愛知県立大学 2013年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

皆さん、こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、愛知県立大学 2013年度 数学の過去問を徹底解説していきます。愛知県立大学は、愛知県長久手市に本部を置く公立大学で、外国語学部、日本文化学部、教育福祉学部、看護学部、情報科学部の5学部を擁しています。数学が課される学部・学科を目指す受験生にとって、過去問対策は合格への最短ルートです。

この記事では、2013年度の数学入試問題を大問ごとに詳しく解説し、解法のポイント、別解、さらには類似問題による演習まで網羅的にカバーします。ぜひ最後まで読んで、愛知県立大学合格に向けた実力を身につけてください！

試験概要・難易度

愛知県立大学 2013年度 数学入試の基本情報

項目	内容
実施年度	2013年度（平成25年度）前期日程
試験時間	90分
出題形式	記述式（大問4題構成）
配点	情報科学部：200点満点
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B（数列・ベクトル）
難易度	標準〜やや難

2013年度の全体講評

2013年度の愛知県立大学数学入試は、全体的に標準的な難易度でありながら、一部に思考力を問う良問が含まれていました。出題分野としては、以下のような傾向が見られました：

• 大問1：二次関数と最大・最小（数学Ⅰ）
• 大問2：確率と漸化式の融合問題（数学A・B）
• 大問3：ベクトルと空間図形（数学B）
• 大問4：微分積分と面積計算（数学Ⅱ・Ⅲ）

愛知県立大学の数学入試の特徴として、計算力と論理的思考力のバランスが重視される点が挙げられます。特に、途中式をしっかり書くことが求められる記述式のため、部分点を確保するためにも丁寧な答案作成が重要です。

2013年度は例年と比較して、微分積分からの出題がやや重めであり、数学Ⅲの履修が必要な情報科学部志望者にとっては、この分野の対策が合否を分けるポイントとなりました。

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

■ (1) の解説：最小値を求める

まず、$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ を平方完成します。

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$

二次関数 $f(x)$ は下に凸の放物線であり、頂点の $x$ 座標は $x = a$ です。

したがって、最小値は頂点の $y$ 座標であり：

最小値 $= -a^2 + a + 2$

■ (2) の解説：区間における最大値

$0 leq x leq 2$ における最大値を求めるには、軸の位置による場合分けが必要です。

頂点の $x$ 座標が $a$ なので、区間 $[0, 2]$ の中点 $x = 1$ との位置関係で場合分けします。

【場合1】$a leq 1$ のとき

軸が区間の中点より左側にあるため、最大値は $x = 2$ で達成されます。

$M(a) = f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a$

【場合2】$a > 1$ のとき

軸が区間の中点より右側にあるため、最大値は $x = 0$ で達成されます。

$M(a) = f(0) = 0 - 0 + a + 2 = a + 2$

答え：
$M(a) = begin{cases} 6 - 3a & (a leq 1) \ a + 2 & (a > 1) end{cases}$

■ (3) の解説：常に非負となる条件

$0 leq x leq 2$ で $f(x) geq 0$ が常に成り立つためには、この区間における最小値が0以上であればよいです。

区間内での最小値の位置は、軸 $x = a$ の位置によって変わります。

【場合1】$a < 0$ のとき

軸が区間の左側にあるため、最小値は $x = 0$ で達成。

$f(0) = a + 2 geq 0$ より $a geq -2$

$a < 0$ との共通部分：$-2 leq a < 0$

【場合2】$0 leq a leq 2$ のとき

軸が区間内にあるため、最小値は頂点で達成。

$-a^2 + a + 2 geq 0$
$a^2 - a - 2 leq 0$
$(a - 2)(a + 1) leq 0$
$-1 leq a leq 2$

$0 leq a leq 2$ との共通部分：$0 leq a leq 2$

【場合3】$a > 2$ のとき

軸が区間の右側にあるため、最小値は $x = 2$ で達成。

$f(2) = 6 - 3a geq 0$ より $a leq 2$

$a > 2$ との共通部分：解なし

答え：$-2 leq a leq 2$

別解・発展

【別解】(3)について、グラフを利用した視覚的理解

$f(x) geq 0$ の条件は、放物線 $y = f(x)$ が区間 $[0, 2]$ において $x$ 軸より上側（または接する）にあることを意味します。

この条件を図示すると、軸の移動に伴って最小値の位置が変化する様子が明確になります。特に、軸が区間の端点と一致する $a = 0$ と $a = 2$ が境界値となることが視覚的に理解できます。

【発展】パラメータを含む関数の最大・最小問題の一般的アプローチ

1. まず関数を標準形（平方完成など）に変形
2. 軸の位置と指定区間の関係で場合分け
3. 各場合において端点または頂点での値を計算
4. 結果を統合して答えを整理

大問2：確率と漸化式の融合問題

問題

解説・解法のポイント

■ (1) の解説：$p_1$、$p_2$ を求める

サイコロの目 1, 2, 3, 4, 5, 6 を3で割った余りで分類します。

• 余り0：3, 6（2個）
• 余り1：1, 4（2個）
• 余り2：2, 5（2個）

$p_1$：1回で和が3の倍数 ⇔ 目が3または6

$p_1 = dfrac{2}{6} = dfrac{1}{3}$

$p_2$：2回で和が3の倍数となる組み合わせを考えます。

余りの和が3の倍数になる組み合わせ：(0,0), (1,2), (2,1)

$p_2 = dfrac{2}{6} times dfrac{2}{6} + dfrac{2}{6} times dfrac{2}{6} + dfrac{2}{6} times dfrac{2}{6} = 3 times dfrac{4}{36} = dfrac{12}{36} = dfrac{1}{3}$

答え：$p_1 = dfrac{1}{3}$、$p_2 = dfrac{1}{3}$

■ (2) の解説：漸化式の導出

$n$ 回後に和が3の倍数である確率を $p_n$、3で割って1余る確率を $q_n$、3で割って2余る確率を $r_n$ とします。

対称性より、$q_n = r_n$ であり、$p_n + q_n + r_n = 1$ なので：

$q_n = r_n = dfrac{1 - p_n}{2}$

$n+1$ 回後に和が3の倍数になるのは：

• $n$ 回後に余り0 で、$n+1$ 回目に余り0の目（確率 $frac{1}{3}$）が出る
• $n$ 回後に余り1 で、$n+1$ 回目に余り2の目（確率 $frac{1}{3}$）が出る
• $n$ 回後に余り2 で、$n+1$ 回目に余り1の目（確率 $frac{1}{3}$）が出る

$p_{n+1} = p_n cdot dfrac{1}{3} + q_n cdot dfrac{1}{3} + r_n cdot dfrac{1}{3}$

$= dfrac{1}{3}(p_n + q_n + r_n) = dfrac{1}{3} cdot 1 = dfrac{1}{3}$

…と思いきや、これは各状態から次の状態への遷移確率を正しく考慮していません。正しくは：

$p_{n+1} = p_n cdot dfrac{1}{3} + dfrac{1-p_n}{2} cdot dfrac{1}{3} + dfrac{1-p_n}{2} cdot dfrac{1}{3}$

$= dfrac{p_n}{3} + dfrac{1-p_n}{3} = dfrac{1}{3}$

実際には、対称性によりどの状態からでも次に3の倍数になる確率は $frac{1}{3}$ です。

答え：$p_{n+1} = dfrac{1}{3}$（定数）

■ (3) の解説：一般項を求める

上の結果から、すべての $n geq 1$ について：

答え：$p_n = dfrac{1}{3}$

別解・発展

【より一般的な問題設定の場合】

もし問題がより複雑で、例えば「和を4で割った余りが0」などの条件であれば、漸化式が定数にならず、特性方程式を用いた解法が必要になります。

一般的な漸化式 $p_{n+1} = ap_n + b$ の解法：

1. 特殊解（定常状態）$alpha = aalpha + b$ より $alpha = frac{b}{1-a}$
2. $p_{n+1} - alpha = a(p_n - alpha)$ と変形
3. $p_n - alpha = (p_1 - alpha) cdot a^{n-1}$
4. $p_n = alpha + (p_1 - alpha) cdot a^{n-1}$

大問3：ベクトルと空間図形

問題

解説・解法のポイント

■ (1) の解説：内積の計算

$overrightarrow{AB} = vec{b} - vec{a}$、$overrightarrow{AC} = vec{c} - vec{a}$ より：

$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = (vec{b} - vec{a}) cdot (vec{c} - vec{a})$

$= vec{b} cdot vec{c} - vec{b} cdot vec{a} - vec{a} cdot vec{c} + |vec{a}|^2$

$= 6 - 3 - 4 + 4 = 3$

答え：$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = 3$

■ (2) の解説：三角形の面積

三角形 ABC の面積は：

$S = dfrac{1}{2}|overrightarrow{AB}||overrightarrow{AC}|sintheta$

ここで $costheta = dfrac{overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC}}{|overrightarrow{AB}||overrightarrow{AC}|}$ です。

まず、$|overrightarrow{AB}|^2$ と $|overrightarrow{AC}|^2$ を計算します。

$|overrightarrow{AB}|^2 = |vec{b} - vec{a}|^2 = |vec{b}|^2 - 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{a}|^2 = 9 - 6 + 4 = 7$

$|overrightarrow{AC}|^2 = |vec{c} - vec{a}|^2 = |vec{c}|^2 - 2vec{a} cdot vec{c} + |vec{a}|^2 = 16 - 8 + 4 = 12$

したがって、$|overrightarrow{AB}| = sqrt{7}$、$|overrightarrow{AC}| = 2sqrt{3}$ です。

$costheta = dfrac{3}{sqrt{7} cdot 2sqrt{3}} = dfrac{3}{2sqrt{21}} = dfrac{sqrt{21}}{14}$

$sin^2theta = 1 - cos^2theta = 1 - dfrac{21}{196} = dfrac{175}{196}$

$sintheta = dfrac{5sqrt{7}}{14}$

面積は：

$S = dfrac{1}{2} cdot sqrt{7} cdot 2sqrt{3} cdot dfrac{5sqrt{7}}{14} = dfrac{1}{2} cdot dfrac{2sqrt{21} cdot 5sqrt{7}}{14} = dfrac{5sqrt{147}}{14} = dfrac{5 cdot 7sqrt{3}}{14} = dfrac{5sqrt{3}}{2}$

答え：$S = dfrac{5sqrt{3}}{2}$

■ (3) の解説：垂線の足

点 H は平面 ABC 上にあるので、実数 $s$, $t$, $u$（$s + t + u = 1$）を用いて：

$overrightarrow{OH} = svec{a} + tvec{b} + uvec{c}$

また、$overrightarrow{OH} perp overrightarrow{AB}$ かつ $overrightarrow{OH} perp overrightarrow{AC}$ より：

$overrightarrow{OH} cdot overrightarrow{AB} = 0$、$overrightarrow{OH} cdot overrightarrow{AC} = 0$

これらの条件から連立方程式を立てて解きます。

$overrightarrow{OH} cdot (vec{b} - vec{a}) = 0$ より：

$(svec{a} + tvec{b} + uvec{c}) cdot (vec{b} - vec{a}) = 0$

$s(vec{a} cdot vec{b} - |vec{a}|^2) + t(|vec{b}|^2 - vec{a} cdot vec{b}) + u(vec{b} cdot vec{c} - vec{a} cdot vec{c}) = 0$

$s(3 - 4) + t(9 - 3) + u(6 - 4) = 0$

$-s + 6t + 2u = 0$ ... ①

同様に $overrightarrow{OH} cdot (vec{c} - vec{a}) = 0$ より：

$s(vec{a} cdot vec{c} - |vec{a}|^2) + t(vec{b} cdot vec{c} - vec{a} cdot vec{b}) + u(|vec{c}|^2 - vec{a} cdot vec{c}) = 0$

$s(4 - 4) + t(6 - 3) + u(16 - 4) = 0$

$3t + 12u = 0$、つまり $t = -4u$ ... ②

$s + t + u = 1$ ... ③ と合わせて解きます。

②を①に代入：$-s + 6(-4u) + 2u = 0$ → $-s - 22u = 0$ → $s = -22u$

③に代入：$-22u - 4u + u = 1$ → $-25u = 1$ → $u = -dfrac{1}{25}$

したがって：$s = dfrac{22}{25}$、$t = dfrac{4}{25}$、$u = -dfrac{1}{25}$

答え：$overrightarrow{OH} = dfrac{22}{25}vec{a} + dfrac{4}{25}vec{b} - dfrac{1}{25}vec{c}$

別解・発展

【面積公式の別解】

三角形の面積は次の公式でも求められます：

$S = dfrac{1}{2}sqrt{|overrightarrow{AB}|^2|overrightarrow{AC}|^2 - (overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC})^2}$

$= dfrac{1}{2}sqrt

$= dfrac{1}{2}sqrt{7 cdot 12 - 9} = dfrac{1}{2}sqrt{84 - 9} = dfrac{1}{2}sqrt{75} = dfrac{5sqrt{3}}{2}$

この公式は、$|vec{a} times vec{b}| = |vec{a}||vec{b}|sintheta$ という外積の性質から導かれるもので、計算が簡潔になる場合があります。

大問4：微分積分と面積計算

問題

解説・解法のポイント

■ (1) の解説：極値を求める

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

極値を求めるため、$f'(x) = 0$ を解きます。

$3x^2 - 6x + 2 = 0$

解の公式より：

$x = dfrac{6 pm sqrt{36 - 24}}{6} = dfrac{6 pm sqrt{12}}{6} = dfrac{6 pm 2sqrt{3}}{6} = 1 pm dfrac{sqrt{3}}{3}$

$f''(x) = 6x - 6$ より：

• $x = 1 - dfrac{sqrt{3}}{3}$ のとき $f''(x) < 0$ → 極大
• $x = 1 + dfrac{sqrt{3}}{3}$ のとき $f''(x) > 0$ → 極小

極値を計算します。$x = 1 - dfrac{sqrt{3}}{3}$ のとき：

計算の便宜上、$alpha = 1 - dfrac{sqrt{3}}{3}$、$beta = 1 + dfrac{sqrt{3}}{3}$ とおきます。

$f(x) = x(x-1)(x-2)$ と因数分解できることを利用すると便利です。

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x = x(x^2 - 3x + 2) = x(x-1)(x-2)$

極大値：$fleft(1 - dfrac{sqrt{3}}{3}right) = dfrac{2sqrt{3}}{9}$

極小値：$fleft(1 + dfrac{sqrt{3}}{3}right) = -dfrac{2sqrt{3}}{9}$

答え：
極大値：$dfrac{2sqrt{3}}{9}$（$x = 1 - dfrac{sqrt{3}}{3}$ のとき）
極小値：$-dfrac{2sqrt{3}}{9}$（$x = 1 + dfrac{sqrt{3}}{3}$ のとき）

■ (2) の解説：$x$ 軸との囲む面積

$f(x) = x(x-1)(x-2) = 0$ より、$x = 0, 1, 2$ で $x$ 軸と交わります。

$0 leq x leq 1$ で $f(x) geq 0$、$1 leq x leq 2$ で $f(x) leq 0$ です。

面積 $S$ は：

$S = int_0^1 f(x),dx - int_1^2 f(x),dx = int_0^1 f(x),dx + int_1^2 |f(x)|,dx$

まず、$int f(x),dx$ を計算します。

$int (x^3 - 3x^2 + 2x),dx = dfrac{x^4}{4} - x^3 + x^2 + C$

$int_0^1 f(x),dx = left[dfrac{x^4}{4} - x^3 + x^2right]_0^1 = dfrac{1}{4} - 1 + 1 = dfrac{1}{4}$

$int_1^2 f(x),dx = left[dfrac{x^4}{4} - x^3 + x^2right]_1^2 = (4 - 8 + 4) - left(dfrac{1}{4} - 1 + 1right) = 0 - dfrac{1}{4} = -dfrac{1}{4}$

したがって：

$S = dfrac{1}{4} + left|-dfrac{1}{4}right| = dfrac{1}{4} + dfrac{1}{4} = dfrac{1}{2}$

答え：$S = dfrac{1}{2}$

■ (3) の解説：接線の方程式

$f(3) = 27 - 27 + 6 = 6$

$f'(3) = 27 - 18 + 2 = 11$

点 $(3, 6)$ における接線の方程式は：

$y - 6 = 11(x - 3)$

$y = 11x - 33 + 6 = 11x - 27$

答え：$y = 11x - 27$

■ (4) の解説：接線と曲線で囲まれた面積

曲線 $y = f(x)$ と接線 $y = 11x - 27$ の交点を求めます。

$x^3 - 3x^2 + 2x = 11x - 27$

$x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0$

$x = 3$ は接点なので $(x - 3)$ で割り切れます。また、接線なので $(x - 3)^2$ で割り切れます。

$x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = (x - 3)^2(x + 3)$

確認：$(x-3)^2(x+3) = (x^2 - 6x + 9)(x + 3) = x^3 + 3x^2 - 6x^2 - 18x + 9x + 27 = x^3 - 3x^2 - 9x + 27$ ✓

交点は $x = -3$ と $x = 3$（重解）です。

囲まれた面積は：

$S = int_{-3}^{3} |f(x) - (11x - 27)|,dx = int_{-3}^{3} |x^3 - 3x^2 - 9x + 27|,dx$

$-3 leq x leq 3$ で $(x-3)^2(x+3) geq 0$（$x = -3$ で $0$、それ以外で正）なので：

$S = int_{-3}^{3} (x - 3)^2(x + 3),dx$

ここで、接線と曲線で囲まれた面積の公式を使います：

$y = f(x)$ と接線が $x = alpha$（重解）と $x = beta$ で交わるとき、面積は：

$S = dfrac{1}{12}|a||beta - alpha|^4$（$a$ は $f(x)$ の最高次係数）

本問では $a = 1$、$alpha = 3$、$beta = -3$ なので：

$S = dfrac{1}{12} cdot 1 cdot |{-3} - 3|^4 = dfrac{1}{12} cdot 6^4 = dfrac{1296}{12} = 108$

答え：$S = 108$

別解・発展

【(4)の別解：直接積分】

$S = int_{-3}^{3} (x - 3)^2(x + 3),dx$

$t = x - 3$ と置換すると、$x = t + 3$、$x + 3 = t + 6$、$dx = dt$

$x = -3$ のとき $t = -6$、$x = 3$ のとき $t = 0$

$S = int_{-6}^{0} t^2(t + 6),dt = int_{-6}^{0} (t^3 + 6t^2),dt$

$= left[dfrac{t^4}{4} + 2t^3right]_{-6}^{0} = 0 - left(dfrac{1296}{4} - 432right) = -324 + 432 = 108$

【発展：1/12公式の証明】

三次関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ の接線との交点が $x = alpha$（重解）と $x = beta$ のとき：

$f(x) - (text{接線}) = a(x - alpha)^2(x - beta)$

面積は：

$S = left|int_{beta}^{alpha} a(x - alpha)^2(x - beta),dxright|$

$u = x - alpha$ と置換し、丁寧に計算すると $dfrac{|a||alpha - beta|^4}{12}$ が得られます。

この年度の重要テーマと対策

2013年度入試で問われた数学的能力

2013年度の愛知県立大学数学入試では、以下の能力が特に重視されました：

効果的な対策法

分野	重要ポイント	おすすめ対策
二次関数	軸と区間の位置関係による場合分け	場合分けのパターンを整理し、グラフを描く習慣をつける
確率・漸化式	状態遷移の把握、漸化式の立式	マルコフ連鎖的な問題を多く解き、パターンを習得
ベクトル	内積計算、平面の方程式、垂線の足	基本公式を確実に使えるよう反復練習
微分積分	極値、面積計算、接線の方程式	1/6公式・1/12公式などの効率的手法をマスター

時間配分の目安

90分の試験時間で4題を解くため、1題あたり約20分が目安です。ただし、問題の難易度に応じて柔軟に調整しましょう：

• 大問1（二次関数）：15〜18分（計算量は多くないが、場合分けに注意）
• 大問2（確率・漸化式）：18〜22分（立式に時間がかかる可能性あり）
• 大問3（ベクトル）：20〜25分（計算量が多い）
• 大問4（微分積分）：20〜25分（(4)は公式を知らないと時間がかかる）
• 見直し：5〜10分

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：二次関数と最大・最小

【解答・解説】

(1) の解答

$g(x) = -x^2 + 4ax - 3a^2 + 2a$ を平方完成します。

$g(x) = -(x^2 - 4ax) - 3a^2 + 2a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - 3a^2 + 2a = -(x - 2a)^2 + a^2 + 2a$

上に凸の放物線なので、頂点で最大値をとります。

答え：最大値 $= a^2 + 2a$

(2) の解答

軸 $x = 2a$ と区間 $[1, 3]$ の中点 $x = 2$ の位置関係で場合分けします。

【場合1】$2a < 2$、すなわち $a < 1$ のとき

軸が区間の中点より左にあるので、最小値は $x = 3$ で達成。

$m(a) = g(3) = -9 + 12a - 3a^2 + 2a = -3a^2 + 14a - 9$

【場合2】$2a geq 2$、すなわち $a geq 1$ のとき

軸が区間の中点以上にあるので、最小値は $x = 1$ で達成。

$m(a) = g(1) = -1 + 4a - 3a^2 + 2a = -3a^2 + 6a - 1$

答え：
$m(a) = begin{cases} -3a^2 + 14a - 9 & (a < 1) \ -3a^2 + 6a - 1 & (a geq 1) end{cases}$

練習問題2：確率と漸化式

【解答・解説】

(1) の解答

原点に戻るためには、表と裏の回数が等しくなければなりません。

• $q_1 = 0$（1回では原点に戻れない）
• $q_2 = dfrac{1}{2} cdot dfrac{1}{2} times 2 = dfrac{1}{2}$（表裏または裏表）
• $q_3 = 0$（奇数回では原点に戻れない）
• $q_4 = dfrac{{}_4C_2}{2^4} = dfrac{6}{16} = dfrac{3}{8}$

答え：$q_1 = 0$、$q_2 = dfrac{1}{2}$、$q_3 = 0$、$q_4 = dfrac{3}{8}$

(2) の解答

$2n$ 回投げて原点にいるためには、表が $n$ 回、裏が $n$ 回出る必要があります。

$q_{2n} = dfrac{{}_{2n}C_n}{2^{2n}} = dfrac{(2n)!}{n! cdot n! cdot 4^n}$

答え：$q_{2n} = dfrac{{}_{2n}C_n}{4^n} = dfrac{(2n)!}{(n!)^2 cdot 4^n}$

練習問題3：微分積分と面積

【解答・解説】

(1) の解答

$h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x = x(x^2 - 6x + 9) = x(x - 3)^2$

$h'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$

$h'(x) = 0$ より $x = 1, 3$

増減表を書くと：

• $x = 1$ で極大値 $h(1) = 1 - 6 + 9 = 4$
• $x = 3$ で極小値 $h(3) = 27 - 54 + 27 = 0$

答え：極大値 $4$（$x = 1$）、極小値 $0$（$x = 3$）

(2) の解答

$h(x) = x$ を解きます。

$x^3 - 6x^2 + 9x = x$
$x^3 - 6x^2 + 8x = 0$
$x(x^2 - 6x + 8) = 0$
$x(x - 2)(x - 4) = 0$

交点は $x = 0, 2, 4$ です。

$0 leq x leq 2$ では $h(x) geq x$、$2 leq x leq 4$ では $h(x) leq x$ となります。

$S = int_0^2 (h(x) - x),dx + int_2^4 (x - h(x)),dx$

$= int_0^2 (x^3 - 6x^2 + 8x),dx + int_2^4 (-x^3 + 6x^2 - 8x),dx$

$int (x^3 - 6x^2 + 8x),dx = dfrac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2$

$int_0^2 = (4 - 16 + 16) - 0 = 4$

$int_2^4 (-x^3 + 6x^2 - 8x),dx = left[-dfrac{x^4}{4} + 2x^3 - 4x^2right]_2^4$

$= (-64 + 128 - 64) - (-4 + 16 - 16) = 0 - (-4) = 4$

答え：$S = 4 + 4 = 8$

日本数学塾・数強塾で愛知県立大学合格を目指そう

ここまで2013年度愛知県立大学の数学入試問題を詳しく解説してきましたが、いかがでしたでしょうか？

愛知県立大学の数学入試は、基礎力と応用力のバランスが求められます。標準的な問題を確実に解ける力をつけた上で、場合分けや複数分野の融合問題にも対応できる柔軟な思考力を養うことが合格への鍵です。

合格者の声

よくある質問

最後に

愛知県立大学の数学入試は、決して難問奇問が出るわけではありません。基本をしっかり押さえ、典型問題の解法パターンを身につけ、それを応用する力があれば、十分に合格点を取ることができます。

この記事で解説した2013年度の問題も、一つひとつ見ていけば、すべて教科書レベルの知識の組み合わせで解けるものばかりです。大切なのは、「なぜそうなるのか」を理解しながら学ぶこと、そして十分な演習量を確保することです。

私たち日本数学塾・数強塾は、皆さんの愛知県立大学合格を全力でサポートします。数学の勉強で悩んでいる方、もっと成績を伸ばしたい方は、ぜひ一度ご相談ください。

一緒に合格を勝ち取りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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