【東邦大学 数学 傾向と対策】医学部｜藤原進之介が徹底解説

(1) AB⃗ = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)

AC⃗ = (2-1, 0-2, 1-3) = (1, -2, -2)

(2) AB⃗ · AC⃗ = 3×1 + 3×(-2) + 3×(-2) = 3 - 6 - 6 = -9

(3) |AB⃗| = √(9+9+9) = √27 = 3√3

|AC⃗| = √(1+4+4) = √9 = 3

cosθ = (AB⃗ · AC⃗) / (|AB⃗||AC⃗|) = -9 / (3√3 × 3) = -9 / (9√3) = -1/√3 = -√3/3

したがって、θ = 150°

整数・その他（実際の出題例＋詳細解説）

整数問題や、その他の分野からも出題があります。特に約数・倍数、合同式、不定方程式などが出題されることがあります。

【例題10】整数の性質

【解答】

n³ + 5n = n(n² + 5) = n(n² - 1 + 6) = n(n² - 1) + 6n

= n(n-1)(n+1) + 6n

= (n-1)n(n+1) + 6n

ここで、(n-1)n(n+1) は連続する3つの整数の積なので、必ず 6 の倍数です（連続する3整数の中には必ず2の倍数と3の倍数が含まれるため）。

また、6n は明らかに 6 の倍数です。

よって、n³ + 5n = (n-1)n(n+1) + 6n は 6 の倍数の和なので、6 の倍数である。（証明終）

【例題11】対数・指数

【解答】

2¹⁰⁰ の桁数を求めるには、log₁₀(2¹⁰⁰) を計算します。

log₁₀(2¹⁰⁰) = 100 × log₁₀2 = 100 × 0.3010 = 30.10

これは、10³⁰ < 2¹⁰⁰ < 10³¹ を意味します。

したがって、2¹⁰⁰ は 31桁 の整数です。

【例題12】二次曲線

【解答】

楕円 x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) の焦点は (±c, 0) で、c = √(a² - b²) です。

この楕円では a² = 9, b² = 4 なので、

c = √(9 - 4) = √5

焦点の座標は (√5, 0) と (-√5, 0)

楕円の定義より、楕円上の任意の点 P について、

PF + PF' = 2a = 6

厳選！合格するための練習問題10問

ここからは、東邦大学医学部対策として私が厳選した練習問題10問を、詳細解答付きでお届けします。これらの問題を完璧に解けるようになれば、本番でも十分戦える力がつきます。

【練習問題1】微分法の応用

【詳細解答】

Step 1：f'(x) を求める

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

Step 2：f'(x) = 0 となる x を求める

x = 1, 3

Step 3：増減表を作成

Step 4：極値を計算

f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6（極大値）

f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2（極小値）

【練習問題2】積分計算（置換積分）

【詳細解答】

Step 1：置換積分を行う

t = sinx とおくと、dt = cosx dx

x: 0 → π/2 のとき、t: 0 → 1

Step 2：積分を実行

∫₀^(π/2) sin³x·cosx dx = ∫₀¹ t³ dt

= [(1/4)t⁴]₀¹

= 1/4

【練習問題3】確率の計算

【詳細解答】

Step 1：全事象を数える

10枚から3枚を選ぶ組み合わせ：₁₀C₃ = 120 通り

Step 2：最大値が7となる場合を数える

最大値が7ということは、

• 7のカードが必ず含まれる
• 残り2枚は1〜6の中から選ぶ

よって、₆C₂ = 15 通り

Step 3：確率を計算

P = 15/120 = 1/8

【練習問題4】漸化式

【詳細解答】

Step 1：特性方程式を解く

α = 3α - 4 より α = 2

Step 2：新しい数列を定義

bₙ = aₙ - 2 とおくと、

bₙ₊₁ = aₙ₊₁ - 2 = (3aₙ - 4) - 2 = 3aₙ - 6 = 3(aₙ - 2) = 3bₙ

Step 3：{bₙ} の一般項を求める

b₁ = a₁ - 2 = 0

{bₙ} は初項 0、公比 3 の等比数列なので、bₙ = 0 × 3ⁿ⁻¹ = 0

Step 4：aₙ を求める

aₙ = bₙ + 2 = 2（定数列）

【練習問題5】三角関数

【詳細解答】

Step 1：sin²θ を cosθ で表す

sin²θ = 1 - cos²θ を代入

2(1 - cos²θ) + 3cosθ - 3 = 0

2 - 2cos²θ + 3cosθ - 3 = 0

-2cos²θ + 3cosθ - 1 = 0

2cos²θ - 3cosθ + 1 = 0

Step 2：cosθ について解く

(2cosθ - 1)(cosθ - 1) = 0

cosθ = 1/2 または cosθ = 1

Step 3：θ を求める

cosθ = 1/2 のとき：θ = π/3, 5π/3

cosθ = 1 のとき：θ = 0

答え：θ = 0, π/3, 5π/3

【練習問題6】複素数平面

【詳細解答】

(1) 極形式

|z| = √((-1)² + (√3)²) = √(1 + 3) = 2

z = 2(cosθ + i sinθ) の形で、

cosθ = -1/2, sinθ = √3/2

θ = 2π/3

z = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3))

(2) z⁶ の計算

ド・モアブルの定理より、

z⁶ = 2⁶(cos(6 × 2π/3) + i sin(6 × 2π/3))

= 64(cos 4π + i sin 4π)

= 64(1 + 0i)

= 64

【練習問題7】ベクトルと平面

【詳細解答】

Step 1：平面上のベクトルを求める

AB⃗ = (-1, 2, 0), AC⃗ = (-1, 0, 3)

Step 2：法線ベクトルを求める（外積）

n⃗ = AB⃗ × AC⃗

= (2×3 - 0×0, 0×(-1) - (-1)×3, (-1)×0 - 2×(-1))

= (6, 3, 2)

Step 3：平面の方程式を立てる

点 A(1, 0, 0) を通り、法線ベクトル (6, 3, 2) の平面は、

6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0

6x - 6 + 3y + 2z = 0

6x + 3y + 2z = 6

（または x/1 + y/2 + z/3 = 1 と書いてもよい）

【練習問題8】極限

【詳細解答】

方法1：ロピタルの定理（2回適用）

x → 0 のとき分子・分母ともに 0 に近づく（0/0 型）

1回目のロピタル：

= lim(x→0) (e^x - 1) / 2x （まだ 0/0 型）

2回目のロピタル：

= lim(x→0) e^x / 2

= 1/2

方法2：テイラー展開

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... より

e^x - 1 - x = x²/2 + x³/6 + ...

(e^x - 1 - x) / x² = 1/2 + x/6 + ... → 1/2 (x → 0)

【練習問題9】場合の数

【詳細解答】

Step 1：各文字の個数を数える

• M: 1個
• I: 4個
• S: 4個
• P: 2個

合計 11文字

Step 2：同じものを含む順列の公式を適用

11! / (1! × 4! × 4! × 2!)

= 39916800 / (1 × 24 × 24 × 2)

= 39916800 / 1152

= 34650 通り

【練習問題10】面積と積分

【詳細解答】

求める面積は、0 ≤ x ≤ 2 の範囲で y = e^x と x 軸の間の面積です。

S = ∫₀² e^x dx

= [e^x]₀²

= e² - e⁰

= e² - 1

= e² - 1

（数値では約 6.39）

年間学習ロードマップ

東邦大学医学部合格を目指すための、1年間の学習計画をご紹介します。高校3年生の4月からスタートする想定ですが、高校2年生から始められる方はより余裕を持って取り組めます。

【4月〜6月】基礎固め期

【7月〜8月】数学III集中期

【9月〜10月】応用力養成期

【11月〜12月】過去問演習期

【1月〜入試直前】総仕上げ期

藤原おすすめ参考書ランキング

東邦大学医学部合格のために、私が特におすすめする参考書をランキング形式でご紹介します。

【第1位】『青チャート』（数研出版）

【第2位】『1対1対応の演習』（東京出版）

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【第3位】『標準問題精講』（旺文社）

【第4位】『Focus Gold』（啓林館）

【第5位】『合格る計算 数学I・A・II・B / 数学III』（文英堂）

【第6位】『やさしい理系数学』（河合出版）

【番外編】過去問の活用法

東邦大学医学部 数学攻略のための10箇条

ここで、東邦大学医学部の数学を攻略するための重要ポイントを10箇条にまとめます。

よくある質問（FAQ）

Q1: 東邦大学医学部の数学は難しいですか？

A: 個々の問題の難易度は「標準〜やや難」レベルです。ただし、90分で10問を解くという時間的制約があるため、実質的な難易度は高くなります。「問題自体は解けるのに時間が足りない」という受験生が多いのが特徴です。計算力と解法の瞬発力を鍛えることが重要です。

Q2: 数学が苦手でも東邦大学医学部に合格できますか？

A: 可能です。東邦大学の数学は「基本〜標準問題を確実に得点する」ことが求められます。難問を解く力よりも、典型問題を素早く正確に解く力が重要です。苦手な人こそ、基礎をしっかり固めて典型問題のパターンを暗記することで、合格点に届く可能性があります。

Q3: いつから過去問を始めるべきですか？

A: 基礎が固まった段階で、遅くとも11月には始めましょう。理想的には、夏休み終了時点で1年分を解いて傾向を把握し、11月以降に本格的な演習を行うのがおすすめです。過去問は最低5年分、できれば10年分を解きましょう。

Q4: 青チャートと Focus Gold、どちらがおすすめですか？

A: どちらも優れた教材であり、好みで選んで構いません。重要なのは「1冊を完璧にすること」です。両方をやる必要はありません。すでに学校でどちらかを使っている場合は、そちらを徹底的にやり込むことをおすすめします。

Q5: 計算ミスが多いのですが、どうすれば減らせますか？

A: 計算ミスを減らすための方法をいくつかご紹介します。

• 途中式を省略しない：暗算を減らし、書いて計算する
• 検算の習慣をつける：特に答えが出た後に代入して確認
• 計算練習を毎日行う：『合格る計算』などで訓練
• ミスのパターンを記録する：自分がどこでミスしやすいかを把握

Q6: 東邦大学と他の私立医学部を併願する場合、対策は変わりますか？

A: 基本的な対策は共通ですが、東邦大学特有の「小問集合形式」「時間的制約」に慣れる必要があります。他大学（記述式が多い）との違いを意識して、東邦大学用の時間配分練習を別途行うことをおすすめします。

日本数学塾・数強塾で東邦大学合格を目指そう

ここまでお読みいただき、ありがとうございます。東邦大学医学部の数学対策について、できる限り詳しくお伝えしてきました。

しかし、独学だけでは不安を感じる方も多いのではないでしょうか。

• 「自分の勉強法が正しいのかわからない」
• 「苦手分野をどう克服すればいいかわからない」
• 「時間配分の感覚がつかめない」
• 「モチベーションが続かない」

そんな悩みを抱えている方は、ぜひ日本数学塾・数強塾にご相談ください。

おわりに

東邦大学医学部の数学は、確かに時間的制約が厳しく、独特の対策が必要な試験です。しかし、正しい方法で準備すれば、必ず攻略できます。

本記事でお伝えした内容をまとめると：

1. 試験形式を理解する：90分10問の小問集合形式、マークシート
2. 頻出分野を重点的に：微積分、確率、数列、ベクトル、複素数平面
3. 典型問題を完璧に：奇問よりも基本〜標準問題の確実な得点が重要
4. 計算力を鍛える：スピードと正確性の両方が必要
5. 過去問で実戦練習：時間配分の感覚を身につける

医学部受験は決して簡単な道のりではありませんが、正しい努力を積み重ねれば、必ず結果はついてきます。

私、藤原進之介は、皆さんの東邦大学医学部合格を心から応援しています。

この記事が、あなたの受験勉強の一助となれば幸いです。

最後までお読みいただき、ありがとうございました。

日本数学塾・数強塾 看板講師
藤原進之介