【杏林大学 数学 傾向と対策】医学部｜藤原進之介が徹底解説

【出題例1】2024年度 杏林大学医学部（類題）

関数 f(x) = x³ - 3x について、以下の問いに答えよ。

（1）f(x) の極値を求めよ。

（2）点(2, f(2))における接線の方程式を求めよ。

（3）曲線 y = f(x) と（2）で求めた接線で囲まれた部分の面積を求めよ。

【出題例2】2024年度 杏林大学医学部

複素数平面上で、α = 1 + i とする。点 z₀ = 2 から始めて、漸化式

z_{n+1} = α・z_n + β （β は定数）

によって点列 {z_n} を定める。この点列が収束するような β の条件と、その極限を求めよ。

【出題例3】漸化式と極限の融合問題（類題）

数列 {a_n} が a₁ = 3, a_{n+1} = (2a_n + 1)/(a_n + 2) で定められているとき、

（1）b_n = (a_n - 1)/(a_n + 1) とおくとき、b_{n+1} を b_n で表せ。

（2）一般項 a_n を求めよ。

（3）lim_{n→∞} a_n を求めよ。

【出題例4】2024年度 杏林大学医学部

原点を O とする座標平面上に円 C: x² + y² = 10 と直線 l: y = ax - 4a + 2 がある。ただし、a は実数の定数とする。

（1）直線 l が定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。

（2）直線 l と円 C が異なる2点で交わるような a の値の範囲を求めよ。

（3）（2）の条件のもとで、直線 l と円 C の2交点間の距離の最大値を求めよ。

【出題例5】3次関数の接線問題（類題）

曲線 C: y = x³ - 3x² + 2x について、以下の問いに答えよ。

（1）曲線 C 上の点 (t, t³ - 3t² + 2t) における接線の方程式を t を用いて表せ。

（2）点(0, -2)を通る曲線 C の接線をすべて求めよ。

問題

曲線 C: y = x³ - 6x² + 9x と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ。

【解答・解説】

Step 1: x 軸との交点を求める

y = x³ - 6x² + 9x = x(x² - 6x + 9) = x(x - 3)² = 0

よって、x = 0, 3（重解）

Step 2: グラフの概形を把握する

y' = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

y' = 0 のとき、x = 1, 3

• x = 1 のとき、y = 1 - 6 + 9 = 4（極大値）
• x = 3 のとき、y = 0（極小値かつ x 軸との接点）

0 ≤ x ≤ 3 で y ≥ 0 である。

Step 3: 面積を計算する

S = ∫₀³ (x³ - 6x² + 9x) dx

= [x⁴/4 - 2x³ + 9x²/2]₀³

= 81/4 - 54 + 81/2

= 81/4 - 54 + 162/4

= 243/4 - 54

= 243/4 - 216/4

= 27/4

問題

曲線 y = √x (0 ≤ x ≤ 4) と x 軸、および直線 x = 4 で囲まれた部分を x 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 V を求めよ。

【解答・解説】

回転体の体積の公式より、

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx

= π [x²/2]₀⁴

= π × 8

= 8π

問題

媒介変数 t を用いて x = cos³t, y = sin³t (0 ≤ t ≤ π/2) で表される曲線と、x 軸、y 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ。

【解答・解説】

Step 1: 置換積分の準備

x = cos³t より dx = -3cos²t · sint dt

t: 0 → π/2 のとき、x: 1 → 0

Step 2: 面積を計算

S = ∫₀¹ y dx = ∫_{π/2}^0 sin³t · (-3cos²t sint) dt

= 3 ∫₀^{π/2} sin⁴t cos²t dt

Step 3: ウォリス積分の公式を適用

∫₀^{π/2} sin^m t cos^n t dt = (m-1)!!(n-1)!! / (m+n)!! × π/2（m, n がともに偶数のとき）

= 3!! · 1!! / 6!! × π/2 = (3·1·1) / (6·4·2) × π/2

= 3/48 × π/2 = π/32

問題

1個のサイコロを繰り返し投げる。n 回目に出た目の数を X_n とし、S_n = X₁ + X₂ + ... + X_n とする。S_n が3の倍数である確率を p_n とするとき、

（1）p₁ を求めよ。

（2）p_{n+1} を p_n で表せ。

（3）lim_{n→∞} p_n を求めよ。

【解答・解説】

（1）の解答

S₁ = X₁ が3の倍数となるのは、X₁ = 3 または X₁ = 6 のとき。

p₁ = 2/6 = 1/3

（2）の解答

S_n を3で割った余りに注目する。

• 余りが0となる確率を p_n
• 余りが1となる確率を q_n
• 余りが2となる確率を r_n

とすると、p_n + q_n + r_n = 1 である。

サイコロの目を3で割った余りは、

• 余り0：3, 6 の2通り（確率 1/3）
• 余り1：1, 4 の2通り（確率 1/3）
• 余り2：2, 5 の2通り（確率 1/3）

S_{n+1} が3の倍数となるのは、

• S_n の余りが0で、X_{n+1} の余りが0：確率 p_n · (1/3)
• S_n の余りが1で、X_{n+1} の余りが2：確率 q_n · (1/3)
• S_n の余りが2で、X_{n+1} の余りが1：確率 r_n · (1/3)

対称性より q_n = r_n なので、q_n = r_n = (1 - p_n)/2

p_{n+1} = (1/3)p_n + (1/3)q_n + (1/3)r_n

= (1/3)p_n + (1/3) · (1 - p_n)/2 + (1/3) · (1 - p_n)/2

= (1/3)p_n + (1/3)(1 - p_n)

= (1/3)p_n + 1/3 - (1/3)p_n

これは計算ミス。正しくは：

p_{n+1} = (1/3)p_n + (1/3) · (1-p_n)/2 · 2

= (1/3)p_n + (1/3)(1 - p_n)

= 1/3

これは n に依存しない定数になってしまうので、再計算：

p_{n+1} = (1/3)p_n + (1/3)q_n + (1/3)r_n = (1/3)(p_n + q_n + r_n) = 1/3 は誤り。

正しい立式：S_{n+1} ≡ 0 (mod 3) となるのは、(S_n の余り, X_{n+1} の余り) = (0,0), (1,2), (2,1) のとき

p_{n+1} = p_n · (2/6) + q_n · (2/6) + r_n · (2/6) = (1/3)(p_n + q_n + r_n) = 1/3

これでは漸化式にならないので、問題設定を見直す必要があります。

【修正版】各余りの目の出やすさが異なる場合を考えます。

正確な立式：

p_{n+1} = (1/3)p_n + (1/3)(1 - p_n) = 1/3 となり、実はこの問題では p_n = 1/3（n ≥ 1）が成り立ちます。

（3）の解答

上記より、lim_{n→∞} p_n = 1/3

問題

袋の中に赤玉4個、白玉6個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す操作を3回行う。

（1）3回とも同じ色の玉が出る確率を求めよ。

（2）赤玉が少なくとも1回出る確率を求めよ。

（3）赤玉がちょうど2回出たとき、最初に出た玉が赤玉である条件付き確率を求めよ。

【解答・解説】

赤玉が出る確率 = 4/10 = 2/5、白玉が出る確率 = 6/10 = 3/5

（1）の解答

3回とも赤玉：(2/5)³ = 8/125

3回とも白玉：(3/5)³ = 27/125

よって、求める確率 = 8/125 + 27/125 = 35/125 = 7/25

（2）の解答

余事象を考える。「赤玉が少なくとも1回出る」の余事象は「3回とも白玉」

P(3回とも白玉) = (3/5)³ = 27/125

よって、求める確率 = 1 - 27/125 = 98/125

（3）の解答

条件付き確率の公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

B：「赤玉がちょうど2回出る」

A：「最初に出た玉が赤玉」

P(B) = ₃C₂ × (2/5)² × (3/5) = 3 × 4/25 × 3/5 = 36/125

P(A∩B)：「最初が赤玉で、かつ全体で赤玉がちょうど2回」

= 最初が赤、残り2回のうち1回が赤、1回が白

= (2/5) × ₂C₁ × (2/5) × (3/5) = (2/5) × 2 × (6/25) = 24/125

よって、P(A|B) = (24/125)/(36/125) = 24/36 = 2/3

問題

数列 {a_n} が a₁ = 2, a_{n+1} = (3a_n - 1)/(a_n + 1) で定められているとき、

（1）a₂, a₃ を求めよ。

（2）b_n = (a_n - 1)/(a_n + 1) とおくとき、b_{n+1} を b_n で表せ。

（3）一般項 a_n を求めよ。

（4）lim_{n→∞} a_n を求めよ。

【解答・解説】

（1）の解答

a₂ = (3·2 - 1)/(2 + 1) = 5/3

a₃ = (3·5/3 - 1)/(5/3 + 1) = (5 - 1)/(5/3 + 1) = 4/(8/3) = 4 × 3/8 = 3/2

（2）の解答

b_{n+1} = (a_{n+1} - 1)/(a_{n+1} + 1)

a_{n+1} = (3a_n - 1)/(a_n + 1) を代入すると、

a_{n+1} - 1 = (3a_n - 1)/(a_n + 1) - 1 = (3a_n - 1 - a_n - 1)/(a_n + 1) = (2a_n - 2)/(a_n + 1) = 2(a_n - 1)/(a_n + 1)

a_{n+1} + 1 = (3a_n - 1)/(a_n + 1) + 1 = (3a_n - 1 + a_n + 1)/(a_n + 1) = (4a_n)/(a_n + 1)

よって、

b_{n+1} = {2(a_n - 1)/(a_n + 1)} / {4a_n/(a_n + 1)}

= 2(a_n - 1)/(4a_n)

= (a_n - 1)/(2a_n)

ここで、b_n = (a_n - 1)/(a_n + 1) より、a_n を b_n で表すと、

b_n(a_n + 1) = a_n - 1

b_n · a_n + b_n = a_n - 1

a_n(b_n - 1) = -1 - b_n

a_n = (1 + b_n)/(1 - b_n)

これを代入：

b_{n+1} = {(1+b_n)/(1-b_n) - 1} / {2 · (1+b_n)/(1-b_n)}

= {(1+b_n - 1 + b_n)/(1-b_n)} / {2(1+b_n)/(1-b_n)}

= (2b_n)/(2(1+b_n))

= b_n/(1 + b_n)

あるいは、逆数をとると、1/b_{n+1} = (1 + b_n)/b_n = 1/b_n + 1

c_n = 1/b_n とおくと、c_{n+1} = c_n + 1（等差数列）

（3）の解答

b₁ = (a₁ - 1)/(a₁ + 1) = (2 - 1)/(2 + 1) = 1/3

c₁ = 1/b₁ = 3

c_n = c₁ + (n - 1) = 3 + n - 1 = n + 2

b_n = 1/c_n = 1/(n + 2)

a_n = (1 + b_n)/(1 - b_n) = {1 + 1/(n+2)}/{1 - 1/(n+2)}

= {(n + 3)/(n + 2)}/{(n + 1)/(n + 2)}

= (n + 3)/(n + 1)

（4）の解答

lim_{n→∞} a_n = lim_{n→∞} (n + 3)/(n + 1) = lim_{n→∞} (1 + 3/n)/(1 + 1/n) = 1

問題

数列 {a_n} が a₁ = 5, a_{n+1} = 2a_n - 3 で定められているとき、

（1）一般項 a_n を求めよ。

（2）Σ_{k=1}^{n} a_k を求めよ。

【解答・解説】

（1）の解答

特性方程式：α = 2α - 3 より α = 3

a_{n+1} - 3 = 2(a_n - 3)

b_n = a_n - 3 とおくと、b_{n+1} = 2b_n（等比数列）

b₁ = a₁ - 3 = 5 - 3 = 2

b_n = 2 · 2^{n-1} = 2^n

a_n = b_n + 3 = 2^n + 3

（2）の解答

Σ_{k=1}^{n} a_k = Σ_{k=1}^{n} (2^k + 3)

= Σ_{k=1}^{n} 2^k + 3n

= 2(2^n - 1)/(2 - 1) + 3n

= 2^{n+1} - 2 + 3n

問題

空間内に3点 A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) がある。

（1）三角形 ABC を含む平面の方程式を求めよ。

（2）原点 O からこの平面に下ろした垂線の足 H の座標を求めよ。

（3）三角形 ABC の面積を求めよ。

【解答・解説】

（1）の解答

平面の方程式を ax + by + cz = d とおく。

切片形：x/1 + y/2 + z/3 = 1

両辺に6をかけて、6x + 3y + 2z = 6

（2）の解答

平面 6x + 3y + 2z = 6 の法線ベクトルは n = (6, 3, 2)

原点を通り法線ベクトル方向の直線の媒介変数表示：

(x, y, z) = t(6, 3, 2) = (6t, 3t, 2t)

平面上の点なので、6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6

36t + 9t + 4t = 6

49t = 6

t = 6/49

H = (36/49, 18/49, 12/49) = (36/49, 18/49, 12/49)

（3）の解答

AB = B - A = (-1, 2, 0)

AC = C - A = (-1, 0, 3)

AB × AC = |i j k |

|-1 2 0 |

|-1 0 3 |

= (2·3 - 0·0, 0·(-1) - (-1)·3, (-1)·0 - 2·(-1))

= (6, 3, 2)

|AB × AC| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

三角形 ABC の面積 = (1/2)|AB × AC| = 7/2

問題

平面上に3点 O(0, 0), A(3, 1), B(1, 2) がある。点 P が OP = sOA + tOB（s, t は実数、s + t = 1）を満たしながら動くとき、

（1）点 P の軌跡を求めよ。

（2）OP⊥AB となる点 P の座標を求めよ。

【解答・解説】

（1）の解答

s + t = 1 より t = 1 - s

OP = sOA + (1-s)OB = s(3, 1) + (1-s)(1, 2)

= (3s, s) + (1-s, 2-2s)

= (3s + 1 - s, s + 2 - 2s)

= (2s + 1, 2 - s)

P = (x, y) とすると、x = 2s + 1, y = 2 - s

s を消去：s = (x - 1)/2, y = 2 - (x - 1)/2 = (4 - x + 1)/2 = (5 - x)/2

よって、y = (5 - x)/2、すなわち x + 2y = 5（直線 AB）

（2）の解答

OP = (2s + 1, 2 - s)

AB = B - A = (1 - 3, 2 - 1) = (-2, 1)

OP ⊥ AB より OP · AB = 0

(2s + 1)(-2) + (2 - s)(1) = 0

-4s - 2 + 2 - s = 0

-5s = 0

s = 0

P = (2·0 + 1, 2 - 0) = (1, 2)

（これは点 B に一致する）

問題

不等式 log₂(x - 1) + log₂(x - 3) < 3 を満たす整数 x をすべて求めよ。

【解答・解説】

Step 1: 真数条件

x - 1 > 0 かつ x - 3 > 0

よって、x > 3 ... ①

Step 2: 不等式を解く

log₂(x - 1) + log₂(x - 3) < 3

log₂{(x - 1)(x - 3)} < 3

(x - 1)(x - 3) < 2³ = 8

x² - 4x + 3 < 8

x² - 4x - 5 < 0

(x - 5)(x + 1) < 0

-1 < x < 5 ... ②

Step 3: ①かつ②

3 < x < 5

この範囲の整数は x = 4 のみ。

問題

n を自然数とするとき、n³ + 5n は6の倍数であることを証明せよ。

【解答・解説】

n³ + 5n = n(n² + 5) = n(n² - 1 + 6) = n(n² - 1) + 6n

= n(n - 1)(n + 1) + 6n

= (n - 1)n(n + 1) + 6n

(n - 1)n(n + 1) は連続する3つの整数の積なので、6の倍数である。

（連続3整数には必ず2の倍数と3の倍数が含まれる）

6n も6の倍数である。

よって、n³ + 5n = (n - 1)n(n + 1) + 6n は6の倍数である。 ■

問題

曲線 y = x³ - 3x² - 9x + 5 について、以下の問いに答えよ。

（1）この曲線の極値を求めよ。

（2）この曲線上の点 (0, 5) における接線の方程式を求めよ。

（3）この曲線に点 (0, 5) 以外から引いた接線の方程式を求めよ。

【解答】

（1）

y' = 3x² - 6x - 9 = 3(x² - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)

y' = 0 のとき、x = -1, 3

増減表：

x	... -1 ... 3 ...
y'	+ 0 - 0 +
y	↗ 極大 ↘ 極小 ↗

x = -1 のとき：y = -1 - 3 + 9 + 5 = 10（極大値）

x = 3 のとき：y = 27 - 27 - 27 + 5 = -22（極小値）

（2）

x = 0 における接線の傾き：y'(0) = -9

接線の方程式：y - 5 = -9(x - 0)

y = -9x + 5

（3）

曲線上の点 (t, t³ - 3t² - 9t + 5) における接線の方程式：

y - (t³ - 3t² - 9t + 5) = (3t² - 6t - 9)(x - t)

この接線が点 (0, 5) を通るとき：

5 - (t³ - 3t² - 9t + 5) = (3t² - 6t - 9)(0 - t)

-t³ + 3t² + 9t = -t(3t² - 6t - 9)

-t³ + 3t² + 9t = -3t³ + 6t² + 9t

2t³ - 3t² = 0

t²(2t - 3) = 0

t = 0, 3/2

t = 0 は問題文より除外。t = 3/2 のとき：

傾き = 3(3/2)² - 6(3/2) - 9 = 27/4 - 9 - 9 = 27/4 - 18 = -45/4

接線：y - 5 = (-45/4)(x - 0)

y = -45x/4 + 5

問題

曲線 y = x² と直線 y = 2x + 3 で囲まれた部分の面積を求めよ。

【解答】

交点を求める：x² = 2x + 3

x² - 2x - 3 = 0

(x - 3)(x + 1) = 0

x = -1, 3

-1 ≤ x ≤ 3 で 2x + 3 ≥ x² なので、

S = ∫_{-1}^{3} {(2x + 3) - x²} dx

= ∫_{-1}^{3} (-x² + 2x + 3) dx

= [-x³/3 + x² + 3x]_{-1}^{3}

= (-9 + 9 + 9) - (1/3 + 1 - 3)

= 9 - (-5/3)

= 9 + 5/3 = 32/3

【別解：1/6公式を使用】

放物線と直線で囲まれた面積：S = (1/6)|a|(β - α)³

-x² + 2x + 3 = -(x + 1)(x - 3) より、a = -1, α = -1, β = 3

S = (1/6) × 1 × |3 - (-1)|³ = (1/6) × 64 = 32/3

問題

複素数 z = 1 + √3 i について、以下の問いに答えよ。

（1）z を極形式で表せ。

（2）z⁶ を求めよ。

（3）z + 1/z の値を求めよ。

【解答】

（1）

|z| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = 2

偏角 θ：cos θ = 1/2, sin θ = √3/2 より θ = π/3

z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))

（2）

ド・モアブルの定理より：

z⁶ = 2⁶(cos(6π/3) + i sin(6π/3))

= 64(cos 2π + i sin 2π)

= 64(1 + 0i)

= 64

（3）

1/z = 1/(1 + √3 i) = (1 - √3 i)/((1 + √3 i)(1 - √3 i)) = (1 - √3 i)/(1 + 3) = (1 - √3 i)/4

z + 1/z = (1 + √3 i) + (1 - √3 i)/4

= (4(1 + √3 i) + (1 - √3 i))/4

= (4 + 4√3 i + 1 - √3 i)/4

= (5 + 3√3 i)/4

= 5/4 + (3√3/4)i

問題

赤玉3個、白玉2個、青玉1個が入った袋から同時に2個の玉を取り出すとき、

（1）2個とも同じ色である確率を求めよ。

（2）少なくとも1個が赤玉である確率を求めよ。

（3）赤玉が1個以上含まれていたとき、それがちょうど1個である条件付き確率を求めよ。

【解答】

全事象：₆C₂ = 15 通り

（1）

2個とも赤：₃C₂ = 3 通り

2個とも白：₂C₂ = 1 通り

2個とも青：₁C₂ = 0 通り（不可能）

合計：3 + 1 = 4 通り

確率 = 4/15

（2）

余事象「赤玉が0個」を考える。

白玉2個と青玉1個から2個選ぶ：₃C₂ = 3 通り

P(赤玉0個) = 3/15 = 1/5

P(少なくとも1個が赤) = 1 - 1/5 = 4/5

（3）

A：「赤玉がちょうど1個」

B：「赤玉が1個以上」

P(A)：赤1個、他1個 = ₃C₁ × ₃C₁ = 9 通り → 9/15

P(B) = 4/5 = 12/15

A ⊂ B より P(A∩B) = P(A) = 9/15

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = (9/15)/(12/15) = 9/12 = 3/4

問題

数列 {a_n} の初項から第n項までの和 S_n が S_n = 2n² + 3n で与えられるとき、

（1）一般項 a_n を求めよ。

（2）Σ_{k=1}^{n} k·a_k を求めよ。

【解答】

（1）

n ≥ 2 のとき：

a_n = S_n - S_{n-1}

= (2n² + 3n) - (2(n-1)² + 3(n-1))

= 2n² + 3n - (2n² - 4n + 2 + 3n - 3)

= 2n² + 3n - 2n² + 4n - 2 - 3n + 3

= 4n + 1

n = 1 のとき：a₁ = S₁ = 2 + 3 = 5

n = 1 を a_n = 4n + 1 に代入：4(1) + 1 = 5 ✓（一致）

よって、a_n = 4n + 1（n ≥ 1）

（2）

Σ_{k=1}^{n} k·a_k = Σ_{k=1}^{n} k(4k + 1)

= Σ_{k=1}^{n} (4k² + k)

= 4·Σk² + Σk

= 4 · n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2

= 2n(n+1)(2n+1)/3 + n(n+1)/2

= n(n+1){2(2n+1)/3 + 1/2}

= n(n+1){(4n+2)/3 + 1/2}

= n(n+1){(8n+4+3)/6}

= n(n+1)(8n+7)/6

= n(n+1)(8n+7)/6

問題

0 ≤ θ < 2π のとき、方程式 2sin²θ - 3cosθ - 3 = 0 を解け。

【解答】

sin²θ = 1 - cos²θ を代入：

2(1 - cos²θ) - 3cosθ - 3 = 0

2 - 2cos²θ - 3cosθ - 3 = 0

-2cos²θ - 3cosθ - 1 = 0

2cos²θ + 3cosθ + 1 = 0

(2cosθ + 1)(cosθ + 1) = 0

cosθ = -1/2 または cosθ = -1

cosθ = -1/2 のとき：θ = 2π/3, 4π/3

cosθ = -1 のとき：θ = π

θ = 2π/3, π, 4π/3

問題

関数 f(x) = log₃(x + 3) + log₃(x - 1) について、

（1）f(x) の定義域を求めよ。

（2）f(x) = 2 を満たす x の値を求めよ。

（3）f(x) < 2 を満たす x の範囲を求めよ。

【解答】

（1）

真数条件：x + 3 > 0 かつ x - 1 > 0

x > -3 かつ x > 1

定義域：x > 1

（2）

log₃(x + 3) + log₃(x - 1) = 2

log₃{(x + 3)(x - 1)} = 2

(x + 3)(x - 1) = 3² = 9

x² + 2x - 3 = 9

x² + 2x - 12 = 0

x = (-2 ± √(4 + 48))/2 = (-2 ± √52)/2 = -1 ± √13

x > 1 より、x = -1 + √13

（√13 ≈ 3.6 なので -1 + √13 ≈ 2.6 > 1 ✓）

（3）

log₃{(x + 3)(x - 1)} < 2

(x + 3)(x - 1) 1 より不等号の向き同じ）

x² + 2x - 3 < 9

x² + 2x - 12 < 0

(x - (-1 - √13))(x - (-1 + √13)) < 0

-1 - √13 < x < -1 + √13

定義域 x > 1 との共通部分：1 < x < -1 + √13

問題

四面体 OABC において、OA = a, OB = b, OC = c とする。辺 OA を 2:1 に内分する点を P、辺 BC の中点を M とするとき、

（1）OP, OM を a, b, c で表せ。

（2）線分 PM を 3:2 に内分する点 Q の位置ベクトル OQ を a, b, c で表せ。

【解答】

（1）

P は OA を 2:1 に内分：OP = 2a/3

M は BC の中点：OM = (OB + OC)/2 = (b + c)/2

（2）

Q は PM を 3:2 に内分：

OQ = (2·OP + 3·OM)/(3 + 2)

= (2 · 2a/3 + 3 · (b + c)/2)/5

= (4a/3 + 3(b + c)/2)/5

= (8a/6 + 9(b + c)/6)/5

= (8a + 9b + 9c)/(6 × 5)

= (8a + 9b + 9c)/30

問題

関数 f(x) = xe^{-x} (x ≥ 0) について、

（1）f(x) の増減を調べ、極値を求めよ。

（2）y = f(x) のグラフの概形を描け。

（3）∫₀^{∞} xe^{-x} dx の値を求めよ。

【解答】

（1）

f'(x) = e^{-x} + x · (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)

f'(x) = 0 のとき、1 - x = 0 より x = 1

増減表（x ≥ 0）：

x	0 ... 1 ...
f'(x)	+ + 0 -
f(x)	0 ↗ 極大 ↘

x = 1 で極大値 f(1) = 1 · e^{-1} = 1/e

（2）

・x = 0 のとき f(0) = 0

・x = 1 のとき極大値 1/e ≈ 0.37

・lim_{x→∞} xe^{-x} = 0（ロピタルの定理より）

・漸近線：y = 0（x → ∞）

グラフは原点から始まり、x = 1 で最大値 1/e をとり、その後 x 軸に漸近しながら減少する。

（3）

部分積分を用いる：

∫xe^{-x} dx = x · (-e^{-x}) - ∫1 · (-e^{-x}) dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x + 1)e^{-x} + C

∫₀^{∞} xe^{-x} dx = [-(x + 1)e^{-x}]₀^{∞}

= lim_{x→∞} {-(x + 1)e^{-x}} - {-(0 + 1)e^0}

= 0 - (-1)

= 1

（lim_{x→∞} (x + 1)e^{-x} = 0 はロピタルの定理より明らか）

問題

複素数平面上で、z₁ = 4 とし、漸化式 z_{n+1} = (1/2)z_n + 1 + i によって点列 {z_n} を定める。

（1）z₂, z₃ を求めよ。

（2）α = 2 + 2i とするとき、w_n = z_n - α とおくと w_{n+1} = (1/2)w_n が成り立つことを示せ。

（3）一般項 z_n を求めよ。

（4）lim_{n→∞} z_n を求めよ。

【解答】

（1）

z₂ = (1/2) · 4 + 1 + i = 2 + 1 + i = 3 + i

z₃ = (1/2)(3 + i) + 1 + i = 3/2 + i/2 + 1 + i = 5/2 + 3i/2

（2）

w_{n+1} = z_{n+1} - α = (1/2)z_n + 1 + i - (2 + 2i)

= (1/2)z_n - 1 - i

一方、(1/2)w_n = (1/2)(z_n - α) = (1/2)z_n - (1/2)(2 + 2i) = (1/2)z_n - 1 - i

よって、w_{n+1} = (1/2)w_n が成り立つ。 ■

（3）

{w_n} は初項 w₁ = z₁ - α = 4 - (2 + 2i) = 2 - 2i、公比 1/2 の等比数列

w_n = (2 - 2i) · (1/2)^{n-1} = (2 - 2i)/2^{n-1}

z_n = w_n + α = (2 - 2i)/2^{n-1} + 2 + 2i

= 2 + 2i + (2 - 2i)/2^{n-1}

または z_n = 2 + 2i + (1 - i) · (1/2)^{n-2}（n ≥ 1）

（4）

lim_{n→∞} z_n = 2 + 2i + lim_{n→∞} (2 - 2i)/2^{n-1}

= 2 + 2i + 0

= 2 + 2i

（点列は α = 2 + 2i に収束する）

この時期の目標

• 教科書レベルの内容を完全に理解する
• 数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ・Cの全範囲の基本事項を復習
• 公式の導出過程を理解し、「なぜそうなるか」を説明できるようにする

具体的な学習内容

数学Ⅲを中心に：微分法・積分法の計算練習を徹底的に行う。特に、置換積分・部分積分の技術を完璧にする。

数学A・B：確率・数列の基本パターンを網羅。場合の数の数え方、漸化式の解法パターンを整理。

数学C：ベクトル・複素数平面の基礎を固める。

使用教材

• 教科書（すべての例題・練習問題）
• 青チャートまたは基礎問題精講（基本例題のみ）

1日の学習時間目安

数学：2〜3時間（他科目と合わせて8〜10時間）

この時期の目標

• 入試標準レベルの問題を確実に解けるようにする
• 典型問題のパターンを身につける
• 計算スピードを上げる

具体的な学習内容

夏休み前半：標準問題精講または1対1対応の演習で、入試頻出パターンを習得。1日10〜15問のペースで進める。

夏休み後半：私立医学部の過去問（杏林以外も含む）に挑戦し、入試レベルの問題に慣れる。

重点分野

• 微分・積分の応用（面積・体積・曲線の長さ）
• 複素数平面（回転・対称移動）
• 数列と極限の融合問題
• 確率漸化式

使用教材

• 標準問題精講（数Ⅲ重点）
• 1対1対応の演習
• 私立医学部過去問（日本医科大、昭和大など）

この時期の目標

• 難問にも対応できる思考力を養う
• 複合問題への対応力をつける
• 時間を意識した演習を開始

具体的な学習内容

9月：やや難度の高い問題集で応用力を養成。解けなかった問題は必ず復習し、類題で定着を図る。

10月：杏林大学の過去問に本格的に取り組み始める。時間を計って解き、時間配分の感覚をつかむ。

杏林大学特有の対策

• マークシート形式に慣れる（選択肢から正解を絞り込む技術）
• 誘導に乗る練習（小問の流れを読み取る）
• 計算ミスを減らす工夫（検算の習慣化）

使用教材

• 杏林大学医学部過去問（5年分以上）
• 医学部攻略の数学（河合出版）
• ハイレベル数学の完全攻略（駿台文庫）

この時期の目標

• 本番を想定した演習を繰り返す
• 弱点分野を徹底的に補強
• 時間内に最大限の得点を取る戦略を確立

具体的な学習内容

11月：杏林大学の過去問を本番形式で繰り返し解く。70分で3題という時間配分を体に染み込ませる。

12月：他の私立医学部（東京医科大、日本大医学部、帝京大医学部など）の過去問も演習し、様々なパターンに対応。

時間配分の目安

大問	目安時間	戦略
大問1	20〜25分	確実に得点。計算ミスに注意
大問2	20〜25分	標準問題を確実に。難問は後回し
大問3	20〜25分	解ける問題を見極めて部分点狙い
見直し	5分	マークミス・計算ミスの確認

使用教材

• 杏林大学医学部過去問（直近10年分）
• 他私立医学部過去問
• 弱点分野の問題集（分野別に補強）

この時期の目標

• これまでの学習内容を総復習
• 頻出パターンの最終確認
• 精神面・体調面のコンディション調整

具体的な学習内容

1月前半：共通テスト対策（併願校対策として）。数学ⅠA・ⅡBCの総復習にもなる。

1月後半：杏林大学の過去問を改めて解き直し、出題パターンを最終確認。新しい問題には手を出さず、既習内容の定着を優先。

直前期のポイント

• 新しいことに手を出さない：不安になって新しい参考書を買うのは逆効果
• 過去問の復習：一度解いた問題を再度解き、完璧に仕上げる
• 公式・定理の確認：暗記事項を整理したノートを見直す
• 生活リズムの調整：試験開始時間に頭が冴えるよう調整

試験前日・当日の過ごし方

• 前日は軽い復習のみ。早めに就寝
• 当日は余裕を持って会場入り
• 試験直前は公式の確認程度に留める
• 焦らず、解ける問題から確実に得点する意識

第1位：『基礎問題精講』シリーズ（旺文社）

⭐⭐⭐⭐⭐

おすすめポイント

• 例題→精講→解答→演習問題の流れが学習しやすい
• 必要十分な問題数で効率よく基礎を固められる
• 解説が丁寧で独学にも適している

使い方：1周目は例題のみ、2周目は演習問題も含めて全問解く。間違えた問題には印をつけ、3周目で完璧に。

第2位：『青チャート』（数研出版）

⭐⭐⭐⭐☆

おすすめポイント

• 網羅性が高く、辞書的にも使える
• 基本例題から入試レベルまで段階的に学べる
• 多くの受験生が使用しており、情報交換しやすい

使い方：最初から全問解くのではなく、基本例題・重要例題を中心に。苦手分野は練習問題まで取り組む。

第3位：『初めから始める数学』シリーズ（マセマ出版）

⭐⭐⭐⭐☆

おすすめポイント

• 数学が苦手な人でも理解できる丁寧な説明
• 公式の導出過程から丁寧に解説
• 短期間で基礎を身につけたい人に最適

使い方：教科書の代わりとして、まず通読。その後、問題を解きながら2周目。

第1位：『標準問題精講』シリーズ（旺文社）

⭐⭐⭐⭐⭐

おすすめポイント

• 入試標準〜やや発展レベルの良問が厳選されている
• 「精講」部分で問題の背景や解法のポイントを学べる
• 私立医学部対策に最適なレベル設定

使い方：1問15〜20分を目安に取り組む。解けなかった問題は「精講」を熟読し、類題で定着。

第2位：『1対1対応の演習』（東京出版）

⭐⭐⭐⭐⭐

おすすめポイント

• 典型問題の解法パターンを網羅
• 例題と演習題の1対1対応で効率的に学習
• 解説が詳しく、思考過程が身につく

使い方：例題を解く→解説を読む→演習題で定着、のサイクルを繰り返す。

第3位：『医学部攻略の数学』（河合出版）

⭐⭐⭐⭐☆

おすすめポイント

• 医学部入試に特化した問題選定
• 分野別に頻出テーマを網羅
• 実戦的な問題演習ができる

使い方：苦手分野から優先的に取り組む。1問あたり25分を目安に。

第1位：『杏林大学医学部 過去問』

⭐⭐⭐⭐⭐

おすすめポイント

• 言うまでもなく最重要教材
• 出題傾向・難易度・時間配分を体感できる
• 最低でも過去10年分は解いておきたい

使い方：必ず時間を計って解く。解いた後は徹底的に復習し、同じ間違いをしないようにする。

第2位：『ハイレベル数学の完全攻略』（駿台文庫）

⭐⭐⭐⭐☆

おすすめポイント

• 難関大学・医学部レベルの問題を収録
• 思考力を鍛える良問が多い
• 杏林の難化した年度への対応力がつく

使い方：時間に余裕がある場合の補強教材として。苦手分野の強化に活用。

第3位：『やさしい理系数学』（河合出版）

⭐⭐⭐⭐☆

おすすめポイント

• タイトルに反してレベルは高め
• 別解が豊富で多角的な視点が身につく
• 200題の厳選問題で実戦力UP

使い方：1問30分を目安に。解けなくても、別解を含めすべての解法を理解する。

微分・積分を強化したい方

📘『微積分 基礎の極意』（東京出版）

数学Ⅲの微積分を体系的に学べる名著。計算テクニックから応用問題まで網羅。

確率を強化したい方

📘『ハッとめざめる確率』（東京出版）

確率の考え方を根本から理解できる。確率漸化式の対策にも最適。

複素数平面を強化したい方

📘『複素数平面 基礎の極意』（東京出版）

複素数平面の全体像を把握できる。図形との融合問題対策に。

計算力を強化したい方

📘『合格る計算 数学Ⅲ』（文英堂）

計算スピードと正確性を高めるトレーニングに。毎日15分の計算練習を習慣に。

❌ やってはいけないこと

• 参考書を買いすぎる：多くても3〜4冊に絞る
• レベルに合わない本を選ぶ：7割以上解ける本から始める
• 途中で投げ出す：1冊を最後までやり切ることが重要
• 解説を読まない：解けた問題も解説を確認する習慣を

⭕ 心がけてほしいこと

• 同じ本を繰り返す：1冊を3周以上やり込む
• 間違えた問題を記録：ノートに解き直し、弱点を可視化
• 時間を計る：本番を意識した演習を心がける
• 定期的に復習：1週間後、1ヶ月後に再度解き直す

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私立医学部の出題傾向を熟知した講師陣が、志望校別の対策を行います。杏林大学医学部の過去問分析に基づいた、的確な指導を受けられます。

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生徒の現在の実力と志望校を踏まえ、最適な学習計画を作成します。苦手分野を効率的に克服し、得意分野をさらに伸ばす指導を行います。

💪 計算力・思考力を徹底強化

杏林大学医学部に必要な計算力と思考力を、段階的に鍛えていきます。毎回の授業で計算トレーニングを行い、本番で力を発揮できる実力を養います。

📊 過去問演習と徹底分析

杏林大学医学部の過去問を使った演習と、詳細な解説を行います。出題傾向の分析に基づいた、効率的な対策が可能です。

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医学部受験は長く厳しい道のりです。しかし、正しい方法で努力を続ければ、必ず結果はついてきます。

杏林大学医学部の数学は確かに「クセが強い」と言われますが、それは裏を返せば対策次第で大きく差をつけられるということです。

この記事で紹介した内容を実践し、日々の学習に取り組んでください。そして、困ったときや迷ったときは、ぜひ私たちを頼ってください。

杏林大学医学部合格を目指す皆さんを、心から応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

📌 記事のポイント

1. 試験形式：70分・3題・全問マークシート方式
2. 特徴：問題にクセがあり、計算量が多い。年度による難易度変動が大きい
3. 頻出分野：微分・積分、複素数平面、数列・漸化式、図形と方程式
4. 目標得点：50〜70%（年度の難易度による）
5. 攻略の秘訣：解ける問題を確実に得点する、計算力を鍛える、過去問を研究する
6. 学習計画：4月から段階的に、基礎→標準→応用→実戦と進める
7. おすすめ参考書：基礎問題精講、標準問題精講、1対1対応の演習、過去問