【ベクトルの基礎】基礎から入試まで完全攻略｜問題30問+解説｜藤原進之介

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、数学IIBの中でも特に重要な単元である「ベクトルの基礎」について、基礎から入試レベルまで完全攻略できる記事をお届けします。

ベクトルは「なんとなくわかった気がする」で終わってしまう生徒が非常に多い単元です。しかし、入試では確実に出題される重要分野であり、ここをしっかり固めることが数学の得点アップに直結します。

この記事では、厳選した30問（基礎10問・標準10問・発展10問）すべてに詳細な解説を付けています。一つ一つ丁寧に取り組むことで、必ずベクトルを得意分野にできるはずです。

この記事でわかること

• ✅ ベクトルの基本概念（向き・大きさ・相等・演算）の本質的理解
• ✅ 位置ベクトル・成分表示・内積の完全マスター
• ✅ 入試で頻出の公式と、その使い分けのコツ
• ✅ 基礎問題10問で土台を固める
• ✅ 標準問題10問で入試頻出パターンを習得
• ✅ 発展・入試レベル問題10問で実戦力を養成
• ✅ 多くの受験生がつまずくポイントとその完全対策
• ✅ 共通テスト・大学入試での最新出題傾向
• ✅ 効率的な勉強法とおすすめ参考書

それでは、ベクトルの世界へ一緒に飛び込みましょう！

ベクトルの基礎 の基本概念と重要公式

1. ベクトルとは何か

ベクトルとは、「向き」と「大きさ」の2つの要素を持つ量のことです。

例えば、「東に5km進む」という移動は、「向き＝東」「大きさ＝5km」という2つの情報を含んでいます。これがベクトルの典型例です。

一方、「5km」のように大きさだけを持つ量はスカラーと呼ばれます。温度、質量、時間などがスカラーの例です。

2. ベクトルの相等

2つのベクトル →a と →b が等しい（→a = →b）とは、以下の2条件を満たすことです：

1. 向きが同じ
2. 大きさが同じ

注意：始点の位置は関係ありません。平行移動しても向きと大きさが同じなら、同じベクトルとみなします。

3. ベクトルの演算

（1）ベクトルの加法

→a + →b は、→a の終点に →b の始点を合わせたときの、→a の始点から →b の終点へ向かうベクトルです。

（2）ベクトルの減法

→a − →b = →a + (−→b)

ここで、−→b は →b と大きさが同じで向きが逆のベクトル（逆ベクトル）です。

（3）ベクトルの実数倍

実数 k と ベクトル →a に対して、k→a は次のように定義されます：

• k > 0 のとき：→a と同じ向きで、大きさが k|→a| のベクトル
• k < 0 のとき：→a と逆向きで、大きさが |k||→a| のベクトル
• k = 0 のとき：零ベクトル →0

4. 零ベクトルと単位ベクトル

零ベクトル →0

大きさが0のベクトル。始点と終点が一致するベクトル（→AA など）。

単位ベクトル

大きさが1のベクトル。→a の単位ベクトルは →a / |→a| で求められます。

5. 成分表示

平面上のベクトルは、基本ベクトル →e₁ = (1, 0) と →e₂ = (0, 1) を用いて表すことができます。

→a = (a₁, a₂) のとき、→a = a₁→e₁ + a₂→e₂ です。

6. 位置ベクトル

ある定点O（原点）を基準として、点Pの位置を表すベクトル →OP を、点Pの位置ベクトルといいます。

点Aの位置ベクトルを →a、点Bの位置ベクトルを →b とすると：

7. ベクトルの内積

2つのベクトル →a と →b の内積は次のように定義されます：

→a · →b = |→a||→b|cosθ

ここで、θは →a と →b のなす角（0° ≤ θ ≤ 180°）です。

【最重要】垂直条件

→a ⊥ →b ⟺ →a · →b = 0

2つのベクトルが垂直であることと、内積が0であることは同値です。これは入試で最も頻出の条件です！

8. ベクトルの平行条件

2つのベクトル →a と →b が平行（→a // →b）であるための条件：

• →b = k→a（k は実数）と表せる
• 成分表示で →a = (a₁, a₂)、→b = (b₁, b₂) のとき：a₁b₂ − a₂b₁ = 0

9. ベクトル方程式

10. 三角形と点の存在範囲

三角形OABの内部および周上の点Pは、次のように表されます：

→OP = s→OA + t→OB（s ≥ 0, t ≥ 0, s + t ≤ 1）

基礎問題 10問（全問解説付き）

【基礎問題1】ベクトルの加法・減法

考え方

ベクトルの成分計算は、対応する成分同士で計算を行います。加法は各成分を足し、減法は各成分を引きます。実数倍は各成分に実数をかけます。

解法

（1）→a + →b

→a + →b = (3, −2) + (−1, 5)

= (3 + (−1), −2 + 5)

= (2, 3)

（2）→a − →b

→a − →b = (3, −2) − (−1, 5)

= (3 − (−1), −2 − 5)

= (4, −7)

（3）2→a + 3→b

2→a + 3→b = 2(3, −2) + 3(−1, 5)

= (6, −4) + (−3, 15)

= (3, 11)

答

（1）(2, 3)　（2）(4, −7)　（3）(3, 11)

【基礎問題2】ベクトルの大きさ

考え方

ベクトルの大きさは、各成分の2乗の和の平方根で求められます。|→v| = √(v₁² + v₂²) の公式を使います。

解法

（1）|→a|

|→a| = √(3² + 4²)

= √(9 + 16)

= √25

= 5

（2）|→b|

|→b| = √((−2)² + 1²)

= √(4 + 1)

= √5

（3）|→a − →b|

まず →a − →b を計算します。

→a − →b = (3, 4) − (−2, 1) = (5, 3)

|→a − →b| = √(5² + 3²)

= √(25 + 9)

= √34

答

（1）5　（2）√5　（3）√34

【基礎問題3】単位ベクトル

考え方

単位ベクトルとは大きさが1のベクトルです。→a と同じ向きの単位ベクトルは、→a を |→a| で割ることで求められます。

解法

まず |→a| を求めます。

|→a| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

→a と同じ向きの単位ベクトルは：

→a / |→a| = (6, 8) / 10 = (3/5, 4/5)

答

(3/5, 4/5)

確認：|(3/5, 4/5)| = √((3/5)² + (4/5)²) = √(9/25 + 16/25) = √(25/25) = 1 ✓

【基礎問題4】2点間の距離とベクトル

考え方

→AB は「終点−始点」で求めます。つまり、B の座標から A の座標を引きます。|→AB| は2点間の距離に等しいです。

解法

（1）→AB

→AB = (B の x 座標 − A の x 座標, B の y 座標 − A の y 座標)

= (4 − 1, 7 − 3)

= (3, 4)

（2）|→AB|

|→AB| = √(3² + 4²)

= √(9 + 16)

= √25

= 5

答

（1）(3, 4)　（2）5

【基礎問題5】内分点・外分点の位置ベクトル

考え方

内分点は公式 →p = (n→a + m→b) / (m + n) を使います。外分点は公式 →q = (−n→a + m→b) / (m − n) を使います。「内分は足す、外分は引く」と覚えましょう。

解法

（1）内分点P（2:1に内分）

m = 2, n = 1 とすると

P = (1·A + 2·B) / (2 + 1)

= (1·(2, 1) + 2·(8, 7)) / 3

= ((2, 1) + (16, 14)) / 3

= (18, 15) / 3

= (6, 5)

（2）外分点Q（2:1に外分）

m = 2, n = 1 とすると

Q = (−1·A + 2·B) / (2 − 1)

= (−(2, 1) + 2·(8, 7)) / 1

= (−2, −1) + (16, 14)

= (14, 13)

答

（1）P(6, 5)　（2）Q(14, 13)

【基礎問題6】ベクトルの内積（定義）

考え方

内積の定義 →a · →b = |→a||→b|cosθ を直接使います。

解法

→a · →b = |→a||→b|cos60°

= 3 × 4 × (1/2)

= 12 × (1/2)

= 6

答

6

【基礎問題7】ベクトルの内積（成分）

考え方

成分が与えられているときの内積は、対応する成分の積の和で計算します。→a · →b = a₁b₁ + a₂b₂

解法

→a · →b = 2 × 4 + (−3) × 2

= 8 − 6

= 2

答

2

【基礎問題8】なす角の計算

考え方

cosθ = (→a · →b) / (|→a||→b|) の公式を使います。内積と大きさをそれぞれ計算してから、cosθ の値を求めます。

解法

内積を計算：

→a · →b = 1 × 2 + √3 × 0 = 2

大きさを計算：

|→a| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2

|→b| = √(2² + 0²) = √4 = 2

cosθ を計算：

cosθ = (→a · →b) / (|→a||→b|)

= 2 / (2 × 2)

= 2/4

= 1/2

cosθ = 1/2 より、θ = 60°

答

60°

【基礎問題9】垂直条件

考え方

2つのベクトルが垂直 ⟺ 内積が0 です。この条件から k の方程式を立てて解きます。

解法

→a ⊥ →b のとき、→a · →b = 0

→a · →b = 2 × k + 3 × (−4)

= 2k − 12

これが0になるから：

2k − 12 = 0

2k = 12

k = 6

答

k = 6

【基礎問題10】平行条件

【基礎問題10】平行条件

考え方

2つのベクトルが平行 ⟺ a₁b₂ − a₂b₁ = 0 です。これは「たすき掛け」と覚えると便利です。

解法

→a // →b のとき、a₁b₂ − a₂b₁ = 0

3 × k − 6 × 2 = 0

3k − 12 = 0

3k = 12

k = 4

答

k = 4

確認：→a = (3, 6) = 3(1, 2)、→b = (2, 4) = 2(1, 2) より、確かに平行です。✓

標準問題 10問（全問解説付き）

ここからは入試で頻出のパターンを網羅した標準問題です。各問題には入試での出題パターン名も付けています。

【標準問題1】ベクトルの分解（一次結合）

考え方

→c = s→a + t→b とおいて、成分を比較することで s, t についての連立方程式を得ます。

解法

→c = s→a + t→b より

(7, 11) = s(2, 1) + t(1, 3)

(7, 11) = (2s + t, s + 3t)

成分を比較して：

2s + t = 7 ... ①

s + 3t = 11 ... ②

①×3 − ② より：

6s + 3t − s − 3t = 21 − 11

5s = 10

s = 2

s = 2 を①に代入：

4 + t = 7

t = 3

よって、→c = 2→a + 3→b

答

→c = 2→a + 3→b（すなわち s = 2, t = 3）

【標準問題2】三角形の重心の位置ベクトル

考え方

三角形の重心は、3頂点の位置ベクトルの平均で求められます。重心G = (A + B + C) / 3

解法

重心Gの座標は各座標の平均です。

G の x 座標 = (1 + 4 + 7) / 3 = 12/3 = 4

G の y 座標 = (2 + 8 + 2) / 3 = 12/3 = 4

よって、G(4, 4)

答

G(4, 4)

【標準問題3】内積を用いた|→a + →b|の計算

考え方

|→a + →b|² = (→a + →b) · (→a + →b) と展開して計算します。内積の分配法則を使います。

解法

Step 1：まず →a · →b を求める

→a · →b = |→a||→b|cos120°

= 3 × 2 × (−1/2)

= −3

Step 2：|→a + →b|² を計算する

|→a + →b|² = (→a + →b) · (→a + →b)

= →a · →a + 2(→a · →b) + →b · →b

= |→a|² + 2(→a · →b) + |→b|²

= 3² + 2×(−3) + 2²

= 9 − 6 + 4

= 7

Step 3：|→a + →b| を求める

|→a + →b| = √7

答

√7

【標準問題4】線分上の点を位置ベクトルで表す

考え方

まずP, Qの位置ベクトルを求め、次にPQの内分点Rの位置ベクトルを求めます。

解法

Step 1：点Pの位置ベクトル

PはOAを2:1に内分するから：

→OP = (2/3)→a

Step 2：点Qの位置ベクトル

QはOBを1:2に内分するから：

→OQ = (1/3)→b

Step 3：点Rの位置ベクトル

RはPQを3:1に内分するから：

→OR = (1·→OP + 3·→OQ) / (3 + 1)

= (→OP + 3→OQ) / 4

= ((2/3)→a + 3·(1/3)→b) / 4

= ((2/3)→a + →b) / 4

= (1/6)→a + (1/4)→b

答

→OR = (1/6)→a + (1/4)→b

【標準問題5】3点が一直線上にある条件

考え方

3点が一直線上にある条件は、→AB // →AC（2つのベクトルが平行）です。平行条件を使って k を求めます。

解法

Step 1：→AB と →AC を求める

→AB = (3 − 1, 5 − 2) = (2, 3)

→AC = (k − 1, 11 − 2) = (k − 1, 9)

Step 2：平行条件を適用

→AB // →AC より、a₁b₂ − a₂b₁ = 0

2 × 9 − 3 × (k − 1) = 0

18 − 3k + 3 = 0

21 − 3k = 0

3k = 21

k = 7

答

k = 7

【標準問題6】垂直条件を用いた問題

考え方

垂直条件「内積 = 0」を使います。(→a + t→b) · →a = 0 から t を求めます。

解法

Step 1：→a + t→b を計算

→a + t→b = (1, 2) + t(3, −1)

= (1 + 3t, 2 − t)

Step 2：垂直条件を適用

(→a + t→b) · →a = 0

(1 + 3t, 2 − t) · (1, 2) = 0

1(1 + 3t) + 2(2 − t) = 0

1 + 3t + 4 − 2t = 0

5 + t = 0

t = −5

答

t = −5

【標準問題7】ベクトルの成分と三角形の面積

考え方

2つのベクトル →OA = (a₁, a₂)、→OB = (b₁, b₂) がなす三角形の面積は S = (1/2)|a₁b₂ − a₂b₁| で求められます。

解法

→OA = (3, 1)、→OB = (1, 4) より

S = (1/2)|a₁b₂ − a₂b₁|

= (1/2)|3 × 4 − 1 × 1|

= (1/2)|12 − 1|

= (1/2) × 11

= 11/2

答

S = 11/2

【標準問題8】中線の交点と重心

考え方

GはAM上の点なので →AG = s→AM と表せ、またBN上の点なので →AG = →AB + t→BN とも表せます。2通りの表現を比較します。

解法

Step 1：M, N の位置ベクトルを求める

M は BC の中点だから：→AM = (→AB + →AC)/2 = (→b + →c)/2

N は AC の中点だから：→AN = (1/2)→c

Step 2：G を AM 上の点として表す

G は AM 上にあるから：

→AG = s→AM = s · (→b + →c)/2 = (s/2)→b + (s/2)→c ... ①

Step 3：G を BN 上の点として表す

→BN = →AN − →AB = (1/2)→c − →b

G は BN 上にあるから：

→AG = →AB + t→BN = →b + t((1/2)→c − →b)

= (1 − t)→b + (t/2)→c ... ②

Step 4：①と②を比較

→b と →c は一次独立なので、係数を比較：

s/2 = 1 − t ... ③

s/2 = t/2 ... ④

④より s = t

③に代入：s/2 = 1 − s

s/2 + s = 1

3s/2 = 1

s = 2/3

よって、→AG = (2/3) · (→b + →c)/2 = (1/3)→b + (1/3)→c = (1/3)(→b + →c)

答

→AG = (1/3)(→b + →c)　（これは重心の位置ベクトルに一致します）

【標準問題9】点の存在範囲

考え方

s + t = 1 という条件から、t = 1 − s と置き換えて →OP の式を変形します。

解法

t = 1 − s を代入すると：

→OP = s→OA + (1 − s)→OB

= s→OA + →OB − s→OB

= →OB + s(→OA − →OB)

= →OB + s→BA

これは、点Bを通り →BA 方向のベクトルを表します。

条件より：

• s ≥ 0, t ≥ 0 かつ s + t = 1 より 0 ≤ s ≤ 1

s = 0 のとき →OP = →OB（点B）

s = 1 のとき →OP = →OA（点A）

よって、点Pの存在範囲は線分AB（両端を含む）

答

線分AB（A, Bを含む）

【標準問題10】ベクトルの終点の軌跡

考え方

→p を成分で表し、x, y 座標の関係式を導きます。

解法

→p = (cosθ)(1, 0) + (sinθ)(0, 1)

= (cosθ, 0) + (0, sinθ)

= (cosθ, sinθ)

点P(x, y) とすると：

x = cosθ, y = sinθ

三角関数の相互関係より：

x² + y² = cos²θ + sin²θ = 1

よって、点Pの軌跡は原点を中心とする半径1の円

答

原点を中心とする半径1の円（x² + y² = 1）

発展・入試レベル問題 10問（全問解説付き）

ここからは実際の大学入試で出題されるレベルの問題です。難関大学志望者は必ずマスターしてください。

【発展問題1】内積の最大・最小（頻出！）

考え方

内積の定義 →a · →b = |→a||→b|cosθ を使い、cosθ の取りうる範囲から最大・最小を考えます。

解法

→a · →b = |→a||→b|cosθ = 2 × 3 × cosθ = 6cosθ

−1 ≤ cosθ ≤ 1 より：

−6 ≤ 6cosθ ≤ 6

最大値：6（θ = 0°、すなわち →a と →b が同じ向きのとき）

最小値：−6（θ = 180°、すなわち →a と →b が逆向きのとき）

答

最大値：6、最小値：−6

【発展問題2】|→a + t→b| の最小値

考え方

|→a + t→b|² を t の2次関数として捉え、平方完成または微分により最小値を求めます。

解法

|→a + t→b|² = (→a + t→b) · (→a + t→b)

= →a · →a + 2t(→a · →b) + t²(→b · →b)

= |→a|² + 2t(→a · →b) + t²|→b|²

= 9 + 8t + 4t²

= 4t² + 8t + 9

これを t について平方完成：

= 4(t² + 2t) + 9

= 4(t² + 2t + 1 − 1) + 9

= 4(t + 1)² − 4 + 9

= 4(t + 1)² + 5

t = −1 のとき最小値 5 をとる。

よって、|→a + t→b| の最小値は √5（t = −1 のとき）

答

最小値：√5（t = −1 のとき）

【発展問題3】直線に下ろした垂線の足

考え方

H は直線 l 上の点なので →OH = t→OB と表せます。また、→AH ⊥ →OB より内積が0という条件を使います。

解法

Step 1：H を t を用いて表す

→OB = (3, 1) より

→OH = t→OB = (3t, t)

よって H(3t, t)

Step 2：→AH を求める

→AH = →OH − →OA = (3t, t) − (4, 5) = (3t − 4, t − 5)

Step 3：垂直条件を適用

→AH ⊥ →OB より →AH · →OB = 0

(3t − 4, t − 5) · (3, 1) = 0

3(3t − 4) + 1(t − 5) = 0

9t − 12 + t − 5 = 0

10t − 17 = 0

t = 17/10

Step 4：H の座標を求める

H = (3 × 17/10, 17/10) = (51/10, 17/10)

答

H(51/10, 17/10)

【発展問題4】三角形の垂心

考え方

垂心とは、各頂点から対辺に下ろした垂線の交点です。→AH = s→b + t→c とおき、垂直条件 →BH ⊥ →AC、→CH ⊥ →AB から s, t を求めます。

解法

Step 1：→AH を s, t で表す

→AH = s→b + t→c ... ①

Step 2：→BH と →CH を求める

→BH = →AH − →AB = s→b + t→c − →b = (s − 1)→b + t→c

→CH = →AH − →AC = s→b + t→c − →c = s→b + (t − 1)→c

Step 3：垂直条件を適用

【条件1】→BH ⊥ →AC より →BH · →c = 0

((s − 1)→b + t→c) · →c = 0

(s − 1)(→b · →c) + t|→c|² = 0 ... ②

【条件2】→CH ⊥ →AB より →CH · →b = 0

(s→b + (t − 1)→c) · →b = 0

s|→b|² + (t − 1)(→b · →c) = 0 ... ③

Step 4：連立方程式を解く

→b · →c = k、|→b|² = b²、|→c|² = c² とおく。

②より：(s − 1)k + tc² = 0　⇒　sk − k + tc² = 0 ... ②'

③より：sb² + tk − k = 0 ... ③'

②'より：sk + tc² = k

③'より：sb

③'より：sb² + tk = k

②'×b² − ③'×k より：

skb² + tc²b² − ksb² − tk² = kb² − k²

tc²b² − tk² = kb² − k²

t(c²b² − k²) = k(b² − k)

t = k(b² − k) / (b²c² − k²)

同様に、②'×k − ③'×c² より：

sk² + tc²k − sb²c² − tkc² = k² − kc²

sk² − sb²c² = k² − kc²

s(k² − b²c²) = k(k − c²)

s = k(k − c²) / (k² − b²c²) = k(c² − k) / (b²c² − k²)

したがって：

→AH = [k(c² − k) / (b²c² − k²)]→b + [k(b² − k) / (b²c² − k²)]→c

ここで k = →b · →c、b² = |→b|²、c² = |→c|² です。

答

→AH = [(→b · →c)(|→c|² − →b · →c) / (|→b|²|→c|² − (→b · →c)²)]→b + [(→b · →c)(|→b|² − →b · →c) / (|→b|²|→c|² − (→b · →c)²)]→c

別解（簡潔な形）：分母を D = |→b|²|→c|² − (→b · →c)² とおくと、

→AH = [(→b · →c)(|→c|² − →b · →c)→b + (→b · →c)(|→b|² − →b · →c)→c] / D

【発展問題5】2直線の交点の位置ベクトル

考え方

R は AQ 上の点であり、同時に BP 上の点でもあります。それぞれの直線上の点として2通りに表し、係数比較により交点を求めます。

解法

Step 1：P, Q の位置ベクトル

P は OA を 1:2 に内分：→OP = (1/3)→a

Q は OB を 3:1 に内分：→OQ = (3/4)→b

Step 2：R を AQ 上の点として表す

R は AQ 上にあるから、実数 s を用いて：

→OR = (1 − s)→OA + s→OQ

= (1 − s)→a + s · (3/4)→b

= (1 − s)→a + (3s/4)→b ... ①

Step 3：R を BP 上の点として表す

R は BP 上にあるから、実数 t を用いて：

→OR = (1 − t)→OB + t→OP

= (1 − t)→b + t · (1/3)→a

= (t/3)→a + (1 − t)→b ... ②

Step 4：①と②の係数を比較

→a と →b は一次独立なので：

→a の係数：1 − s = t/3 ... ③

→b の係数：3s/4 = 1 − t ... ④

③より t = 3(1 − s) = 3 − 3s

④に代入：3s/4 = 1 − (3 − 3s) = 1 − 3 + 3s = −2 + 3s

3s/4 = 3s − 2

3s = 12s − 8

−9s = −8

s = 8/9

Step 5：→OR を求める

①に s = 8/9 を代入：

→OR = (1 − 8/9)→a + (3 × 8/9 / 4)→b

= (1/9)→a + (24/36)→b

= (1/9)→a + (2/3)→b

= (1/9)→a + (2/3)→b

答

→OR = (1/9)→a + (2/3)→b

【発展問題6】メネラウスの定理とベクトル

考え方

位置ベクトルを用いて P を2通りに表し、係数比較から比を求めます。または、メネラウスの定理を直接適用することもできます。

解法

→AB = →b、→AC = →c とおく。

Step 1：D, E の位置ベクトル

D は BC を 2:3 に内分：

→AD = (3→AB + 2→AC) / 5 = (3→b + 2→c) / 5

E は CA を 3:2 に内分（C から A 方向に 3:2）：

→AE = (2/5)→AC = (2/5)→c

Step 2：P を AD 上の点として表す

P は AD 上にあるから、AP:PD = k:(1−k) とすると：

→AP = k→AD = k(3→b + 2→c) / 5 = (3k/5)→b + (2k/5)→c ... ①

Step 3：P を BE 上の点として表す

→BE = →AE − →AB = (2/5)→c − →b

P は BE 上にあるから、BP:PE = m:(1−m) とすると：

→AP = →AB + m→BE = →b + m((2/5)→c − →b)

= (1 − m)→b + (2m/5)→c ... ②

Step 4：係数比較

①と②を比較：

3k/5 = 1 − m ... ③

2k/5 = 2m/5 ... ④

④より k = m

③に代入：3k/5 = 1 − k

3k/5 + k = 1

8k/5 = 1

k = 5/8

Step 5：比を求める

AP:AD = k:1 = 5/8:1 = 5:8

よって AP:PD = 5:(8−5) = 5:3

答

AP:PD = 5:3

【発展問題7】円のベクトル方程式

考え方

円とは「中心からの距離が一定（半径）である点の集合」です。これをベクトルの大きさで表現します。

解法

Step 1：ベクトル方程式

点 P が中心 A、半径 3 の円上にある条件：

|→AP| = 3

→p = →OP、→a = →OA とすると：

|→p − →a| = 3

Step 2：成分表示

→p = (x, y)、→a = (1, 2) より：

|→p − →a| = |(x − 1, y − 2)| = √((x − 1)² + (y − 2)²) = 3

両辺を2乗して：

(x − 1)² + (y − 2)² = 9

答

ベクトル方程式：|→p − →a| = 3（または |→AP| = 3）

円の方程式：(x − 1)² + (y − 2)² = 9

【発展問題8】正射影ベクトル（頻出！）

考え方

正射影ベクトルとは、→a を →b 方向に「影」を落としたベクトルです。公式：正射影 = ((→a · →b) / |→b|²) →b

解法

Step 1：内積を計算

→a · →b = 3 × 1 + 4 × 0 = 3

Step 2：|→b|² を計算

|→b|² = 1² + 0² = 1

Step 3：正射影ベクトルを計算

正射影 = (→a · →b / |→b|²) →b

= (3/1) × (1, 0)

= (3, 0)

答

(3, 0)

補足：一般に、→a の →b への正射影ベクトルは：

proj_→b(→a) = ((→a · →b) / |→b|²) →b

【発展問題9】内積と不等式

考え方

それぞれを内積を用いて展開し、整理します。このような問題では、内積 →a · →b が消去されることがポイントです。

解法

Step 1：|→a + →b|² を展開

|→a + →b|² = (→a + →b) · (→a + →b)

= |→a|² + 2(→a · →b) + |→b|²

= 4 + 2(→a · →b) + 9

= 13 + 2(→a · →b)

Step 2：|→a − →b|² を展開

|→a − →b|² = (→a − →b) · (→a − →b)

= |→a|² − 2(→a · →b) + |→b|²

= 4 − 2(→a · →b) + 9

= 13 − 2(→a · →b)

Step 3：和を計算

|→a + →b|² + |→a − →b|²

= (13 + 2(→a · →b)) + (13 − 2(→a · →b))

= 26

答

26

注目！：この結果は →a · →b の値によらず一定です。これは中線定理（平行四辺形の対角線に関する性質）のベクトル版です。

【発展問題10】三角形の面積の最大値（総合問題）

考え方

三角形の面積公式 S = (1/2)|→a||→b|sinθ を使い、sinθ が最大となる条件を考えます。

解法

Step 1：面積公式

→a と →b を2辺とする三角形（O を頂点とし、→OA = →a、→OB = →b とする三角形OAB）の面積は：

S = (1/2)|→a||→b|sinθ

ここで θ は →a と →b のなす角（0° ≤ θ ≤ 180°）

Step 2：面積の計算

S = (1/2) × 2 × 3 × sinθ = 3sinθ

Step 3：最大値を求める

0° ≤ θ ≤ 180° において、0 ≤ sinθ ≤ 1

sinθ = 1（θ = 90°）のとき S は最大

S の最大値 = 3 × 1 = 3

答

最大値：3（→a ⊥ →b のとき）

別解：成分を使った三角形の面積公式

→a = (a₁, a₂)、→b = (b₁, b₂) のとき

S = (1/2)|a₁b₂ − a₂b₁|

この |a₁b₂ − a₂b₁| は →a と →b が直交するときに最大値 |→a||→b| = 6 をとるため、S の最大値は 3 となります。

よくある間違いと完全対策

ここでは、私が長年の指導経験で見てきた、多くの受験生がつまずくポイントとその対策をまとめます。

【間違い1】→AB の計算を逆にする

【間違い2】内分・外分の公式の混同

【間違い3】内積をベクトルだと思ってしまう

【間違い4】平行条件と垂直条件の混同

【間違い5】|→a + →b| ≠ |→a| + |→b| を忘れる

【間違い6】一次独立の条件を忘れる

【間違い7】なす角の範囲を忘れる

共通テスト・大学入試での出題傾向

共通テストの傾向（2024年〜2025年）

難関大学（国公立・私立）の傾向

年度別の出題ポイント

分野別・配点傾向

効果的な対策法

藤原進之介おすすめ勉強法と参考書

ベクトル攻略のための3ステップ勉強法

レベル別おすすめ参考書

【初学者・基礎固めレベル】

【標準・入試対策レベル】

【難関大・発展レベル】

藤原流・効率的な復習法

日本数学塾・数強塾でさらに実力アップ

まとめ

この記事では、「ベクトルの基礎」について、以下の内容を解説しました。

ベクトルは、一度理解してしまえば得点源になりやすい分野です。この記事の30問をすべてマスターすれば、入試で出題されるベクトルの問題の大半に対応できるはずです。

ただし、数学は「読むだけ」では身につきません。必ず自分の手を動かして問題を解いてください。最初は解けなくても、解説を読み、もう一度自力で解く。この繰り返しが、確実な実力につながります。

みなさんの数学力向上を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介