【慶應義塾大学 数学 傾向と対策】医学部｜藤原進之介が徹底解説

（2）の解答

1回のサイコロの目の分散を求めます。

E(1回の目²) = (1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6²)/6 = 91/6

V(1回) = E(1回の目²) - {E(1回)}² = 91/6 - 49/4 = 182/12 - 147/12 = 35/12

各回は独立なので：

V(X_n) = n × (35/12) = 35n/12

（3）の解答

n = 100 のとき：

E(X₁₀₀) = 350、V(X₁₀₀) = 3500/12 = 875/3

標準偏差 σ = √(875/3) ≈ 17.08

Z = (X₁₀₀ - 350)/σ とおくと、Zは近似的に標準正規分布N(0,1)に従う。

X₁₀₀ = 340 のとき Z = -10/17.08 ≈ -0.59

X₁₀₀ = 360 のとき Z = 10/17.08 ≈ 0.59

問題の条件 P(|Z| ≤ 0.67) = 0.50 を用いて近似すると：

P(340 ≤ X₁₀₀ ≤ 360) ≈ P(|Z| ≤ 0.59) ≈ 0.44（概算）

数列・漸化式（実際の出題例＋詳細解説）

数列・漸化式は確率漸化式の基礎となるだけでなく、単独でも出題されます。様々なタイプの漸化式を解けるようにしておきましょう。

【詳細解説】

Step 1：特性方程式を解く

x² - 5x + 6 = 0

(x - 2)(x - 3) = 0

x = 2, 3

Step 2：一般項の形を仮定

a_n = A・2ⁿ + B・3ⁿ

Step 3：初期条件からA, Bを決定

a₁ = 2A + 3B = 1 ···①

a₂ = 4A + 9B = 3 ···②

①×2 - ② より：-3B = -1、よって B = 1/3

①に代入：2A + 1 = 1、よって A = 0

答え：a_n = (1/3)・3ⁿ = 3^n-1

【詳細解説】

（1）の解答

a_n+1 - a_n = 2n + 1 より、n ≥ 2 のとき：

a_n - a₁ = Σ_k=1^n-1 (2k + 1)

= 2・(n-1)n/2 + (n-1)

= n² - n + n - 1 = n² - 1

よって a_n = n² - 1 + 2 = n² + 1

n = 1 のとき a₁ = 1 + 1 = 2 ✓（初期条件と一致）

答え：a_n = n² + 1

（2）の解答

Σ_k=1ⁿ a_k = Σ_k=1ⁿ (k² + 1)

= n(n+1)(2n+1)/6 + n

= n(n+1)(2n+1)/6 + n

= n{(n+1)(2n+1) + 6}/6

= n(2n² + 3n + 7)/6

図形・ベクトル（実際の出題例＋詳細解説）

空間ベクトルと空間図形の問題は、慶應医学部では難問として出題されることが多いです。しかし、基本的な考え方を身につければ、部分点を確実に取ることができます。

【詳細解説】

（1）の解答

点Pは辺AB上にあり、AP : PB = t : (1-t) なので：

OP = (1-t)OA + tOB = (1-t)a + tb

答え：OP = (1-t)a + tb

（2）の解答

M は OC の中点なので OM = (1/2)c

PM = OM - OP = (1/2)c - (1-t)a - tb

|PM|² = |（1/2)c - (1-t)a - tb|²

= (1-t)²|a|² + t²|b|² + (1/4)|c|² - 2t(1-t)a・b - (1-t)a・c - tb・c

条件より |a| = |b| = |c| = 1、a・b = b・c = c・a = 0 なので：

|PM|² = (1-t)² + t² + 1/4

= 1 - 2t + t² + t² + 1/4

= 2t² - 2t + 5/4

答え：PM = √(2t² - 2t + 5/4)

（3）の解答

f(t) = 2t² - 2t + 5/4 とおく。

f'(t) = 4t - 2 = 0 より t = 1/2

f(1/2) = 2(1/4) - 2(1/2) + 5/4 = 1/2 - 1 + 5/4 = 3/4

答え：t = 1/2 のとき最小値 √(3/4) = √3/2

（4）の解答

平面ABCは、OA, OB, OCの終点A, B, Cを通る平面です。

この平面上の任意の点Eは：

OE = OA + sAB + tAC（s, t は実数）

= a + s(b - a) + t(c - a)

= (1 - s - t)a + sb + tc

したがって、OE = xa + yb + zc とおくと：

x = 1 - s - t、y = s、z = t

x + y + z = 1 - s - t + s + t = 1

答え：x + y + z = 1

【詳細解説】

回転体の体積の公式より：

V = π∫₀^π y² dx = π∫₀^π sin²x dx

半角の公式 sin²x = (1 - cos2x)/2 を用いて：

V = π∫₀^π (1 - cos2x)/2 dx

= (π/2)[x - (1/2)sin2x]₀^π

= (π/2){(π - 0) - (0 - 0)}

= π²/2

整数・その他（実際の出題例＋詳細解説）

整数問題や複素数平面からの出題も見られます。特に複素数平面は新課程で重要度が増しています。

【詳細解説】

Step 1：mod 5 で考える

x² ≡ 0, 1, 4 (mod 5)

y² ≡ 0, 1, 4 (mod 5)

5z² ≡ 0 (mod 5)

よって x² + y² ≡ 0 (mod 5)

これを満たすのは x² ≡ 0 かつ y² ≡ 0 のときのみ。

（∵ x² + y² ≡ 1+1, 1+4, 4+1, 4+4, 0+1, 0+4, 1+0, 4+0 は全て ≢ 0 (mod 5)）

つまり x ≡ 0 (mod 5) かつ y ≡ 0 (mod 5)

Step 2：gcd条件の活用

gcd(x, y, z) = 1 の条件から、x, y, z が全て5の倍数ということはない。

しかし Step 1 より x, y は5の倍数でなければならない。

x = 5x', y = 5y' とおくと：

25x'² + 25y'² = 5z²

5(x'² + y'²) = z²

z² が5の倍数なので z も5の倍数。z = 5z' とおくと：

5(x'² + y'²) = 25z'²

x'² + y'² = 5z'²

これは元の方程式と同じ形。gcd(x, y, z) = 1 に矛盾。

答え：条件を満たす正の整数の組は存在しない

【詳細解説】

Step 1：条件の把握

|z - 2| = 2 は、複素数平面上で点2を中心とする半径2の円を表す。

Step 2：wとzの関係式を整理

w = (z - 2i)/(z + 2i) より

w(z + 2i) = z - 2i

wz + 2wi = z - 2i

wz - z = -2i - 2wi

z(w - 1) = -2i(1 + w)

z = -2i(1 + w)/(w - 1) = 2i(1 + w)/(1 - w)

Step 3：|z - 2| = 2 に代入

|2i(1 + w)/(1 - w) - 2| = 2

|{2i(1 + w) - 2(1 - w)}/(1 - w)| = 2

|2i + 2iw - 2 + 2w|/|1 - w| = 2

|(2 + 2i)w + (2i - 2)|/|1 - w| = 2

|2(1 + i)w + 2(i - 1)| = 2|1 - w|

|(1 + i)w + (i - 1)| = |1 - w|

|(1 + i)(w - 1) + 2i| = |1 - w|

w = u + vi とおいて計算を進めると、wが描く図形は直線または円になります。

（詳細な計算は省略しますが、1次分数変換は円を円または直線に写すという性質を利用します）

答え：中心と半径を具体的に求めると、点 -i を中心とする半径 √2 の円

厳選！合格するための練習問題10問

ここからは、慶應医学部合格のために必ず解いておきたい練習問題を10問厳選してお届けします。各問題には詳細な解答・解説を付けていますので、しっかりと取り組んでください。

【解答】

（1）

f'(x) = e^x sin x + e^x cos x = e^x(sin x + cos x)

（2）

f''(x) = e^x(sin x + cos x) + e^x(cos x - sin x) = 2e^x cos x

（3）

I = ∫e^x sin x dx とおく。部分積分を2回適用：

I = e^x sin x - ∫e^x cos x dx

= e^x sin x - {e^x cos x + ∫e^x sin x dx}

= e^x sin x - e^x cos x - I

2I = e^x(sin x - cos x)

I = (1/2)e^x(sin x - cos x) + C

【解答】

（1）

1回目でAが勝つ確率は1/3、Bが勝つ確率は1/3、あいこは1/3

p₁ = 1/3、q₁ = 1/3、r₁ = 1/3

（2）

n+1回目にAが1連勝中となるのは：

• n回目にAが0連勝（r_nまたは q_nの状態）で、n+1回目にAが勝つ

p_n+1 = (1/3)(q_n + r_n) = (1/3)(1 - p_n)

（∵ ゲームが続いている状態では p_n + q_n + r_n = 1）

（3）

p_n+1 = -(1/3)p_n + 1/3

p_n+1 - 1/4 = -(1/3)(p_n - 1/4)

p_n - 1/4 = (-1/3)^n-1(p₁ - 1/4) = (-1/3)^n-1(1/12)

p_n = 1/4 + (1/12)(-1/3)^n-1

【解答】

与式 = lim_n→∞ (1/n)Σ_k=1ⁿ sin(kπ/n)

= ∫₀¹ sin(πx) dx　（区分求積法）

= [-（1/π)cos(πx)]₀¹

= -(1/π){cos π - cos 0}

= -(1/π)(-1 - 1)

= 2/π

【解答】

（1）

△BCDは一辺4の正三角形なので、面積S = (√3/4)×16 = 4√3

Aから平面BCDへの距離hを求める。

△BCDの重心をGとすると、BG = (2/3)×(4×√3/2) = 4√3/3

AG² = AB² - BG² = 9 - 48/9 = 81/9 - 48/9 = 33/9 = 11/3

AG = √(11/3)

しかしこれは重心経由の計算。正確にはAH（高さ）を求める。

正三角形BCDの重心Gまでの距離がAGで、AがBCDの真上にあるかどうか確認が必要。

AB = AC = AD より、Aは△BCDの外接円の中心の真上にある。

正三角形の外接円の半径R = 4/√3

h² = AB² - R² = 9 - 16/3 = 27/3 - 16/3 = 11/3

h = √(11/3) = √33/3

V = (1/3)×4√3×(√33/3) = 4√99/9 = 4×3√11/9 = 4√11/3

（2）

Hは△BCDの外心（正三角形なので重心と一致）

Bを原点として位置ベクトルを設定すると：

OH = (OB + OC + OD)/3

または、Aを基準点として：

AH = (1/3)(AB + AC + AD) の平面BCD上への射影

対称性より、Hは△BCDの重心と一致するので：

H = (B + C + D)/3（位置ベクトル表示）

【解答】

|z| = 1 より z = cos θ + i sin θ（0 ≤ θ < 2π）とおける。

1/z = 1/(cos θ + i sin θ) = cos θ - i sin θ（∵ |z| = 1）

w = z + 1/z = (cos θ + i sin θ) + (cos θ - i sin θ) = 2cos θ

θ が 0 から 2π まで動くとき、cos θ は -1 から 1 まで動く。

答え：実軸上の線分 -2 ≤ w ≤ 2

【解答】

（1）

x = cos³t より dx/dt = -3cos²t sin t

面積の公式 S = |∫y dx| を用いる。第一象限の面積を求めて4倍する。

第一象限：t は π/2 から 0 まで（x が 0 から 1 まで）

S/4 = ∫_π/2⁰ sin³t・(-3cos²t sin t) dt

= 3∫₀^π/2 sin⁴t cos²t dt

ここで、sin⁴t cos²t = sin⁴t(1 - sin²t) = sin⁴t - sin⁶t

Wallis の公式より：

∫₀^π/2 sin⁴t dt = (3/4)(1/2)(π/2) = 3π/16

∫₀^π/2 sin⁶t dt = (5/6)(3/4)(1/2)(π/2) = 5π/32

S/4 = 3(3π/16 - 5π/32) = 3(6π/32 - 5π/32) = 3π/32

S = 3π/8

（2）

x^(2/3) + y^(2/3) = cos²t + sin²t = 1 より、この曲線はアステロイドと呼ばれる。

4つの頂点 (±1, 0)、(0, ±1) を持つ星形の曲線。

【解答】

7 ≡ -1 (mod 8) より

7ⁿ ≡ (-1)ⁿ (mod 8)

7ⁿ + 1 ≡ (-1)ⁿ + 1 (mod 8)

これが 0 (mod 8) となるのは：

(-1)ⁿ + 1 ≡ 0 (mod 8)

(-1)ⁿ ≡ -1 (mod 8)

よって n が奇数のとき。

答え：n が奇数

【解答】

【解法1】相加相乗平均の利用

x² + 4y² ≥ 2√(x²・4y²) = 2√(4x²y²) = 4|xy| = 4

等号成立は x² = 4y² かつ xy = 1 のとき。

x = 2y（x, y > 0 より）を xy = 1 に代入：2y² = 1、y = 1/√2、x = √2

答え：最小値 4（x = √2、y = 1/√2 のとき）

【解法2】微分の利用

y = 1/x を代入して f(x) = x² + 4/x²（x > 0）

f'(x) = 2x - 8/x³ = (2x⁴ - 8)/x³

f'(x) = 0 となるのは x⁴ = 4、x = √2

f(√2) = 2 + 4/2 = 4

【解答】

V = π∫₁^e (ln x)² dx

I = ∫(ln x)² dx を部分積分で求める。

u = (ln x)²、v' = 1 とおくと u' = 2(ln x)/x、v = x

I = x(ln x)² - ∫x・2(ln x)/x dx = x(ln x)² - 2∫ln x dx

∫ln x dx = x ln x - x + C より：

I = x(ln x)² - 2(x ln x - x) + C = x(ln x)² - 2x ln x + 2x + C

V = π[x(ln x)² - 2x ln x + 2x]₁^e

= π{(e・1 - 2e・1 + 2e) - (0 - 0 + 2)}

= π{(e - 2e + 2e) - 2}

= π(e - 2)

V = π(e - 2)

【解答】

（1）

表が出る確率は 1/2 なので：

P(X = k) = _nC_k (1/2)^k (1/2)^n-k = _nC_k (1/2)ⁿ

（2）

二項分布 B(n, 1/2) に従うので：

E(X) = n/2

V(X) = n・(1/2)・(1/2) = n/4

（3）

|X/n - 1/2| < 0.1 は |X - n/2| < 0.1n と同値。

大数の法則より、n → ∞ のとき X/n → 1/2（確率収束）

より詳しく、中心極限定理より (X - n/2)/√(n/4) = (X - n/2)/(√n/2) は N(0,1) に収束。

|X - n/2| < 0.1n は |(X - n/2)/(√n/2)| < 0.2√n

n → ∞ のとき 0.2√n → ∞ なので：

lim_n→∞ P(|X/n - 1/2| < 0.1) = 1

年間学習ロードマップ

慶應義塾大学医学部合格に向けた、高校3年生の年間学習計画を提案します。もちろん、現時点での学力によって調整が必要ですが、以下を参考にしてください。

【4月〜6月】基礎固め期

【7月〜8月】実力養成期（夏休み）

【9月〜11月】応用力強化期

【12月〜1月】直前対策期

【2月】本番直前

• 試験1週間前：新規の問題演習はストップ。復習に徹する
• 試験3日前：公式・解法の最終確認
• 試験前日：軽めの復習のみ。十分な睡眠を取る
• 試験当日：早めに会場入り。深呼吸して落ち着く

藤原おすすめ参考書ランキング

慶應義塾大学医学部合格を目指すなら、以下の参考書を段階的に使用することをおすすめします。

【基礎固め編】必須の3冊

【実力養成編】応用力をつける4冊

【直前対策編】仕上げの2冊

【分野別強化】苦手克服のための推薦書

日本数学塾・数強塾で慶應義塾大学医学部合格を目指そう

ここまで、慶應義塾大学医学部の数学対策について詳しく解説してきました。しかし、独学だけで合格を勝ち取るのは非常に難しいのも事実です。

なぜ専門塾での学習が効果的なのか

日本数学塾の特徴

数強塾の特徴

無料体験授業のご案内

藤原進之介からのメッセージ

まとめ：慶應義塾大学医学部 数学攻略の要点

最後に、本記事の要点をまとめます。

慶應義塾大学医学部の合格は、決して夢ではありません。この記事で紹介した方法を実践し、日々の努力を積み重ねてください。

そして、一人で悩まず、ぜひ日本数学塾・数強塾の無料体験授業にお申し込みください。私たちが全力でサポートします。

あなたの慶應医学部合格を、心より応援しています！

著者プロフィール
藤原進之介（ふじわら しんのすけ）
日本数学塾・数強塾 看板講師。難関医学部・難関大学への合格者を多数輩出。数学の本質を理解させる指導に定評があり、「数学嫌いを数学好きに変える」をモットーに日々指導にあたっている。

関連リンク
・日本数学塾 公式サイト
・数強塾 公式サイト