数なら、w^(m/2) = -1（1のm乗根の性質）より -1 ∈ M

m が奇数なら、w^m = 1 より (w^((m+1)/2))² = w^(m+1) = w、つまり...

実は、どのような場合でも -1 ∈ M を示すには、次の議論が有効です：